Најважније из лекције
Уопштени угао: Сваки угао одређен бројем пуних обртаја и основним углом: \( n \cdot 360^\circ + \alpha \), односно у облику пара \( (n, \alpha) \). На пример: \( 435^\circ = 1 \cdot 360^\circ + 75^\circ = (1, 75^\circ) \).
Стандардни положај: Теме у \( (0,0) \), почетни крак на позитивном делу \( x \)-осе.
Смер ротације:
Пример превођења: \( 840^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 120^\circ = 4\pi + \frac{2\pi}{3} = \frac{14\pi}{3} \text{ rad} \).
Стандардни положај: Теме у \( (0,0) \), почетни крак на позитивном делу \( x \)-осе.
Смер ротације:
- Супротно казаљки на сату \( \implies \) позитиван угао (\( + \))
- У смеру казаљке на сату \( \implies \) негативан угао (\( - \))
Пример превођења: \( 840^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 120^\circ = 4\pi + \frac{2\pi}{3} = \frac{14\pi}{3} \text{ rad} \).
Уопштени угао представља проширење појма геометријског угла на углове чија мера може бити већа од \( 360^\circ \), као и на негативне углове. Одређен је бројем пуних углова које садржи и одговарајућим углом у уобичајеном смислу.
Уопштени угао се може представити као уређени пар \( (n, \alpha) \), где је \( n \) цео број пуних обртаја, а \( \alpha \) одговарајући конвексни или неконвексни угао (\( 0^\circ \le \alpha < 360^\circ \)).
\[ \text{Степена мера: } n \cdot 360^\circ + \alpha \]
Збир унутрашњих углова конвексног петоугла износи:
\[ S_5 = 540^\circ = 1 \cdot 360^\circ + 180^\circ = (1, 180^\circ) \]
Овај уопштени угао сачињавају један пун и један опружен угао (\( n = 1, \alpha = 180^\circ \)).
Запишите угао \( \beta = 487^\circ \) у облику уређеног пара \( (n, \alpha) \).
Како је \( 487^\circ = 1 \cdot 360^\circ + 127^\circ \), следи:
\[ n = 1, \quad \alpha = 127^\circ \implies (1, 127^\circ) \]
Угао је у стандардном положају у правоуглом координатном систему када му се теме налази у координатном почетку \( O(0,0) \), а почетни крак поклапа са позитивним делом \( x \)-осе. Други крак, који настаје ротацијом почетног крака око темена, назива се завршни крак.
Оријентација угла одређује његов знак:
- Позитиван смер: ротација завршног крака супротно смеру казаљке на сату (угао има позитиван мерни број, \( \alpha > 0 \)).
- Негативан смер: ротација завршног крака у смеру казаљке на сату (угао има негативан мерни број, \( \alpha < 0 \)).
Одредите знак и квадрант у којем се налази завршни крак угла \( \alpha = -140^\circ \) у стандардном положају.
Угао има негативан смер (ротација у смеру казаљке на сату од позитивног дела \( x \)-осе).
Како се крећемо у смеру казаљке: од \( 0^\circ \) до \( -90^\circ \) је IV квадрант, а од \( -90^\circ \) до \( -180^\circ \) је III квадрант.
Пошто је \( -180^\circ < -140^\circ < -90^\circ \), завршни крак се налази у III квадранту.
Мерни број радијанске мере представља пређени пут тачке \( M \) на јединичној кружници (\( OM = 1 \)) при ротацији почетног крака до завршног. За ротацију у позитивном смеру мера је позитивна, а за ротацију у негативном смеру мера је негативна.
Превођење степене мере у радијанску:
\[ \alpha = k \cdot 360^\circ + a^\circ \implies \alpha = \left( k \cdot 2\pi + \frac{\pi \cdot a}{180} \right) \text{ rad} \]
Основна релација: \( 180^\circ = \pi \text{ rad} \), \( 360^\circ = 2\pi \text{ rad} \).
Превођење радијанске мере у степену:
\[ \alpha = (k \cdot 2\pi + b) \text{ rad} \implies \alpha = \left( k \cdot 360 + \frac{b}{\pi} \cdot 180 \right)^\circ \]
Превођење угла \( 840^\circ \) у радијане:
\[ 840^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 120^\circ \]
\[ \alpha = 2 \cdot 2\pi + \frac{\pi \cdot 120}{180} = 4\pi + \frac{2\pi}{3} = \frac{14\pi}{3} \text{ rad} \]
Превођење угла \( -\frac{25\pi}{6} \text{ rad} \) у степене:
\[ -\frac{25\pi}{6} = (-2) \cdot 2\pi - \frac{\pi}{6} \]
\[ \alpha = (-2) \cdot 360^\circ - \frac{1}{6} \cdot 180^\circ = -720^\circ - 30^\circ = -750^\circ \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Одредите уређени пар \( (n, \alpha) \) за уопштени угао \( \gamma = 792^\circ \), где је \( 0^\circ \le \alpha < 360^\circ \).
Дељењем броја \( 792 \) са \( 360 \) добијамо количник \( 2 \) и остатак \( 72 \):
\[ 792^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 72^\circ \]
Дакле, уређени пар је \( (2, 72^\circ) \).
Задатак 2 (средњи): Изразите уопштени угао \( \alpha = -405^\circ \) у радијанима.
Угао растављамо на целе пуне обрте и остатак:
\[ -405^\circ = -360^\circ - 45^\circ = (-1) \cdot 360^\circ + (-45^\circ) \]
Преводимо у радијане:
\[ \alpha = (-1) \cdot 2\pi - \frac{\pi \cdot 45}{180} = -2\pi - \frac{\pi}{4} = -\frac{9\pi}{4} \text{ rad} \]
Задатак 3 (средњи): Претворите угао дат у радијанској мери \( \beta = \frac{13\pi}{2} \text{ rad} \) у степену меру.
Издвајамо сабирке облика \( k \cdot 2\pi \):
\[ \frac{13\pi}{2} = \frac{12\pi + \pi}{2} = 6\pi + \frac{\pi}{2} = 3 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{2} \]
Преводимо у степене:
\[ \beta = 3 \cdot 360^\circ + \frac{180^\circ}{2} = 1080^\circ + 90^\circ = 1170^\circ \]
Задатак 4 (тежи): У ком се квадранту налази завршни крак уопштеног угла \( \delta = -\frac{8\pi}{3} \text{ rad} \) постављеног у стандардном положају?
Прво одредимо степену меру или положај унутар једног пуног круга:
\[ -\frac{8\pi}{3} = -2\pi - \frac{2\pi}{3} \]
Пошто пун обрт (\( -2\pi \)) враћа крак у почетни положај, положај завршног крака зависи само од угла:
\[ -\frac{2\pi}{3} \text{ rad} = -\frac{2 \cdot 180^\circ}{3} = -120^\circ \]
Угао од \( -120^\circ \) добија се ротацијом у смеру казаљке на сату:
- од \( 0^\circ \) до \( -90^\circ \): IV квадрант
- од \( -90^\circ \) до \( -180^\circ \): III квадрант
