Најважније из лекције
Реална функција и график: Функција \( f: D \to \mathbb{R} \) сваком \( x \in D \) додељује тачно једно \( y \in \mathbb{R} \). По вертикалном тесту, свака права \( x = c \) сече график највише једном.
Кључне особине:
Кључне особине:
- Инјективност ("1-1"): Различитим аргументима одговарају различите вредности (хоризонтална права сече график највише једном); неопходан услов за постојање инверзне функције \( f^{-1} \).
- Парност: График парне функције (\( f(-x) = f(x) \)) је симетричан према \( y \)-оси; график непарне функције (\( f(-x) = -f(x) \)) према координатном почетку.
- Нуле и знак: Нуле одговарају пресецима са \( x \)-осом (\( f(x) = 0 \)), а знак одређује положај изнад или испод \( x \)-осе.
- Композиција: \( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \), дефинисана када је \( E_f \subseteq D_g \).
- Инверзна функција: \( f(x) = y \iff f^{-1}(y) = x \); графици \( y = f(x) \) и \( y = f^{-1}(x) \) су симетрични према правој \( y = x \).
Нека је \( D \subseteq \mathbb{R} \). Функција \( f: D \to \mathbb{R} \) која сваком броју из \( D \) додељује тачно један реалан број назива се реална функција. Скуп \( D \) представља домен (област дефинисаности) функције \( f \).
Домен се често означава са \( D \) или \( D_f \), а зависност аргумента \( x \) и вредности \( y \) записује се као \( y = f(x) \).
График функције \( f: D \to \mathbb{R} \) је скуп свих тачака \( (x, y) \) у координатној равни за које важи \( y = f(x) \).
Вертикални тест: Крива у координатној равни је график неке функције ако и само ако свака права паралелна \( y \)-оси сече ту криву у највише једној тачки.
Две реалне функције \( f_1: D_1 \to \mathbb{R} \) и \( f_2: D_2 \to \mathbb{R} \) су једнаке ако имају исте домене (\( D_1 = D_2 \)) и ако за свако \( x \in D_1 \) важи \( f_1(x) = f_2(x) \).
Ако је \( D_1 \subset D \), функција \( f_1: D_1 \to \mathbb{R} \) дефинисана са \( f_1(x) = f(x) \) назива се рестрикција (сужење) функције \( f \) на скуп \( D_1 \).
Да ли је крива дефинисана једначином \( x^2 + y^2 = 4 \) график неке функције \( y = f(x) \)?
Није. Једначина представља кружницу полупречника 2 са центром у координатном почетку. На пример, вертикална права \( x = 0 \) сече кружницу у две тачке: \( (0, 2) \) и \( (0, -2) \), што нарушава вертикални тест.
Линеарна функција: Функција облика \( f(x) = ax + b \) (\( a, b \in \mathbb{R} \)). Њен график је права. За \( a = 0 \) функција је константна (\( f(x) = b \)).
\[ |x| = \begin{cases} -x, & x < 0 \\ x, & x \geq 0 \end{cases} \]
Функција апсолутне вредности
\[ [x] = \max\{k \in \mathbb{Z} \mid k \leq x\} \]
Цели део броја \( x \) (највећи цео број који није већи од \( x \)). Пример: \( [3,7] = 3 \), \( [-1,2] = -2 \).
\[ \{x\} = x - [x] \]
Разломљени део броја \( x \). Вредност је увек у интервалу \( [0, 1) \).
\[ \text{sgn}(x) = \begin{cases} -1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases} \]
Функција знака (signum)
График функције \( f(x) = \frac{k}{x} \) (\( k \neq 0 \)) је хипербола. Праве \( x = 0 \) (\( y \)-оса) и \( y = 0 \) (\( x \)-оса) представљају асимптоте - праве којима се гране хиперболе неограничено приближавају, али их никада не секу.
Израчунати вредност израза \( f(2,4) - g(-1,3) \), ако је \( f(x) = [x] \) и \( g(x) = \text{sgn}(x) \).
\( [2,4] = 2 \), а \( \text{sgn}(-1,3) = -1 \).
Отуда је \( f(2,4) - g(-1,3) = 2 - (-1) = 3 \).
Отуда је \( f(2,4) - g(-1,3) = 2 - (-1) = 3 \).
