Најважније из лекције
Кључне особине квадратне функције \( f(x) = ax^2 + bx + c \):
- Теме: \( T\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right) \). Преломна тачка за монотоност и екстремум.
- Екстремум и скуп вредности:
- За \( a > 0 \): Отвор нагоре \(\cup\) (конвексна), има минимум \( y_{\min} = y_T \), скуп вредности је \( [y_T, +\infty) \).
- За \( a < 0 \): Отвор надоле \(\cap\) (конкавна), има максимум \( y_{\max} = y_T \), скуп вредности је \( (-\infty, y_T] \).
- Монотоност: Раздваја се у тачки \( x = -\frac{b}{2a} \).
- Остале особине: Није инјективна (\( 1-1 \)); парна је једино ако је \( b = 0 \).
- Оптимизација: Користи се за одређивање највеће површине, најмањих трошкова или екстрема алгебарских израза у тачки \( x_T = -\frac{b}{2a} \).
Свака квадратна функција \( f(x) = ax^2 + bx + c \) (\( a \neq 0 \)) може се трансформисати у канонски облик.
\[ f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a} \]
Канонски облик квадратне функције, где је \( D = b^2 - 4ac \) дискриминанта.
Теме параболе \( T(x_T, y_T) \) представља тачку превоја у којој функција мења монотоност и достиже своју екстремну вредност:
\[ T\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right) \quad \text{односно} \quad T\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{D}{4a}\right) \]
За функцију \( f(x) = 2x^2 - 8x + 6 \):
Коефицијенти су \( a = 2, b = -8, c = 6 \).
Апсциса темена: \( x_T = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = 2 \)
Ордината темена: \( y_T = f(2) = 2 \cdot 2^2 - 8 \cdot 2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2 \)
Теме параболе је тачка \( T(2, -2) \), а канонски облик је \( f(x) = 2(x - 2)^2 - 2 \).
Коефицијенти су \( a = 2, b = -8, c = 6 \).
Апсциса темена: \( x_T = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = 2 \)
Ордината темена: \( y_T = f(2) = 2 \cdot 2^2 - 8 \cdot 2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2 \)
Теме параболе је тачка \( T(2, -2) \), а канонски облик је \( f(x) = 2(x - 2)^2 - 2 \).
Одредити канонски облик и координате темена параболе \( f(x) = -x^2 + 4x - 5 \).
Коефицијенти: \( a = -1, b = 4, c = -5 \).
\( x_T = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2 \)
\( y_T = f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 5 = -4 + 8 - 5 = -1 \)
Координате темена су \( T(2, -1) \).
Канонски облик: \( f(x) = -(x - 2)^2 - 1 \).
\( x_T = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2 \)
\( y_T = f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 5 = -4 + 8 - 5 = -1 \)
Координате темена су \( T(2, -1) \).
Канонски облик: \( f(x) = -(x - 2)^2 - 1 \).
Нека су \( a, b, c \in \mathbb{R} \) и \( a \neq 0 \). Екстремна вредност тринома \( ax^2 + bx + c \) достиже се за \( x = -\frac{b}{2a} \) и износи \( y_E = \frac{4ac - b^2}{4a} \):
- Ако је \( a > 0 \), функција достиже минимум: \( y_{\min} = \frac{4ac - b^2}{4a} \) за \( x = -\frac{b}{2a} \).
- Ако је \( a < 0 \), функција достиже максимум: \( y_{\max} = \frac{4ac - b^2}{4a} \) за \( x = -\frac{b}{2a} \).
Скуп вредности (кодомен) функције зависи искључиво од знака коефицијента \( a \) и ординате темена:
| Коефицијент \( a \) | Екстремна вредност | Скуп вредности \( f(\mathbb{R}) \) |
|---|---|---|
| \( a > 0 \) | Минимум \( y_{\min} = y_T \) | \( [y_T, +\infty) = \left[\frac{4ac - b^2}{4a}, +\infty\right) \) |
| \( a < 0 \) | Максимум \( y_{\max} = y_T \) | \( (-\infty, y_T] = \left(-\infty, \frac{4ac - b^2}{4a}\right] \) |
Трином \( -2x^2 + 7x - 11 \) има \( a = -2 < 0 \), па функција има максимум.
