Најважније из лекције
Услов еквиваленције: \( \sqrt{A(x)} = B(x) \iff A(x) = (B(x))^2 \land B(x) \geq 0 \).
Страна решења: Настају квадрирањем када се не уважи услов ненегативности десне стране (\( B(x) \geq 0 \)).
Више корена: Прво се одреди пресек области дефинисаности свих корена (\( A(x) \geq 0, B(x) \geq 0 \)), изрази се распореде тако да су обе стране ненегативне, а потом се врши квадрирање.
Страна решења: Настају квадрирањем када се не уважи услов ненегативности десне стране (\( B(x) \geq 0 \)).
Више корена: Прво се одреди пресек области дефинисаности свих корена (\( A(x) \geq 0, B(x) \geq 0 \)), изрази се распореде тако да су обе стране ненегативне, а потом се врши квадрирање.
Ирационалне једначине су једначине код којих се непозната налази под знаком корена.
Израз \( \sqrt{A(x)} \) је дефинисан само за оне вредности променљиве за које је \( A(x) \geq 0 \). За све такве вредности важи и \( \sqrt{A(x)} \geq 0 \).
Обе стране једначине не смеју се квадрирати без претходног постављања услова ненегативности, јер операција квадрирања може довести до појаве „страних” (неважећих) решења.
Једначина облика \( \sqrt{A(x)} = B(x) \) еквивалентна је систему:
\[ A(x) = (B(x))^2 \land B(x) \geq 0 \]
Услов \( A(x) \geq 0 \) није неопходно посебно писати, јер једнакост \( A(x) = (B(x))^2 \) сама по себи гарантује да је \( A(x) \geq 0 \), с обзиром на то да је квадрат било ког реалног броја ненегативан.
Решити једначину \( \sqrt{x + 6} = x \).
Решење:
Постављамо услов: \( x \geq 0 \).
Квадрирањем добијамо: \[ x + 6 = x^2 \iff x^2 - x - 6 = 0 \] Решења квадратне једначине су \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -2 \).
Због услова \( x \geq 0 \), одбацујемо \( x = -2 \), па је једино решење \( x = 3 \).
Решење:
Постављамо услов: \( x \geq 0 \).
Квадрирањем добијамо: \[ x + 6 = x^2 \iff x^2 - x - 6 = 0 \] Решења квадратне једначине су \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -2 \).
Због услова \( x \geq 0 \), одбацујемо \( x = -2 \), па је једино решење \( x = 3 \).
Решите једначину \( \sqrt{2x + 3} = x \).
Услов: \( x \geq 0 \).
Квадрирањем: \[ 2x + 3 = x^2 \iff x^2 - 2x - 3 = 0 \] \[ (x - 3)(x + 1) = 0 \implies x_1 = 3, \quad x_2 = -1 \] Због услова \( x \geq 0 \), вредност \( x = -1 \) није решење.
Решење: \( x = 3 \).
Квадрирањем: \[ 2x + 3 = x^2 \iff x^2 - 2x - 3 = 0 \] \[ (x - 3)(x + 1) = 0 \implies x_1 = 3, \quad x_2 = -1 \] Због услова \( x \geq 0 \), вредност \( x = -1 \) није решење.
Решење: \( x = 3 \).
Одредити вредности за које су све поткорене величине ненегативне (\( A(x) \geq 0, B(x) \geq 0, \dots \)).
Ако постоји разлика корена, негативан корен пребацити на другу страну једнакости тако да обе стране буду ненегативне:
\[ \sqrt{A(x)} - \sqrt{B(x)} = C \iff \sqrt{A(x)} = C + \sqrt{B(x)} \]
Квадрирати обе стране, средити израз тако да преостали корен остане сам на једној страни, а затим поновити поступак решавања једначине типа \( \sqrt{P(x)} = Q(x) \).
Решити једначину \( \sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 6} = 2 \).
Решење:
Решење:
- Област дефинисаности: \( x + 2 \geq 0 \land x - 6 \geq 0 \implies x \geq 6 \).
- Пребацивање члана: \( \sqrt{x + 2} = 2 + \sqrt{x - 6} \) (обе стране су ненегативне за \( x \geq 6 \)).
- Квадрирање: \[ (\sqrt{x + 2})^2 = (2 + \sqrt{x - 6})^2 \] \[ x + 2 = 4 + 4\sqrt{x - 6} + x - 6 \] \[ x + 2 = x - 2 + 4\sqrt{x - 6} \] \[ 4 = 4\sqrt{x - 6} \iff \sqrt{x - 6} = 1 \]
- Квадрирањем следи: \( x - 6 = 1 \implies x = 7 \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Решите ирационалну једначину:
\[ \sqrt{3x + 4} = 5 \]
Пошто је десна страна позитиван број (\( 5 \geq 0 \)), једначину директно квадрирамо:
\[ 3x + 4 = 5^2 \]
\[ 3x + 4 = 25 \]
\[ 3x = 21 \implies x = 7 \]
Решење: \( x = 7 \).
Задатак 2 (средњи): Решите ирационалну једначину:
\[ \sqrt{x + 5} = x - 1 \]
Једначина је еквивалентна систему:
\[ x + 5 = (x - 1)^2 \land x - 1 \geq 0 \]
\[ x + 5 = x^2 - 2x + 1 \land x \geq 1 \]
\[ x^2 - 3x - 4 = 0 \land x \geq 1 \]
Решавањем квадратне једначине добијамо:
\[ (x - 4)(x + 1) = 0 \implies x_1 = 4, \quad x_2 = -1 \]
Због услова \( x \geq 1 \), вредност \( x = -1 \) се одбацује.
Решење: \( x = 4 \).
Решење: \( x = 4 \).
Задатак 3 (тежи): Решите ирационалну једначину:
\[ \sqrt{x + 1} + \sqrt{2x + 3} = 1 \]
1. Услов дефинисаности:
\[ x + 1 \geq 0 \land 2x + 3 \geq 0 \iff x \geq -1 \land x \geq -\frac{3}{2} \iff x \geq -1 \]
2. Квадрирање:
Како су обе стране ненегативне за \( x \geq -1 \), квадрирањем добијамо:
\[ (x + 1) + 2\sqrt{(x + 1)(2x + 3)} + (2x + 3) = 1 \]
\[ 3x + 4 + 2\sqrt{(x + 1)(2x + 3)} = 1 \]
\[ 2\sqrt{(x + 1)(2x + 3)} = -3 - 3x \]
3. Услови за нови корен:
Десна страна мора бити ненегативна:
\[ -3 - 3x \geq 0 \iff -3x \geq 3 \iff x \leq -1 \]
4. Пресек услова:
Из услова \( x \geq -1 \) и \( x \leq -1 \) следи да једина могућа вредност може бити само:
\[ x = -1 \]
5. Провера:
Уврштавањем \( x = -1 \) у полазну једначину:
\[ \sqrt{-1 + 1} + \sqrt{2(-1) + 3} = \sqrt{0} + \sqrt{1} = 1 \]
Једнакост важи.
Решење: \( x = -1 \).
Решење: \( x = -1 \).
