Најважније из лекције
Дефинисаност: Корен парног реда \( \sqrt[2k]{a} \) дефинисан је само за \( a \geq 0 \) и увек је \( \geq 0 \). Корен непарног реда \( \sqrt[2k+1]{a} \) дефинисан је за све \( a \in \mathbb{R} \).
Кључни идентитет: \( \sqrt[n]{a^n} = |a| \) када је \( n \) паран, док је \( \sqrt[n]{a^n} = a \) када је \( n \) непаран.
Основне операције (\( a,b \geq 0 \)): \( \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \), \( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \), \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \), \( \sqrt[np]{a^{mp}} = \sqrt[n]{a^m} \).
Рационалисање: Мономни имениоци се множе са \( \sqrt[n]{a^{n-k}} \), а биномни \( \sqrt{a} \pm \sqrt{b} \) спрегнутим изразом \( \sqrt{a} \mp \sqrt{b} \) користећи разлику квадрата.
Кључни идентитет: \( \sqrt[n]{a^n} = |a| \) када је \( n \) паран, док је \( \sqrt[n]{a^n} = a \) када је \( n \) непаран.
Основне операције (\( a,b \geq 0 \)): \( \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \), \( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \), \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \), \( \sqrt[np]{a^{mp}} = \sqrt[n]{a^m} \).
Рационалисање: Мономни имениоци се множе са \( \sqrt[n]{a^{n-k}} \), а биномни \( \sqrt{a} \pm \sqrt{b} \) спрегнутим изразом \( \sqrt{a} \mp \sqrt{b} \) користећи разлику квадрата.
Квадратни корен: За ненегативан број \( a \geq 0 \), квадратни корен \( \sqrt{a} \) јесте јединствен ненегативан реалан број чији је квадрат једнак \( a \). За \( a < 0 \), квадратни корен у скупу реалних бројева није дефинисан.
Кубни корен: За било који реалан број \( a \in \mathbb{R} \), кубни корен \( \sqrt[3]{a} \) јесте јединствен реалан број чији је куб једнак \( a \). Кубни корен је дефинисан и за позитивне и за негативне бројеве, као и за нулу.
Општи \( n \)-ти корен (\( n \in \mathbb{N} \)):
- Ако је \( n \) паран број: \( \sqrt[n]{a} \) је дефинисан само за \( a \geq 0 \) и представља јединствен ненегативан број чији је \( n \)-ти степен једнак \( a \).
- Ако је \( n \) непаран број: \( \sqrt[n]{a} \) је дефинисан за свако \( a \in \mathbb{R} \) и представља јединствен реалан број чији је \( n \)-ти степен једнак \( a \).
За сваки природан број \( n \) и \( a \geq 0 \) важи:
\[ \sqrt[n]{a} \geq 0 \quad \text{и} \quad (\sqrt[n]{a})^n = a \]
- \( \sqrt{49} = 7 \), јер је \( 7^2 = 49 \) и \( 7 > 0 \);
- \( \sqrt[3]{-27} = -3 \), јер је \( (-3)^3 = -27 \);
- \( \sqrt[4]{16} = 2 \), док \( \sqrt[4]{-16} \) није дефинисан у \( \mathbb{R} \).
Израчунати вредност израза: \( \sqrt[3]{-64} + \sqrt[4]{81} - \sqrt{0,25} \).
\( \sqrt[3]{-64} = -4 \) (јер је \( (-4)^3 = -64 \))
\( \sqrt[4]{81} = 3 \) (јер је \( 3^4 = 81 \) и \( 3 \geq 0 \))
\( \sqrt{0,25} = 0,5 \)
Вредност израза: \( -4 + 3 - 0,5 = -1,5 \).
\( \sqrt[4]{81} = 3 \) (јер је \( 3^4 = 81 \) и \( 3 \geq 0 \))
\( \sqrt{0,25} = 0,5 \)
Вредност израза: \( -4 + 3 - 0,5 = -1,5 \).
Следеће особине важе за све ненегативне реалне бројеве \( a, b \geq 0 \) и природне бројеве \( m, n, p \in \mathbb{N} \):
- Множење корена истог реда: \[ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \]
- Дељење корена истог реда (\( b > 0 \)): \[ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \]
- Степеновање корена: \[ (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \]
- Корен из корена: \[ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \]
- Проширивање и скраћивање реда корена: \[ \sqrt[np]{a^{mp}} = \sqrt[n]{a^m} \]
Применом особина поједностављујемо рачун:
\[ \frac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{24}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2 \]
\[ \sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^6} = 2 \]
Скраћивањем реда корена упростити израз: \( \sqrt[12]{a^8} \) (\( a \geq 0 \)).