Максимум се достиже за: \( x = -\frac{7}{2(-2)} = \frac{7}{4} \).
Максимална вредност је: \[ y_{\max} = \frac{4(-2)(-11) - 7^2}{4(-2)} = \frac{88 - 49}{-8} = -\frac{39}{8} \] Скуп вредности ове функције је \( \left(-\infty, -\frac{39}{8}\right] \).
Максимум се достиже за: \( x = -\frac{7}{2(-2)} = \frac{7}{4} \).
Максимална вредност је: \[ y_{\max} = \frac{4(-2)(-11) - 7^2}{4(-2)} = \frac{88 - 49}{-8} = -\frac{39}{8} \] Скуп вредности ове функције је \( \left(-\infty, -\frac{39}{8}\right] \).
Одредити екстремну вредност и скуп вредности функције \( f(x) = 2x^2 + x + 1 \).
Како је \( a = 2 > 0 \), функција има минимум.
\( x_T = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4} \)
\( y_{\min} = \frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{4 \cdot 2 \cdot 1 - 1^2}{4 \cdot 2} = \frac{8 - 1}{8} = \frac{7}{8} \)
Скуп вредности функције је \( \left[\frac{7}{8}, +\infty\right) \).
\( x_T = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4} \)
\( y_{\min} = \frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{4 \cdot 2 \cdot 1 - 1^2}{4 \cdot 2} = \frac{8 - 1}{8} = \frac{7}{8} \)
Скуп вредности функције је \( \left[\frac{7}{8}, +\infty\right) \).
Монотоност: Апсциса темена \( x_T = -\frac{b}{2a} \) дели домен на два интервала монотоности:
- Ако је \( a > 0 \): функција опада на \( \left(-\infty, -\frac{b}{2a}\right] \), а расте на \( \left[-\frac{b}{2a}, +\infty\right) \).
- Ако је \( a < 0 \): функција расте на \( \left(-\infty, -\frac{b}{2a}\right] \), а опада на \( \left[-\frac{b}{2a}, +\infty\right) \).
Конвексност и конкавност:
- Ако је \( a > 0 \), парабола је окренута отвором нагоре и функција је конвексна на целом \( \mathbb{R} \).
- Ако је \( a < 0 \), парабола је окренута отвором надоле и функција је конкавна на целом \( \mathbb{R} \).
Квадратна функција \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) никада није инјективна (1-1), јер различитим вредностима аргумента могу одговарати исте вредности функције (симетрија у односу на праву \( x = -\frac{b}{2a} \)).
Парност: Квадратна функција је парна (\( f(-x) = f(x) \)) ако и само ако је \( b = 0 \) (тада је оса симетрије у-оса). Ако је \( b \neq 0 \), функција није ни парна ни непарна.
Испитати парност, интервале монотоности и конвексност функције \( f(x) = -3x^2 + 6x \).
1. Парност: Пошто је \( b = 6 \neq 0 \), функција није ни парна ни непарна (\( f(-x) \neq f(x) \) и \( f(-x) \neq -f(x) \)).
2. Монотоност: \( a = -3 < 0 \), \( x_T = -\frac{6}{2(-3)} = 1 \).
Функција расте на интервалу \( (-\infty, 1] \), а опада на интервалу \( [1, +\infty) \).
3. Конкавност: Пошто је \( a < 0 \), функција је конкавна на \( \mathbb{R} \).
2. Монотоност: \( a = -3 < 0 \), \( x_T = -\frac{6}{2(-3)} = 1 \).
Функција расте на интервалу \( (-\infty, 1] \), а опада на интервалу \( [1, +\infty) \).
3. Конкавност: Пошто је \( a < 0 \), функција је конкавна на \( \mathbb{R} \).