Скуп вредности: Скуп \( E_f = \{y \in \mathbb{R} \mid y = f(x) \text{ за неко } x \in D\} \). Геометријски, то су све вредности \( b \) за које хоризонтална права \( y = b \) сече график функције.
"1-1" функција (инјективност): Функција за коју из \( x_1 \neq x_2 \) следи \( f(x_1) \neq f(x_2) \). Хоризонтална права сече график овакве функције у највише једној тачки.
Нуле и знак: Нула функције је број \( a \in D \) за који је \( f(a) = 0 \) (пресек графика са \( x \)-осом). Функција је позитивна на оним интервалима где је график изнад \( x \)-осе (\( f(x) > 0 \)), а негативна тамо где је график испод \( x \)-осе (\( f(x) < 0 \)).
Монотоност:
- Растућа: \( x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2) \)
- Опадајућа: \( x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2) \)
Конвексност и конкавност:
- Функција је конвексна ако се део графика између било које две тачке налази испод дужи која их спаја: \( f(t_1a + t_2b) \leq t_1f(a) + t_2f(b) \) за \( t_1, t_2 > 0, t_1 + t_2 = 1 \).
- Функција је конкавна ако се одговарајући део графика налази изнад поменуте дужи: \( f(t_1a + t_2b) \geq t_1f(a) + t_2f(b) \).
Парност и непарност: Захтева да је домен симетричан (\( x \in D \implies -x \in D \)).
- Парна: \( f(-x) = f(x) \) за свако \( x \in D \). График је симетричан у односу на \( y \)-осу.
- Непарна: \( f(-x) = -f(x) \) за свако \( x \in D \). График је централно симетричан у односу на координатни почетак \( (0,0) \).
1. Одредити домен \( D \) и скуп вредности \( E_f \).
2. Испитати инјективност ("1-1").
3. Испитати парност/непарност.
4. Одредити нуле и интервале знака функције.
5. Испитати монотоност и конвексност/конкавност.
2. Испитати инјективност ("1-1").
3. Испитати парност/непарност.
4. Одредити нуле и интервале знака функције.
5. Испитати монотоност и конвексност/конкавност.
Испитати парност функције \( f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4} \).
Домен функције је \( D = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} \), што је скуп симетричан у односу на нулу.
Рачунамо: \[ f(-x) = \frac{(-x)^3}{(-x)^2 - 4} = \frac{-x^3}{x^2 - 4} = -\frac{x^3}{x^2 - 4} = -f(x) \] Функција је непарна (њен график је симетричан у односу на координатни почетак).
Рачунамо: \[ f(-x) = \frac{(-x)^3}{(-x)^2 - 4} = \frac{-x^3}{x^2 - 4} = -\frac{x^3}{x^2 - 4} = -f(x) \] Функција је непарна (њен график је симетричан у односу на координатни почетак).
Ако су \( f: D_f \to \mathbb{R} \) и \( g: D_g \to \mathbb{R} \) две функције такве да је \( E_f \subseteq D_g \), тада је дефинисана композиција функција \( g \circ f: D_f \to \mathbb{R} \) са:
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)), \quad x \in D_f \]
Композиција генерално није комутативна, тј. \( (g \circ f)(x) \neq (f \circ g)(x) \). Такође, ако скуп вредности унутрашње функције није подскуп домена спољашње функције, композиција није дефинисана.
Нека је \( f(x) = x^2 \) и \( g(x) = x + 3 \).
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = x^2 + 3 \]
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 3) = (x + 3)^2 \]
Јасно је да је \( (g \circ f)(x) \neq (f \circ g)(x) \).
Ако је \( f: D \to \mathbb{R} \) "1-1" функција, онда постоји јединствена инверзна функција \( f^{-1}: E_f \to D \) таква да важи:
\[ f(x) = y \iff f^{-1}(y) = x \]
Тачка \( (x, y) \) припада графику функције \( f \) ако и само ако тачка \( (y, x) \) припада графику функције \( f^{-1} \). Због тога су графици функција \( y = f(x) \) и \( y = f^{-1}(x) \) осносиметрични у односу на праву \( y = x \).
Ако функција није "1-1", она нема инверзну функцију (осим ако јој се домен не редукује тако да постане "1-1").
