Најважније из лекције
- Скуп вредности (\( E_f \)): Скуп свих могућих излазних вредности \( y \). На графику: пројекција на \( y \)-осу (хоризонталне линије \( y = b \) секу график).
- 1-1 функција: Свакој вредности \( y \) одговара највише једна вредност \( x \) (хоризонтална права сече график у највише једној тачки).
- Нуле и знак: Нуле су тачке пресека са \( x \)-осом (\( f(x) = 0 \)); позитивна је изнад \( x \)-осе (\( f(x) > 0 \)), а негативна испод ње (\( f(x) < 0 \)).
- Монотоност: Растућа чува редослед (\( x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2) \)), опадајућа га обрће (\( x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2) \)).
- Конвексност/Конкавност: Конвексна лежи испод тетиве (нпр. \( f(x) = x^2 \)), конкавна лежи изнад тетиве (нпр. \( f(x) = -x^2 \)). Линеарна је и једно и друго.
- Парност/Непарност: Захтева симетричан домен. Парна: \( f(-x) = f(x) \) (симетрија око \( y \)-осе). Непарна: \( f(-x) = -f(x) \) (симетрија око тачке \( (0,0) \)).
Скуп вредности функције \( f: D \to \mathbb{R} \) је скуп свих реалних бројева у које се функцијом \( f \) слика барем један елемент из домена \( D \).
\[ E_f = \{y \in \mathbb{R} \mid y = f(x) \text{ за неко } x \in D\} \]
Број \( b \in \mathbb{R} \) припада скупу вредности \( E_f \) ако и само ако хоризонтална права \( y = b \) сече график функције \( y = f(x) \) барем у једној тачки.
За функцију \( f(x) = x^2 - 1 \) дефинисану на \( \mathbb{R} \), скуп вредности је \( E_f = [-1, +\infty) \), јер квадрат броја не може бити мањи од нуле (\( x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 - 1 \geq -1 \)).
Функција \( f: D \to \mathbb{R} \) је 1-1 (инјективна) ако различитим оригиналима одговарају различите слике:
\[ x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2) \quad \text{односно} \quad f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2 \]
Хоризонтални тест: Функција је 1-1 ако свака хоризонтална права \( y = b \) сече њен график у највише једној тачки.
Функција \( f(x) = x^2 \) на \( \mathbb{R} \) није 1-1 функција јер је \( -2 \neq 2 \), а \( f(-2) = f(2) = 4 \). Права \( y = 4 \) сече график у две тачке.
Нула функције је свака вредност \( x \in D \) за коју је \( f(x) = 0 \). Геометријски, то су \( x \)-координате пресечних тачака графика са \( x \)-осом.
Знак функције:
- Функција је позитивна на скупу \( A \subseteq D \) ако је \( f(x) > 0 \) за свако \( x \in A \) (график је изнад \( x \)-осе).
- Функција је негативна на скупу \( A \subseteq D \) ако је \( f(x) < 0 \) за свако \( x \in A \) (график је испод \( x \)-осе).
- Решења једначине \( f(x) = g(x) \) су \( x \)-координате пресека графика \( y = f(x) \) и \( y = g(x) \).
- Решења неједначине \( f(x) > g(x) \) чине све вредности \( x \) за које се график функције \( f \) налази изнад графика функције \( g \).
За функцију \( f(x) = x^2 - 4 \):
- Нуле су решења једначине \( x^2 - 4 = 0 \), па су то \( x = -2 \) и \( x = 2 \).
- Функција је позитивна на интервалима \( (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) \).
- Функција је негативна на интервалу \( (-2, 2) \).
Функција \( f: D \to \mathbb{R} \) је на скупу \( A \subseteq D \):
- растућа ако за свака два броја \( x_1, x_2 \in A \) важи: \[ x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2) \]
- опадајућа ако за свака два броја \( x_1, x_2 \in A \) важи: \[ x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2) \]
Својство монотоности се дефинише и посматра на појединачним интервалима. Ако функција расте на два засебна интервала, не значи нужно да расте и на њиховој унији.
Функција \( f(x) = x^2 \):
- Опада на интервалу \( (-\infty, 0] \).
- Расте на интервалу \( [0, +\infty) \).
Геометријски смисао:
- Функција је конвексна (испупчена надоле / удубљена) на интервалу \( A \) ако се одговарајући део графика налази испод дужи која спаја било које две тачке тог дела графика.
- Функција је конкавна (испупчена нагоре) на интервалу \( A \) ако се одговарајући део графика налази изнад поменуте дужи.