Нуле функције су тачке у којима график сече или додирује \( x \)-осу, а одређују се решавањем једначине \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Знак функције одређује за које је вредности \( x \) вредност \( f(x) > 0 \) (график изнад \( x \)-осе), а за које \( f(x) < 0 \) (график испод \( x \)-осе):
- За \( D > 0 \): Функција има две реалне нуле \( x_1 < x_2 \).
- Ако је \( a > 0 \): \( f(x) > 0 \) на \( (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty) \), а \( f(x) < 0 \) на \( (x_1, x_2) \).
- Ако је \( a < 0 \): \( f(x) > 0 \) на \( (x_1, x_2) \), а \( f(x) < 0 \) на \( (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty) \).
- За \( D = 0 \): Функција има једну двоструку нулу \( x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a} \). Знак функције је исти као знак броја \( a \) за свако \( x \neq x_1 \).
- За \( D < 0 \): Функција нема реалних нула и има исти знак као број \( a \) за све \( x \in \mathbb{R} \).
Одредити нуле и знак функције \( f(x) = x^2 - 5x + 6 \).
Нуле добијамо решавањем \( x^2 - 5x + 6 = 0 \):
\( x_1 = 2, x_2 = 3 \).
Како је \( a = 1 > 0 \), парабола је окренута нагоре:
\( f(x) > 0 \) за \( x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty) \)
\( f(x) < 0 \) за \( x \in (2, 3) \)
\( x_1 = 2, x_2 = 3 \).
Како је \( a = 1 > 0 \), парабола је окренута нагоре:
\( f(x) > 0 \) за \( x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty) \)
\( f(x) < 0 \) за \( x \in (2, 3) \)
Величину коју треба минимизовати или максимизовати изразити преко једне независне променљиве у облику квадратне функције \( f(x) = ax^2 + bx + c \).
Помоћу формуле за апсцису темена \( x_T = -\frac{b}{2a} \) одредити вредност променљиве за коју се постиже максимум (ако је \( a < 0 \)) или минимум (ако је \( a > 0 \)).
Уврстити \( x_T \) у израз да би се израчунала максимална/минимална вредност.
Проблем највеће површине: Од свих правоугаоника обима \( 24\text{ cm} \), одредити онај са највећом површином.
Обим је \( 2(a + b) = 24 \implies b = 12 - a \).
Површина као функција странице \( a \) је: \[ P(a) = a(12 - a) = -a^2 + 12a \] Ово је квадратна функција где је коефицијент уз \( a^2 \) једнак \( -1 < 0 \), што значи да површина достиже максимум за: \[ a = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2(-1)} = 6\text{ cm} \] Тада је и \( b = 12 - 6 = 6\text{ cm} \).
Закључак: Међу свим правоугаоницима датог обима, највећу површину има квадрат. Његова површина износи \( P_{\max} = 6 \cdot 6 = 36\text{ cm}^2 \).
Обим је \( 2(a + b) = 24 \implies b = 12 - a \).
Површина као функција странице \( a \) је: \[ P(a) = a(12 - a) = -a^2 + 12a \] Ово је квадратна функција где је коефицијент уз \( a^2 \) једнак \( -1 < 0 \), што значи да површина достиже максимум за: \[ a = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2(-1)} = 6\text{ cm} \] Тада је и \( b = 12 - 6 = 6\text{ cm} \).
Закључак: Међу свим правоугаоницима датог обима, највећу површину има квадрат. Његова површина износи \( P_{\max} = 6 \cdot 6 = 36\text{ cm}^2 \).
Збир два реална броја је \( 1 \). Одредити та два броја тако да њихов производ буде највећи могући.
Нека су бројеви \( x \) и \( y \). Важи \( x + y = 1 \implies y = 1 - x \).
Производ је \( P(x) = x \cdot y = x(1 - x) = -x^2 + x \).
Како је коефицијент уз \( x^2 \) негативан (\( a = -1 < 0 \)), функција има максимум за: \[ x = -\frac{1}{2(-1)} = \frac{1}{2} \] Тада је и \( y = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \).
