Најважније из лекције
Кључни типови система и њихове методе решавања:
- Квадратна + Линеарна једначина: Изрази се једна непозната из линеарне и уврсти у квадратну (метода замене).
- Чисто квадратне једначине (\(ax^2 + by^2 = c\)): Смене \( u = x^2, v = y^2 \) своде проблем на линеарни систем, уз \( x = \pm\sqrt{u}, y = \pm\sqrt{v} \).
- Хомогена једначина (\(Ax^2 + Bxy + Cy^2 = 0\)): Смена \( x = ty \) даје квадратну једначину по \(t\), одакле настају линеарне везе \( x = t_1y \) и \( x = t_2y \).
- Свођење на хомогену: Елиминацијом слободних коефицијената добија се једначина једнака нули (хомогена).
- Симетрични системи: Користе се смене збира и производа \( u = x + y \) и \( v = xy \), након чега се \(x\) и \(y\) одређују преко квадратне једначине \( t^2 - ut + v = 0 \).
Општи облик квадратне једначине са две непознате (\(x\) и \(y\)) и реалним коефицијентима је:
\[ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \]
где су \( A, B, C, D, E, F \in \mathbb{R} \) и бар један од коефицијената \( A, B, C \) је различит од нуле.
Систем који чине једна квадратна и једна линеарна једначина:
\[ \begin{cases} Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \\ ax + by + c = 0 \end{cases} \]
решава се методом замене:
Из линеарне једначине изрази се једна непозната преко друге (нпр. \( y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b} \)).
Добијени израз се замени у квадратну једначину, чиме се добија квадратна једначина са само једном непознатом.
Реши се квадратна једначина по тој непознатој (\(x_1, x_2\)).
Уврштавањем вредности \(x_1\) и \(x_2\) у линеарну везу, одређују се одговарајуће вредности друге непознате (\(y_1, y_2\)). Решења се записују као уређени парови \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\).
Решити систем једначина:
\[ \begin{cases} x^2 + y^2 - x - 7y + 10 = 0 \\ x - y + 1 = 0 \end{cases} \]
Из друге једначине изразимо \( x = y - 1 \) и заменимо у прву:
\[ (y - 1)^2 + y^2 - (y - 1) - 7y + 10 = 0 \]
\[ y^2 - 2y + 1 + y^2 - y + 1 - 7y + 10 = 0 \]
\[ 2y^2 - 10y + 12 = 0 \quad / : 2 \]
\[ y^2 - 5y + 6 = 0 \implies y_1 = 2, \; y_2 = 3 \]
Враћањем у везу \( x = y - 1 \):
\[ x_1 = 2 - 1 = 1 \implies (1, 2) \]
\[ x_2 = 3 - 1 = 2 \implies (2, 3) \]
Решења система: \( (1, 2) \) и \( (2, 3) \).
Чисто квадратна једначина са две непознате је једначина облика \( ax^2 + by^2 = c \), где је бар један од коефицијената \( a, b \) различит од нуле.
\[ \begin{cases} a_1x^2 + b_1y^2 = c_1 \\ a_2x^2 + b_2y^2 = c_2 \end{cases} \]
Овакав систем се решава увођењем смена:
\[ u = x^2 \quad \text{и} \quad v = y^2 \quad (u \ge 0, \; v \ge 0) \]
чиме се систем своди на систем две линеарне једначине по \(u\) и \(v\):
\[ \begin{cases} a_1u + b_1v = c_1 \\ a_2u + b_2v = c_2 \end{cases} \]
Након одређивања вредности \(u\) и \(v\), вредности непознатих се рачунају као \( x = \pm\sqrt{u} \) и \( y = \pm\sqrt{v} \). Систем може имати до четири реална решења облика \( (\pm x_0, \pm y_0) \).
Решити систем једначина:
\[ \begin{cases} 2x^2 - y^2 = 1 \\ 3x^2 - y^2 = 26 \end{cases} \]
Уводимо смене \( u = x^2 \) и \( v = y^2 \):
\[ \begin{cases} 2u - v = 1 \\ 3u - v = 26 \end{cases} \]
Одузимањем прве једначине од друге:
\[ u = 25 \implies v = 2u - 1 = 2 \cdot 25 - 1 = 49 \]
Враћањем смена:
\[ x^2 = 25 \implies x = \pm 5 \]
\[ y^2 = 49 \implies y = \pm 7 \]
Решења система: \( (5, 7), (5, -7), (-5, 7), (-5, -7) \).
Хомогена квадратна једначина са две непознате је једначина облика:
\[ Ax^2 + Bxy + Cy^2 = 0 \]
у којој су сви чланови другог степена.
Хомогена једначина се решава сменом \( x = ty \) (уз претпоставку \( y \neq 0 \)):
\[ A(ty)^2 + B(ty)y + Cy^2 = 0 \iff y^2(At^2 + Bt + C) = 0 \]
Како је \( y \neq 0 \), решава се квадратна једначина по \(t\):
\[ At^2 + Bt + C = 0 \]
Ако су \( t_1 \) и \( t_2 \) њена решења, добијају се две линеарне везе:
\[ x = t_1y \quad \text{или} \quad x = t_2y \]
Свака од ових веза се засебно уврштава у другу (нехомогену) једначину система, чиме се почетни систем разлаже на два једноставнија система.
