Најважније из лекције
Општи облик: \( y = ax^2 + bx + c \) (\( a \neq 0 \)). График је парабола окренута нагоре (\( a > 0 \)) или надоле (\( a < 0 \)).
Канонски облик: \( y = a(x - x_T)^2 + y_T \), где је \( x_T = -\frac{b}{2a} \), \( y_T = -\frac{D}{4a} \).
Теме и симетрија: Теме је \( T\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right) \), а оса симетрије је права \( x = -\frac{b}{2a} \).
Пресеци са осама:
Канонски облик: \( y = a(x - x_T)^2 + y_T \), где је \( x_T = -\frac{b}{2a} \), \( y_T = -\frac{D}{4a} \).
Теме и симетрија: Теме је \( T\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right) \), а оса симетрије је права \( x = -\frac{b}{2a} \).
Пресеци са осама:
- Са \( y \)-осом: увек у тачки \( (0, c) \).
- Са \( x \)-осом: зависи од \( D = b^2 - 4ac \): за \( D > 0 \) два пресека, за \( D = 0 \) један додир у темену, за \( D < 0 \) нема пресека.
Квадратна функција је функција \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) дефинисана формулом:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
где су \( a, b, c \in \mathbb{R} \) реални бројеви (коефицијенти) и \( a \neq 0 \).
Парабола је крива у координатној равни која представља график квадратне функције.
Утицај водећег коефицијента \( a \):
- Ако је \( a > 0 \), парабола је окренута нагоре (конвексна, има облик \( \cup \)).
- Ако је \( a < 0 \), парабола је окренута надоле (конкавна, има облик \( \cap \)).
- Што је вредност \( |a| \) већа, отвор параболе је ужи; што је \( |a| \) мање (ближе нули), отвор параболе је шири.
Одредити смер отвора парабола:
а) \( y = -3x^2 + 2x - 1 \)
б) \( y = \frac{1}{2}x^2 - 5 \)
а) \( y = -3x^2 + 2x - 1 \)
б) \( y = \frac{1}{2}x^2 - 5 \)
а) Водећи коефицијент је \( a = -3 < 0 \), па је парабола окренута надоле.
б) Водећи коефицијент је \( a = \frac{1}{2} > 0 \), па је парабола окренута нагоре.
б) Водећи коефицијент је \( a = \frac{1}{2} > 0 \), па је парабола окренута нагоре.
Свођењем квадратног тринома на потпун квадрат, квадратна функција се записује у канонском облику:
\[ f(x) = a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a} = a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{D}{4a} \]
где је дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \).
Нацртати основни график \( y = ax^2 \).
Транслирати график дуж \( x \)-осе за \( \left| \frac{b}{2a} \right| \) јединица: улево ако је \( \frac{b}{2a} > 0 \), односно удесно ако је \( \frac{b}{2a} < 0 \).
Добијени график транслирати дуж \( y \)-осе за \( \left| \frac{-D}{4a} \right| \) јединица: нагоре ако је \( -\frac{D}{4a} > 0 \), односно надоле ако је \( -\frac{D}{4a} < 0 \).
Трансформисати функцију \( y = x^2 + 2x - 3 \) у канонски облик:
\[ x^2 + 2x - 3 = (x^2 + 2x + 1) - 1 - 3 = (x + 1)^2 - 4 \]
График се добија транслацијом параболе \( y = x^2 \) за \( 1 \) јединицу улево и \( 4 \) јединице надоле.
Свести функцију \( y = -x^2 + 4x - 6 \) на канонски облик.
Издвајањем знака минус испред заграде и допуном до квадрата бинома добија се:
\[ y = -(x^2 - 4x + 6) = -(x^2 - 4x + 4 + 2) = -((x - 2)^2 + 2) = -(x - 2)^2 - 2 \]
Теме параболе \( T(x_T, y_T) \) је тачка у којој функција достиже своју екстремну вредност (минимум за \( a > 0 \), односно максимум за \( a < 0 \)).
\[ T\left(x_T, y_T\right) = T\left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right) = T\left( -\frac{b}{2a}, -\frac{D}{4a} \right) \]
Напомена: \( y_T \) се може израчунати и директним уврштавањем: \( y_T = f(x_T) \).
Оса симетрије параболе је права паралелна \( y \)-оси која пролази кроз теме:
\[ x = -\frac{b}{2a} \]
Одредити координате темена и једначину осе симетрије параболе \( y = 3x^2 - 6x + 5 \).
Коефицијенти су \( a = 3, b = -6, c = 5 \).
1. \( x_T = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 \)
2. \( y_T = f(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 5 = 3 - 6 + 5 = 2 \)
Теме је \( T(1, 2) \), а оса симетрије је права \( x = 1 \).
1. \( x_T = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 \)
2. \( y_T = f(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 5 = 3 - 6 + 5 = 2 \)
Теме је \( T(1, 2) \), а оса симетрије је права \( x = 1 \).
Пресек са \( y \)-осом: Добија се за \( x = 0 \), па је тачка пресека увек \( (0, c) \).