Највећи производ износи \( P_{\max} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \).
Производ је \( P(x) = x \cdot y = x(1 - x) = -x^2 + x \).
Како је коефицијент уз \( x^2 \) негативан (\( a = -1 < 0 \)), функција има максимум за: \[ x = -\frac{1}{2(-1)} = \frac{1}{2} \] Тада је и \( y = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \).
Највећи производ износи \( P_{\max} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Одредити координате темена, екстремну вредност и скуп вредности функције \( f(x) = x^2 - 6x + 5 \).
Коефицијенти су \( a = 1, b = -6, c = 5 \).
1. Апсциса темена: \( x_T = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3 \).
2. Ордината темена: \( y_T = f(3) = 3^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 \).
Теме параболе је \( T(3, -4) \).
3. Пошто је \( a = 1 > 0 \), функција има минимум који износи \( y_{\min} = -4 \) за \( x = 3 \).
4. Скуп вредности функције је \( [-4, +\infty) \).
1. Апсциса темена: \( x_T = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3 \).
2. Ордината темена: \( y_T = f(3) = 3^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 \).
Теме параболе је \( T(3, -4) \).
3. Пошто је \( a = 1 > 0 \), функција има минимум који износи \( y_{\min} = -4 \) за \( x = 3 \).
4. Скуп вредности функције је \( [-4, +\infty) \).
Задатак 2 (средњи): Испитати монотоност, конвексност и знак функције \( f(x) = -x^2 + 2x + 8 \).
Коефицијенти: \( a = -1, b = 2, c = 8 \).
1. Теме: \( x_T = -\frac{2}{2(-1)} = 1 \), \( y_T = -(1)^2 + 2(1) + 8 = 9 \implies T(1, 9) \).
2. Монотоност: Пошто је \( a < 0 \), функција расте на \( (-\infty, 1] \), а опада на \( [1, +\infty) \).
3. Конкавност: Како је \( a < 0 \), функција је конкавна на \( \mathbb{R} \).
4. Нуле и знак: Решавањем \( -x^2 + 2x + 8 = 0 \) добијамо нуле \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 4 \).
Функција је позитивна (\( f(x) > 0 \)) за \( x \in (-2, 4) \), а негативна (\( f(x) < 0 \)) за \( x \in (-\infty, -2) \cup (4, +\infty) \).
1. Теме: \( x_T = -\frac{2}{2(-1)} = 1 \), \( y_T = -(1)^2 + 2(1) + 8 = 9 \implies T(1, 9) \).
2. Монотоност: Пошто је \( a < 0 \), функција расте на \( (-\infty, 1] \), а опада на \( [1, +\infty) \).
3. Конкавност: Како је \( a < 0 \), функција је конкавна на \( \mathbb{R} \).
4. Нуле и знак: Решавањем \( -x^2 + 2x + 8 = 0 \) добијамо нуле \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 4 \).
Функција је позитивна (\( f(x) > 0 \)) за \( x \in (-2, 4) \), а негативна (\( f(x) < 0 \)) за \( x \in (-\infty, -2) \cup (4, +\infty) \).
Задатак 3 (средњи): Доказати да за свака два реална броја \( x \) и \( y \) таква да је \( x - 2y = 3 \), важи неједнакост \( x \cdot y \geq -\frac{9}{8} \). За које вредности \( x \) и \( y \) се достиже ова минимална вредност?
Из једнакости \( x - 2y = 3 \) изразимо \( x \): \( x = 2y + 3 \).
Посматрајмо производ као функцију променљиве \( y \): \[ P(y) = x \cdot y = (2y + 3)y = 2y^2 + 3y \] Ово је квадратна функција по \( y \) где је \( a = 2, b = 3, c = 0 \).
Како је \( a = 2 > 0 \), функција има минимум за: \[ y = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 2} = -\frac{3}{4} \] Минимална вредност производа је: \[ P_{\min} = 2\left(-\frac{3}{4}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{4}\right) = 2 \cdot \frac{9}{16} - \frac{9}{4} = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} = -\frac{9}{8} \] Како је минимум једнак \( -\frac{9}{8} \), важи \( x \cdot y \geq -\frac{9}{8} \) за све такве бројеве.