Решити систем једначина:
\[ \begin{cases} x^2 - 5xy + 4y^2 = 0 \\ x^2 + y^2 = 50 \end{cases} \]
У прву (хомогену) једначину уводимо смену \( x = ty \):
\[ y^2(t^2 - 5t + 4) = 0 \implies t^2 - 5t + 4 = 0 \]
Решења по \(t\) су \( t_1 = 1 \) и \( t_2 = 4 \), па имамо две везе: \( x = y \) и \( x = 4y \).
1) За \( x = y \): \[ y^2 + y^2 = 50 \implies 2y^2 = 50 \implies y^2 = 25 \implies y = \pm 5 \] Како је \( x = y \), добијамо решења: \( (5, 5) \) и \( (-5, -5) \).
2) За \( x = 4y \): \[ (4y)^2 + y^2 = 50 \implies 17y^2 = 50 \implies y^2 = \frac{50}{17} \implies y = \pm \sqrt{\frac{50}{17}} = \pm \frac{5\sqrt{34}}{17} \] Како је \( x = 4y \), добијамо решења: \( \left(\frac{20\sqrt{34}}{17}, \frac{5\sqrt{34}}{17}\right) \) и \( \left(-\frac{20\sqrt{34}}{17}, -\frac{5\sqrt{34}}{17}\right) \).
1) За \( x = y \): \[ y^2 + y^2 = 50 \implies 2y^2 = 50 \implies y^2 = 25 \implies y = \pm 5 \] Како је \( x = y \), добијамо решења: \( (5, 5) \) и \( (-5, -5) \).
2) За \( x = 4y \): \[ (4y)^2 + y^2 = 50 \implies 17y^2 = 50 \implies y^2 = \frac{50}{17} \implies y = \pm \sqrt{\frac{50}{17}} = \pm \frac{5\sqrt{34}}{17} \] Како је \( x = 4y \), добијамо решења: \( \left(\frac{20\sqrt{34}}{17}, \frac{5\sqrt{34}}{17}\right) \) и \( \left(-\frac{20\sqrt{34}}{17}, -\frac{5\sqrt{34}}{17}\right) \).
Ако систем садржи једначине облика \( A_1x^2 + B_1xy + C_1y^2 = D_1 \) и \( A_2x^2 + B_2xy + C_2y^2 = D_2 \), множењем једначина одговарајућим бројевима и сабирањем елиминишу се слободни чланови \( D_1 \) и \( D_2 \). Тако се добија хомогена једначина облика \( Ax^2 + Bxy + Cy^2 = 0 \), која се затим решава сменом \( x = ty \).
Систем у коме замена места променљивих \( x \) и \( y \) не мења једначине назива се симетричан систем. Овакви системи се решавају увођењем основних симетричних смена:
\[ u = x + y \quad \text{и} \quad v = xy \]
При томе се изрази вишег степена трансформишу помоћу идентитета:
\[ x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = u^2 - 2v \]
\[ x^2y + xy^2 = xy(x + y) = vu \]
Након одређивања вредности \( u \) и \( v \), непознате \( x \) и \( y \) налазе се као решења помоћне квадратне једначине (према Вијетовим правилима):
\[ t^2 - ut + v = 0 \]
Решити систем једначина:
\[ \begin{cases} x + y + xy = 11 \\ x^2y + xy^2 = 30 \end{cases} \]
Запишимо систем као:
\[ \begin{cases} (x + y) + xy = 11 \\ xy(x + y) = 30 \end{cases} \]
Увођењем смена \( u = x + y \) и \( v = xy \):
\[ \begin{cases} u + v = 11 \\ u \cdot v = 30 \end{cases} \]
Бројеви \(u\) и \(v\) су решења једначине \( t^2 - 11t + 30 = 0 \), па су решења \( (u_1, v_1) = (5, 6) \) и \( (u_2, v_2) = (6, 5) \).
1) Случај \( x + y = 5, \; xy = 6 \):
\(x\) и \(y\) су корени једначине \( z^2 - 5z + 6 = 0 \implies z \in \{2, 3\} \).
Решења: \( (2, 3) \) и \( (3, 2) \).
2) Случај \( x + y = 6, \; xy = 5 \):
\(x\) и \(y\) су корени једначине \( z^2 - 6z + 5 = 0 \implies z \in \{1, 5\} \).
Решења: \( (1, 5) \) и \( (5, 1) \).
Коначна решења: \( (2, 3), (3, 2), (1, 5), (5, 1) \).
1) Случај \( x + y = 5, \; xy = 6 \):
\(x\) и \(y\) су корени једначине \( z^2 - 5z + 6 = 0 \implies z \in \{2, 3\} \).