Пресек са \( x \)-осом (нуле функције): Добијају се решавањем квадратне једначине \( ax^2 + bx + c = 0 \). Број пресечних тачака зависи од дискриминанте \( D = b^2 - 4ac \):
- \( D > 0 \): Парабола сече \( x \)-осу у двема различитим тачкама \( (x_1, 0) \) и \( (x_2, 0) \).
- \( D = 0 \): Парабола додирује \( x \)-осу у темену \( \left(-\frac{b}{2a}, 0\right) \).
- \( D < 0 \): Парабола нема заједничких тачака са \( x \)-осом (цео график је изнад или испод осе).
Колико заједничких тачака са \( x \)-осом има парабола \( y = x^2 - 4x + 4 \)?
Рачунамо дискриминанту:
\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0 \]
Пошто је \( D = 0 \), парабола додирује \( x \)-осу у једној тачки (темену), па има тачно једну заједничку тачку: \( (2, 0) \).
Одредити смер отвора параболе на основу знака коефицијента \( a \) (\( a > 0 \implies \cup \), \( a < 0 \implies \cap \)).
Уцртати пресек са \( y \)-осом, тачку \( (0, c) \).
Израчунати координате темена \( T(x_T, y_T) \) и повући осу симетрије \( x = x_T \).
Одредити нуле функције (пресеке са \( x \)-осом) решавањем једначине \( ax^2 + bx + c = 0 \) и уцртати их на \( x \)-осу.
Кроз добијене карактеристичне тачке скицирати глатку криву (параболу).
Скицирати график функције \( y = -x^2 + 2x + 3 \):
- Отвор: \( a = -1 < 0 \implies \) окренута надоле.
- Пресек са \( y \)-осом: \( (0, 3) \).
- Теме: \( x_T = -\frac{2}{2(-1)} = 1 \), \( y_T = -(1)^2 + 2(1) + 3 = 4 \implies T(1, 4) \). Оса симетрије је \( x = 1 \).
- Пресеци са \( x \)-осом: \( -x^2 + 2x + 3 = 0 \implies x_1 = -1, x_2 = 3 \), па су тачке \( (-1, 0) \) и \( (3, 0) \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Одредити координате темена и осу симетрије параболе \( y = x^2 - 4x + 3 \).
Коефицијенти су: \( a = 1, b = -4, c = 3 \).
\( x_T = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \)
\( y_T = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \)
Теме: \( T(2, -1) \)
Оса симетрије: \( x = 2 \)
\( x_T = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \)
\( y_T = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \)
Теме: \( T(2, -1) \)
Оса симетрије: \( x = 2 \)
Задатак 2 (средњи): Одредити све карактеристичне тачке (пресек са \( y \)-осом, теме, нуле) за функцију \( y = 2x^2 - 8x + 6 \) и одредити њен канонски облик.
Коефицијенти су: \( a = 2, b = -8, c = 6 \).
1. Пресек са \( y \)-осом: \( (0, 6) \)
2. Теме: \[ x_T = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = 2, \quad y_T = 2(2)^2 - 8(2) + 6 = 8 - 16 + 6 = -2 \implies T(2, -2) \]
3. Канонски облик: \( y = a(x - x_T)^2 + y_T = 2(x - 2)^2 - 2 \)
4. Нуле функције: \[ 2x^2 - 8x + 6 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x - 1)(x - 3) = 0 \] Парабола сече \( x \)-осу у тачкама \( (1, 0) \) и \( (3, 0) \).
1. Пресек са \( y \)-осом: \( (0, 6) \)
2. Теме: \[ x_T = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = 2, \quad y_T = 2(2)^2 - 8(2) + 6 = 8 - 16 + 6 = -2 \implies T(2, -2) \]
3. Канонски облик: \( y = a(x - x_T)^2 + y_T = 2(x - 2)^2 - 2 \)
4. Нуле функције: \[ 2x^2 - 8x + 6 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x - 1)(x - 3) = 0 \] Парабола сече \( x \)-осу у тачкама \( (1, 0) \) и \( (3, 0) \).
Задатак 3 (тежак): Одредити коефицијенте \( a, b, c \) квадратне функције \( y = ax^2 + bx + c \) чије је теме у тачки \( T(1, -4) \) и која садржи тачку \( A(3, 0) \).
Користећи канонски облик функције преко темена \( T(x_T, y_T) = T(1, -4) \):
\[ y = a(x - x_T)^2 + y_T = a(x - 1)^2 - 4 \]
Пошто парабола пролази кроз тачку \( A(3, 0) \), уврштавамо њене координате:
\[ 0 = a(3 - 1)^2 - 4 \]
\[ 0 = 4a - 4 \implies 4a = 4 \implies a = 1 \]
Сада враћамо вредност \( a = 1 \) у канонски облик и развијамо квадрат бинома:
\[ y = 1(x - 1)^2 - 4 = (x^2 - 2x + 1) - 4 = x^2 - 2x - 3 \]
Одговор: Коефицијенти су \( a = 1, b = -2, c = -3 \).
