Најважније из лекције
Основни типови ирационалних неједначина:
- \( \sqrt{A(x)} \le B(x) \iff A(x) \ge 0 \land B(x) \ge 0 \land A(x) \le (B(x))^2 \) (један систем, тражи се пресек).
- \( \sqrt{A(x)} \ge B(x) \iff (B(x) \ge 0 \land A(x) \ge (B(x))^2) \lor (B(x) < 0 \land A(x) \ge 0) \) (два случаја, тражи се унија).
Ирационалне неједначине су неједначине у којима се непозната налази под знаком корена.
Приликом решавања неједначина са квадратним кореном морамо узети у обзир два основна својства:
- Поткорена величина мора бити ненегативна: \( A(x) \ge 0 \) (услов дефинисаности).
- Вредност квадратног корена је увек ненегативна: \( \sqrt{A(x)} \ge 0 \).
Неједначине се могу посматрати и графички као однос две функције \( y = \sqrt{A(x)} \) и \( y = B(x) \).
![Нацртати координатни систем са X и Y осом.
Приказати график функције \( y = \sqrt{x + 6} \) као глатку криву која почиње у тачки \( A(-6, 0) \) на X-оси и простире се у позитивном смеру X и Y осе.
Приказати график функције \( y = x + 4 \) као праву линију која пролази кроз тачке \( B(-4, 0) \) на X-оси и \( C(0, 4) \) на Y-оси.
Оба графика се секу у тачки \( P(-2, 2) \).
Означити тачке \( A(-6, 0) \) и \( P(-2, 2) \) њиховим координатама.
Делови графика су визуелно разликовани за следеће интервале:
1. За интервал \( x \in [-2, +\infty) \): део праве \( y = x + 4 \) и део криве \( y = \sqrt{x + 6} \) који почињу од тачке \( P(-2, 2) \) и настављају се ка позитивном X смеру, истакнути су (нпр. дебљом линијом) да прикажу регион где је права изнад криве (\(\sqrt{x+6} \le x+4\)).
2. За интервал \( x \in [-6, -2] \): део криве \( y = \sqrt{x + 6} \) од тачке \( A(-6, 0) \) до тачке \( P(-2, 2) \) и одговарајући део праве \( y = x + 4 \) за \( x \in [-6, -2] \) (од тачке \((-6, -2)\) до тачке \(P(-2,2)\)), истакнути су (нпр. линијом друге боје) да прикажу регион где је крива изнад праве (\(x+4 \le \sqrt{x+6}\)).
Обе функције \( y = \sqrt{x + 6} \) и \( y = x + 4 \) треба да буду јасно означене поред својих графика.](http://127.0.0.1:8003/get_image/a2c4f87f-c764-4226-a6f1-fb9208eb1be2?timestamp=1789718697)
Неједначина облика \( \sqrt{A(x)} \le B(x) \) еквивалентна је систему неједначина:
\[ \sqrt{A(x)} \le B(x) \iff \begin{cases} A(x) \ge 0 \\ B(x) \ge 0 \\ A(x) \le (B(x))^2 \end{cases} \]
За строгу неједначину важи:
\[ \sqrt{A(x)} < B(x) \iff \begin{cases} A(x) \ge 0 \\ B(x) > 0 \\ A(x) < (B(x))^2 \end{cases} \]
- Поставити услов дефинисаности корена: \( A(x) \ge 0 \).
- Поставити услов ненегативности десне стране: \( B(x) \ge 0 \) (јер позитиван корен не може бити мањи од негативног броја).
- Квадрирати обе стране неједначине: \( A(x) \le (B(x))^2 \).
- Одредити пресек решења сва три услова.
Решимо неједначину \( \sqrt{x^2 - 5x + 4} \le x - 3 \).
Постављамо систем: \[ \begin{cases} x^2 - 5x + 4 \ge 0 \implies x \in (-\infty, 1] \cup [4, +\infty) \\ x - 3 \ge 0 \implies x \in [3, +\infty) \\ x^2 - 5x + 4 \le (x - 3)^2 \implies x^2 - 5x + 4 \le x^2 - 6x + 9 \implies x \le 5 \implies x \in (-\infty, 5] \end{cases} \] Пресек ових скупова даје коначно решење: \( x \in [4, 5] \).
Постављамо систем: \[ \begin{cases} x^2 - 5x + 4 \ge 0 \implies x \in (-\infty, 1] \cup [4, +\infty) \\ x - 3 \ge 0 \implies x \in [3, +\infty) \\ x^2 - 5x + 4 \le (x - 3)^2 \implies x^2 - 5x + 4 \le x^2 - 6x + 9 \implies x \le 5 \implies x \in (-\infty, 5] \end{cases} \] Пресек ових скупова даје коначно решење: \( x \in [4, 5] \).
Решите неједначину \( \sqrt{x + 2} \le 4 \).
Пошто је десна страна позитивна (\(4 \ge 0\)), систем је:
\[ \begin{cases} x + 2 \ge 0 \\ x + 2 \le 4^2 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge -2 \\ x + 2 \le 16 \implies x \le 14 \end{cases} \]
Коначно решење је: \( x \in [-2, 14] \).