Налазимо највећи заједнички делилац за 12 и 8, а то је \( p = 4 \):
\[ \sqrt[12]{a^8} = \sqrt[3 \cdot 4]{a^{2 \cdot 4}} = \sqrt[3]{a^2} \]
Нека је \( a \) произвољан реалан број и \( n \in \mathbb{N} \):
- Ако је \( n \) непаран број: \[ \sqrt[n]{a^n} = a \]
- Ако је \( n \) паран број: \[ \sqrt[n]{a^n} = |a| = \begin{cases} a, & a \geq 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases} \]
Честа грешка је писати \( \sqrt{a^2} = a \). Тачна једнакост гласи \( \sqrt{a^2} = |a| \). На пример: \( \sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5 \), а не \( -5 \).
Упростити израз \( \sqrt{x^2 - 6x + 9} \):
\[ \sqrt{x^2 - 6x + 9} = \sqrt{(x - 3)^2} = |x - 3| \]
Израчунати вредност израза \( \sqrt[4]{(-3)^4} + \sqrt[3]{(-3)^3} \).
За паран корен: \( \sqrt[4]{(-3)^4} = |-3| = 3 \).
За непаран корен: \( \sqrt[3]{(-3)^3} = -3 \).
Збир: \( 3 + (-3) = 0 \).
За непаран корен: \( \sqrt[3]{(-3)^3} = -3 \).
Збир: \( 3 + (-3) = 0 \).
Ако поткорена величина има чинилац чији је изложилац већи или једнак реду корена:
\[ \sqrt[n]{a^{nk+r}} = \sqrt[n]{(a^k)^n \cdot a^r} = a^k \sqrt[n]{a^r} \quad (a \geq 0) \]
Чинилац испред корена степенујемо редом корена и уносимо под корен:
\[ a^k \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{(a^k)^n \cdot b} = \sqrt[n]{a^{nk} \cdot b} \quad (a \geq 0) \]
Поступак којим се разломак трансформише тако да се елиминишу корени из имениоца:
- Мономни именилац: \[ \frac{b}{\sqrt[n]{a^k}} = \frac{b}{\sqrt[n]{a^k}} \cdot \frac{\sqrt[n]{a^{n-k}}}{\sqrt[n]{a^{n-k}}} = \frac{b \sqrt[n]{a^{n-k}}}{a} \]
- Биномни именилац (разлика квадрата): \[ \frac{c}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a} \mp \sqrt{b})}{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})(\sqrt{a} \mp \sqrt{b})} = \frac{c(\sqrt{a} \mp \sqrt{b})}{a - b} \]
Рационалисати именилац:
\[ \frac{6}{\sqrt[3]{2}} = \frac{6 \cdot \sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2^2}} = \frac{6\sqrt[3]{4}}{2} = 3\sqrt[3]{4} \]
\[ \frac{4}{\sqrt{5}-1} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{4} = \sqrt{5}+1 \]
Извући чиниоце испред корена у изразу \( \sqrt[3]{250} \).
Раставимо 250 на чиниоце: \( 250 = 125 \cdot 2 = 5^3 \cdot 2 \).
\[ \sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 2} = 5\sqrt[3]{2} \]
Задаци за вежбање
Лак ниво: Израчунати вредност бројевног израза:
\[ I = \sqrt{(-6)^2} - \sqrt[3]{-125} + \sqrt[4]{(-2)^4} \]
Примењујемо правила кореновања за парне и непарне степене:
- \( \sqrt{(-6)^2} = |-6| = 6 \)
- \( \sqrt[3]{-125} = -5 \)
- \( \sqrt[4]{(-2)^4} = |-2| = 2 \)
Средњи ниво: Упростити израз и записати га помоћу једног корена (\( x > 0 \)):
\[ A = \sqrt{x \cdot \sqrt[3]{x^2}} \]
1. начин (уношењем под унутрашњи корен):
\[ x \cdot \sqrt[3]{x^2} = \sqrt[3]{x^3 \cdot x^2} = \sqrt[3]{x^5} \]
\[ A = \sqrt{\sqrt[3]{x^5}} = \sqrt[2 \cdot 3]{x^5} = \sqrt[6]{x^5} \]
Средњи ниво: Израчунати вредност израза:
\[ B = \sqrt{75} - 2\sqrt{12} + \frac{9}{\sqrt{3}} \]
Трансформишемо сваки сабирак извлачењем чиниоца испред корена и рационалисањем:
- \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \)
- \( 2\sqrt{12} = 2\sqrt{4 \cdot 3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \)
- \( \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3} \)
Тежак ниво: Рационалисати именилац и упростити израз:
\[ C = \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \]
Рационалишемо сваки разломак засебно (или сводимо на заједнички именилац):
\[ \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} = \sqrt{5} + \sqrt{3} \]
\[ \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{5 - 3} = \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2} = \sqrt{5} - \sqrt{3} \]
Одузимањем добијамо:
\[ C = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) - (\sqrt{5} - \sqrt{3}) = \sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{5} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \]