Функција \( f(x) = \frac{1}{x} \) на домену \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \) је "1-1" и њен график је симетричан према правој \( y = x \), па је она сама себи инверзна: \( f^{-1}(x) = \frac{1}{x} \).
Полазећи од познатог графика функције \( y = f(x) \), примењују се следећа правила трансформације:
| Трансформација | Геометријско дејство на график |
|---|---|
| \( y = f(x + c) \) | Транслација дуж \( x \)-осе за \( |c| \): улево ако је \( c > 0 \), удесно ако је \( c < 0 \). |
| \( y = f(x) + c \) | Транслација дуж \( y \)-осе за \( |c| \): навише ако је \( c > 0 \), наниже ако је \( c < 0 \). |
| \( y = c \cdot f(x) \) | Свака ордината се множи са \( c \). За \( c > 1 \) график се издужује вертикално; за \( c = -1 \) одражава се преко \( x \)-осе. |
| \( y = |f(x)| \) | Делови графика изнад \( x \)-осе остају исти, а делови испод \( x \)-осе се пресликавају симетрично нагоре у односу на \( x \)-осу. |
| \( y = f(|x|) \) | Део графика за \( x \geq 0 \) се задржава, а затим се симетрично пресликава у односу на \( y \)-осу за област \( x < 0 \). |
График функције \( y = \frac{1}{x+2} \) добија се транслацијом хиперболе \( y = \frac{1}{x} \) за 2 јединице улево. Њене асимптоте постају праве \( x = -2 \) и \( y = 0 \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Дата је функција \( f(x) = 3x - 5 \).
а) Одредити њену нулу.
б) Одредити функцију \( f^{-1}(x) \).
а) Одредити њену нулу.
б) Одредити функцију \( f^{-1}(x) \).
а) Нула функције се добија решавањем једначине \( f(x) = 0 \):
\[ 3x - 5 = 0 \implies 3x = 5 \implies x = \frac{5}{3} \]
б) Пошто је линеарна функција са коефицијентом правца \( 3 \neq 0 \) инјективна ("1-1"), инверзна функција постоји.
Изједначимо \( y = 3x - 5 \) и изразимо \( x \): \[ y + 5 = 3x \implies x = \frac{y + 5}{3} \] Заменом променљивих добијамо: \[ f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3} \]
Изједначимо \( y = 3x - 5 \) и изразимо \( x \): \[ y + 5 = 3x \implies x = \frac{y + 5}{3} \] Заменом променљивих добијамо: \[ f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3} \]
Задатак 2 (средњи): Нека су дате функције \( f(x) = x^2 - 1 \) и \( g(x) = \frac{1}{x} \).
а) Одредити композицију \( (g \circ f)(x) \) и њен домен.
б) Испитати да ли је функција \( h(x) = (g \circ f)(x) \) парна или непарна.
а) Одредити композицију \( (g \circ f)(x) \) и њен домен.
б) Испитати да ли је функција \( h(x) = (g \circ f)(x) \) парна или непарна.
а) По дефиницији композиције:
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2 - 1) = \frac{1}{x^2 - 1} \]
Домен захтева \( x^2 - 1 \neq 0 \), одакле је \( x \neq \pm 1 \).
Дакле, \( D_{g \circ f} = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \).
б) Домен је симетричан скуп. Проверавамо вредност за \( -x \): \[ h(-x) = \frac{1}{(-x)^2 - 1} = \frac{1}{x^2 - 1} = h(x) \] Пошто је \( h(-x) = h(x) \), функција је парна.
Дакле, \( D_{g \circ f} = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \).
б) Домен је симетричан скуп. Проверавамо вредност за \( -x \): \[ h(-x) = \frac{1}{(-x)^2 - 1} = \frac{1}{x^2 - 1} = h(x) \] Пошто је \( h(-x) = h(x) \), функција је парна.
Задатак 3 (средњи): Описати како се од графика основне функције \( f(x) = |x| \) може конструисати график функције \( g(x) = -|x - 3| + 2 \), и на основу тога одредити скуп вредности функције \( g \).
Конструкција се састоји из три корака геометријских трансформација:
1. Транслација у десно: График \( y = |x - 3| \) добија се померањем графика \( y = |x| \) за 3 јединице удесно дуж \( x \)-осе. Теме прелази из \( (0,0) \) у \( (3,0) \).