Неједначина облика \( \sqrt{A(x)} \ge B(x) \) еквивалентна је унији два дисјунктна система неједначина:
\[ \sqrt{A(x)} \ge B(x) \iff \left( B(x) \ge 0 \land A(x) \ge (B(x))^2 \right) \lor \left( B(x) < 0 \land A(x) \ge 0 \right) \]
За строгу неједначину важи:
\[ \sqrt{A(x)} > B(x) \iff \left( B(x) \ge 0 \land A(x) > (B(x))^2 \right) \lor \left( B(x) < 0 \land A(x) \ge 0 \right) \]
- Први случај (\( B(x) < 0 \)): Корен је увек већи од негативног броја, па је довољно само да корен буде дефинисан: \( A(x) \ge 0 \land B(x) < 0 \).
- Други случај (\( B(x) \ge 0 \)): Обе стране су ненегативне, па смемо да квадрирамо: \( A(x) \ge (B(x))^2 \land B(x) \ge 0 \). (Услов \( A(x) \ge 0 \) је овде аутоматски испуњен јер је \( A(x) \ge (B(x))^2 \ge 0 \)).
- Коначно решење је унија решења ова два случаја.
Решимо неједначину \( \sqrt{x^2 - 5x - 24} \ge x - 2 \).
Случај 1 (\( x - 2 \ge 0 \)): \[ x \ge 2 \land x^2 - 5x - 24 \ge (x - 2)^2 \iff x \ge 2 \land -x \ge 28 \iff x \ge 2 \land x \le -28 \implies \emptyset \] Случај 2 (\( x - 2 < 0 \)): \[ x < 2 \land x^2 - 5x - 24 \ge 0 \iff x < 2 \land x \in (-\infty, -3] \cup [8, +\infty) \implies x \in (-\infty, -3] \] Коначно решење је унија: \( \emptyset \cup (-\infty, -3] = (-\infty, -3] \).
Случај 1 (\( x - 2 \ge 0 \)): \[ x \ge 2 \land x^2 - 5x - 24 \ge (x - 2)^2 \iff x \ge 2 \land -x \ge 28 \iff x \ge 2 \land x \le -28 \implies \emptyset \] Случај 2 (\( x - 2 < 0 \)): \[ x < 2 \land x^2 - 5x - 24 \ge 0 \iff x < 2 \land x \in (-\infty, -3] \cup [8, +\infty) \implies x \in (-\infty, -3] \] Коначно решење је унија: \( \emptyset \cup (-\infty, -3] = (-\infty, -3] \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Решите неједначину \( \sqrt{x - 3} \le 2 \).
Постављамо систем услова:
\[ \begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ x - 3 \le 2^2 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge 3 \\ x \le 7 \end{cases} \]
Решење: \( x \in [3, 7] \).
Задатак 2 (средњи): Решите неједначину \( \sqrt{x + 3} \le x + 1 \).
Неједначина је облика \( \sqrt{A(x)} \le B(x) \), па решавамо систем:
\[ \begin{cases} x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3 \\ x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1 \\ x + 3 \le (x + 1)^2 \implies x + 3 \le x^2 + 2x + 1 \implies x^2 + x - 2 \ge 0 \end{cases} \]
Решење квадратне неједначине \( (x + 2)(x - 1) \ge 0 \) је \( x \in (-\infty, -2] \cup [1, +\infty) \).
Пресек услова \( x \ge -1 \) и \( x \in (-\infty, -2] \cup [1, +\infty) \) је:
Решење: \( x \in [1, +\infty) \).
Пресек услова \( x \ge -1 \) и \( x \in (-\infty, -2] \cup [1, +\infty) \) је:
Решење: \( x \in [1, +\infty) \).
Задатак 3 (тежи): Решите неједначину \( \sqrt{2x + 5} > x + 1 \).
Неједначина је облика \( \sqrt{A(x)} > B(x) \), па разматрамо два случаја:
1. случај (\( x + 1 < 0 \)): \[ x < -1 \land 2x + 5 \ge 0 \iff x < -1 \land x \ge -\frac{5}{2} \implies x \in \left[-\frac{5}{2}, -1\right) \] 2. случај (\( x + 1 \ge 0 \)): \[ x \ge -1 \land 2x + 5 > (x + 1)^2 \iff x \ge -1 \land 2x + 5 > x^2 + 2x + 1 \iff x^2 - 4 < 0 \] Квадратна неједначина има решење \( x \in (-2, 2) \). У пресеку са \( x \ge -1 \) добијамо интервал \( [-1, 2) \).
Унија решења оба случаја: \[ \left[-\frac{5}{2}, -1\right) \cup [-1, 2) = \left[-\frac{5}{2}, 2\right) \] Решење: \( x \in \left[-\frac{5}{2}, 2\right) \).
1. случај (\( x + 1 < 0 \)): \[ x < -1 \land 2x + 5 \ge 0 \iff x < -1 \land x \ge -\frac{5}{2} \implies x \in \left[-\frac{5}{2}, -1\right) \] 2. случај (\( x + 1 \ge 0 \)): \[ x \ge -1 \land 2x + 5 > (x + 1)^2 \iff x \ge -1 \land 2x + 5 > x^2 + 2x + 1 \iff x^2 - 4 < 0 \] Квадратна неједначина има решење \( x \in (-2, 2) \). У пресеку са \( x \ge -1 \) добијамо интервал \( [-1, 2) \).
Унија решења оба случаја: \[ \left[-\frac{5}{2}, -1\right) \cup [-1, 2) = \left[-\frac{5}{2}, 2\right) \] Решење: \( x \in \left[-\frac{5}{2}, 2\right) \).