Тада је одговарајућа вредност за \( x \): \[ x = 2\left(-\frac{3}{4}\right) + 3 = -\frac{3}{2} + 3 = \frac{3}{2} \] Одговор: Неједнакост важи, а минимум се достиже за \( x = \frac{3}{2} \) и \( y = -\frac{3}{4} \).
Посматрајмо производ као функцију променљиве \( y \): \[ P(y) = x \cdot y = (2y + 3)y = 2y^2 + 3y \] Ово је квадратна функција по \( y \) где је \( a = 2, b = 3, c = 0 \).
Како је \( a = 2 > 0 \), функција има минимум за: \[ y = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 2} = -\frac{3}{4} \] Минимална вредност производа је: \[ P_{\min} = 2\left(-\frac{3}{4}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{4}\right) = 2 \cdot \frac{9}{16} - \frac{9}{4} = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} = -\frac{9}{8} \] Како је минимум једнак \( -\frac{9}{8} \), важи \( x \cdot y \geq -\frac{9}{8} \) за све такве бројеве.
Тада је одговарајућа вредност за \( x \): \[ x = 2\left(-\frac{3}{4}\right) + 3 = -\frac{3}{2} + 3 = \frac{3}{2} \] Одговор: Неједнакост важи, а минимум се достиже за \( x = \frac{3}{2} \) и \( y = -\frac{3}{4} \).
Задатак 4 (тежак): Одредити минималну вредност збира квадрата два реална броја \( x \) и \( y \) ако они задовољавају услов \( x - 2y = 3 \).
Из услова је \( x = 2y + 3 \).
Збир квадрата изражен преко \( y \) је: \[ S(y) = x^2 + y^2 = (2y + 3)^2 + y^2 = 4y^2 + 12y + 9 + y^2 = 5y^2 + 12y + 9 \] Добили смо квадратну функцију са коефицијентима \( a = 5, b = 12, c = 9 \).
Како је \( a = 5 > 0 \), збир квадрата достиже минимум за: \[ y = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot 5} = -\frac{6}{5} \] Тада је \( x = 2\left(-\frac{6}{5}\right) + 3 = -\frac{12}{5} + \frac{15}{5} = \frac{3}{5} \).
Минимална вредност збира квадрата износи: \[ S_{\min} = S\left(-\frac{6}{5}\right) = 5\left(-\frac{6}{5}\right)^2 + 12\left(-\frac{6}{5}\right) + 9 = 5 \cdot \frac{36}{25} - \frac{72}{5} + 9 = \frac{36 - 72 + 45}{5} = \frac{9}{5} \] Одговор: Минимални збир квадрата износи \( \frac{9}{5} \) (максимум не постоји јер функција расте у бесконачност).
Збир квадрата изражен преко \( y \) је: \[ S(y) = x^2 + y^2 = (2y + 3)^2 + y^2 = 4y^2 + 12y + 9 + y^2 = 5y^2 + 12y + 9 \] Добили смо квадратну функцију са коефицијентима \( a = 5, b = 12, c = 9 \).
Како је \( a = 5 > 0 \), збир квадрата достиже минимум за: \[ y = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot 5} = -\frac{6}{5} \] Тада је \( x = 2\left(-\frac{6}{5}\right) + 3 = -\frac{12}{5} + \frac{15}{5} = \frac{3}{5} \).
Минимална вредност збира квадрата износи: \[ S_{\min} = S\left(-\frac{6}{5}\right) = 5\left(-\frac{6}{5}\right)^2 + 12\left(-\frac{6}{5}\right) + 9 = 5 \cdot \frac{36}{25} - \frac{72}{5} + 9 = \frac{36 - 72 + 45}{5} = \frac{9}{5} \] Одговор: Минимални збир квадрата износи \( \frac{9}{5} \) (максимум не постоји јер функција расте у бесконачност).