2. Рефлексија: График \( y = -|x - 3| \) добија се симетричним пресликавањем графика у односу на \( x \)-осу (краци сада иду надоле).
3. Транслација нагоре: График \( y = -|x - 3| + 2 \) добија се транслацијом претходног графика за 2 јединице нагоре дуж \( y \)-осе. Теме је сада у тачки \( (3,2) \).
Скуп вредности: Највећа вредност функције је 2 (у темену), а краци опадају у \( -\infty \), па је скуп вредности \( E_g = (-\infty, 2] \).
1. Транслација у десно: График \( y = |x - 3| \) добија се померањем графика \( y = |x| \) за 3 јединице удесно дуж \( x \)-осе. Теме прелази из \( (0,0) \) у \( (3,0) \).
2. Рефлексија: График \( y = -|x - 3| \) добија се симетричним пресликавањем графика у односу на \( x \)-осу (краци сада иду надоле).
3. Транслација нагоре: График \( y = -|x - 3| + 2 \) добија се транслацијом претходног графика за 2 јединице нагоре дуж \( y \)-осе. Теме је сада у тачки \( (3,2) \).
Скуп вредности: Највећа вредност функције је 2 (у темену), а краци опадају у \( -\infty \), па је скуп вредности \( E_g = (-\infty, 2] \).
Задатак 4 (тежак): Дата је функција \( f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1} \).
а) Одредити домен и скуп вредности функције \( f \).
б) Одредити инверзну функцију \( f^{-1}(x) \).
в) Користећи запис \( f(x) = 2 + \frac{3}{x - 1} \), одредити асимптоте графика функције.
а) Одредити домен и скуп вредности функције \( f \).
б) Одредити инверзну функцију \( f^{-1}(x) \).
в) Користећи запис \( f(x) = 2 + \frac{3}{x - 1} \), одредити асимптоте графика функције.
а) Домен: Именилац не сме бити нула, па је \( x - 1 \neq 0 \implies D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} \).
Да бисмо нашли скуп вредности, решимо једначину \( y = \frac{2x+1}{x-1} \) по \( x \): \[ y(x - 1) = 2x + 1 \implies yx - y = 2x + 1 \implies x(y - 2) = y + 1 \implies x = \frac{y + 1}{y - 2} \] Једначина има решење за свако \( y \neq 2 \), па је скуп вредности \( E_f = \mathbb{R} \setminus \{2\} \).
б) Инверзна функција: Како сваком \( y \in E_f \) одговара јединствено \( x \in D_f \), функција је "1-1" и инверзна функција гласи: \[ f^{-1}(x) = \frac{x + 1}{x - 2}, \quad D_{f^{-1}} = \mathbb{R} \setminus \{2\} \] в) Из записа \( f(x) = \frac{3}{x - 1} + 2 \) видимо да је график настао из хиперболе \( y = \frac{3}{x} \) померањем за 1 удесно и за 2 нагоре.
Према томе, асимптоте графика су праве:
Вертикална асимптота: \( x = 1 \)
Хоризонтална асимптота: \( y = 2 \)
Да бисмо нашли скуп вредности, решимо једначину \( y = \frac{2x+1}{x-1} \) по \( x \): \[ y(x - 1) = 2x + 1 \implies yx - y = 2x + 1 \implies x(y - 2) = y + 1 \implies x = \frac{y + 1}{y - 2} \] Једначина има решење за свако \( y \neq 2 \), па је скуп вредности \( E_f = \mathbb{R} \setminus \{2\} \).
б) Инверзна функција: Како сваком \( y \in E_f \) одговара јединствено \( x \in D_f \), функција је "1-1" и инверзна функција гласи: \[ f^{-1}(x) = \frac{x + 1}{x - 2}, \quad D_{f^{-1}} = \mathbb{R} \setminus \{2\} \] в) Из записа \( f(x) = \frac{3}{x - 1} + 2 \) видимо да је график настао из хиперболе \( y = \frac{3}{x} \) померањем за 1 удесно и за 2 нагоре.
Према томе, асимптоте графика су праве:
Вертикална асимптота: \( x = 1 \)
Хоризонтална асимптота: \( y = 2 \)