Функција \( f \) је на интервалу \( A \) за све \( a, b \in A \) и позитивне \( t_1, t_2 \) (\( t_1 + t_2 = 1 \)):
\[ \text{Конвексна: } f(t_1 a + t_2 b) \leq t_1 f(a) + t_2 f(b) \]
\[ \text{Конкавна: } f(t_1 a + t_2 b) \geq t_1 f(a) + t_2 f(b) \]
Свака линеарна функција \( f(x) = kx + n \) је истовремено и конвексна и конкавна на \( \mathbb{R} \), јер важи знак једнакости: \( f(t_1 a + t_2 b) = t_1 f(a) + t_2 f(b) \).
Функција \( f(x) = \frac{1}{x} \) је:
- конвексна на интервалу \( (0, +\infty) \),
- конкавна на интервалу \( (-\infty, 0) \).
Особине парности и непарности разматрају се само за функције чији је домен \( D \) симетричан у односу на нулу:
\[ x \in D \iff -x \in D \]
Ако је домен \( D \) симетричан скуп, функција \( f \) је:
- парна ако за свако \( x \in D \) важи: \( f(-x) = f(x) \)
- непарна ако за свако \( x \in D \) важи: \( f(-x) = -f(x) \)
Симетрија графика:
- График парне функције је осно симетричан у односу на \( y \)-осу (права \( x = 0 \)).
- График непарне функције је централно симетричан у односу на координатни почетак \( (0, 0) \).
- \( f(x) = |x| \) и \( f(x) = x^2 \) су парне јер је \( f(-x) = |-x| = |x| = f(x) \).
- \( f(x) = \frac{1}{x} \) и \( f(x) = x^3 \) су непарне јер је \( f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x) \).
- \( f(x) = x - 1 \) није ни парна ни непарна јер \( f(-x) = -x - 1 \), што није једнако ни \( f(x) \) ни \( -f(x) \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Испитај парност функције \( f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 7 \).
Домен функције је \( D = \mathbb{R} \), што је скуп симетричан у односу на нулу.
\[ f(-x) = 3(-x)^4 - 2(-x)^2 + 7 = 3x^4 - 2x^2 + 7 = f(x) \]
Одговор: Како је \( f(-x) = f(x) \), функција је парна.
Задатак 2 (средњи): Дата је функција \( f(x) = 2x - 6 \).
а) Одреди њену нулу и интервале знака.
б) Докажи да је функција 1-1 на \( \mathbb{R} \).
а) Одреди њену нулу и интервале знака.
б) Докажи да је функција 1-1 на \( \mathbb{R} \).
- Нула: \( 2x - 6 = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3 \).
- Позитивна (\( f(x) > 0 \)): \( 2x - 6 > 0 \implies x > 3 \implies x \in (3, +\infty) \).
- Негативна (\( f(x) < 0 \)): \( 2x - 6 < 0 \implies x < 3 \implies x \in (-\infty, 3) \).
Претпоставимо да је \( f(x_1) = f(x_2) \):
\[ 2x_1 - 6 = 2x_2 - 6 \implies 2x_1 = 2x_2 \implies x_1 = x_2 \]
Дакле, функција је 1-1.
Задатак 3 (средњи): Одреди скуп вредности \( E_f \) за функцију \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \( f(x) = -x^2 + 4 \), и испитај њену монотоност.
Пошто је \( x^2 \geq 0 \) за свако \( x \in \mathbb{R} \), следи \( -x^2 \leq 0 \), односно \( -x^2 + 4 \leq 4 \).
Највећа вредност функције је \( 4 \) (за \( x = 0 \)), па је скуп вредности: \[ E_f = (-\infty, 4] \]
Највећа вредност функције је \( 4 \) (за \( x = 0 \)), па је скуп вредности: \[ E_f = (-\infty, 4] \]
График је парабола окренута отвором надоле са теменом у \( (0, 4) \):
- Функција је растућа на интервалу \( (-\infty, 0] \).
- Функција је опадајућа на интервалу \( [0, +\infty) \).
Задатак 4 (тежак): Испитај парност функције \( g(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1} \) и одреди да ли је дефинисана на симетричном домену.
Именилац не сме бити нула: \( x^2 - 1 \neq 0 \implies x \neq 1 \) и \( x \neq -1 \).
Домен је \( D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} = (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty) \).
Овај домен је симетричан у односу на нулу.
Домен је \( D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} = (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty) \).
Овај домен је симетричан у односу на нулу.
\[ g(-x) = \frac{(-x)^3}{(-x)^2 - 1} = \frac{-x^3}{x^2 - 1} = -\frac{x^3}{x^2 - 1} = -g(x) \]
Одговор: Пошто је домен симетричан и важи \( g(-x) = -g(x) \), функција је непарна (њен график је симетричан у односу на координатни почетак).