Решења: \( (2, 3) \) и \( (3, 2) \).
2) Случај \( x + y = 6, \; xy = 5 \):
\(x\) и \(y\) су корени једначине \( z^2 - 6z + 5 = 0 \implies z \in \{1, 5\} \).
Решења: \( (1, 5) \) и \( (5, 1) \).
Коначна решења: \( (2, 3), (3, 2), (1, 5), (5, 1) \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лак ниво): Решити систем једначина:
\[ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 7 \\ x + y = 5 \end{cases} \]
Из друге једначине изразимо \( y = 5 - x \) и заменимо у прву:
\[ x^2 - x(5 - x) + (5 - x)^2 = 7 \]
\[ x^2 - 5x + x^2 + 25 - 10x + x^2 = 7 \]
\[ 3x^2 - 15x + 18 = 0 \quad / : 3 \]
\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]
Корени ове квадратне једначине су \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = 3 \).
Одговарајуће вредности за \( y \) су: \[ y_1 = 5 - 2 = 3 \] \[ y_2 = 5 - 3 = 2 \] Одговор: Решења система су парови \( (2, 3) \) и \( (3, 2) \).
Одговарајуће вредности за \( y \) су: \[ y_1 = 5 - 2 = 3 \] \[ y_2 = 5 - 3 = 2 \] Одговор: Решења система су парови \( (2, 3) \) и \( (3, 2) \).
Задатак 2 (Средњи ниво): Решити систем две чисто квадратне једначине:
\[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ x^2 - y^2 = 1 \end{cases} \]
Уведимо смене \( u = x^2 \) и \( v = y^2 \) (\(u \ge 0, v \ge 0\)):
\[ \begin{cases} u + v = 5 \\ u - v = 1 \end{cases} \]
Сабирањем једначина:
\[ 2u = 6 \implies u = 3 \]
Одузимањем друге од прве:
\[ 2v = 4 \implies v = 2 \]
Враћањем на полазне непознате:
\[ x^2 = 3 \implies x = \pm \sqrt{3} \]
\[ y^2 = 2 \implies y = \pm \sqrt{2} \]
Одговор: Систем има 4 решења:
\[ (\sqrt{3}, \sqrt{2}), \; (\sqrt{3}, -\sqrt{2}), \; (-\sqrt{3}, \sqrt{2}), \; (-\sqrt{3}, -\sqrt{2}) \]
Задатак 3 (Тежак ниво): Решити систем једначина од којих је једна хомогена:
\[ \begin{cases} x^2 - 3xy + 2y^2 = 0 \\ x^2 - 3x - y + 3 = 0 \end{cases} \]
Прва једначина је хомогена: \( x^2 - 3xy + 2y^2 = 0 \).
Уводимо смену \( x = ty \): \[ y^2(t^2 - 3t + 2) = 0 \implies t^2 - 3t + 2 = 0 \] Решења по \(t\) су \( t_1 = 1 \) и \( t_2 = 2 \), што даје везе \( x = y \) и \( x = 2y \).
1) Случај \( x = y \):
Заменом у другу једначину добијамо: \[ x^2 - 3x - x + 3 = 0 \iff x^2 - 4x + 3 = 0 \] \[ (x - 1)(x - 3) = 0 \implies x_1 = 1, \; x_2 = 3 \] Како је \( y = x \), решења су: \( (1, 1) \) и \( (3, 3) \).
2) Случај \( x = 2y \implies y = \frac{x}{2} \):
Заменом у другу једначину добијамо: \[ x^2 - 3x - \frac{x}{2} + 3 = 0 \iff x^2 - \frac{7}{2}x + 3 = 0 \quad / \cdot 2 \] \[ 2x^2 - 7x + 6 = 0 \] \[ x_{3,4} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4} = \frac{7 \pm 1}{4} \implies x_3 = 2, \; x_4 = \frac{3}{2} \] Одговарајуће вредности за \( y = \frac{x}{2} \): \[ y_3 = \frac{2}{2} = 1 \] \[ y_4 = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4} \] Решења су: \( (2, 1) \) и \( \left(\frac{3}{2}, \frac{3}{4}\right) \).
Одговор: Сва решења система су: \( (1, 1), \; (3, 3), \; (2, 1) \) и \( \left(\frac{3}{2}, \frac{3}{4}\right) \).
Уводимо смену \( x = ty \): \[ y^2(t^2 - 3t + 2) = 0 \implies t^2 - 3t + 2 = 0 \] Решења по \(t\) су \( t_1 = 1 \) и \( t_2 = 2 \), што даје везе \( x = y \) и \( x = 2y \).
1) Случај \( x = y \):
Заменом у другу једначину добијамо: \[ x^2 - 3x - x + 3 = 0 \iff x^2 - 4x + 3 = 0 \] \[ (x - 1)(x - 3) = 0 \implies x_1 = 1, \; x_2 = 3 \] Како је \( y = x \), решења су: \( (1, 1) \) и \( (3, 3) \).
2) Случај \( x = 2y \implies y = \frac{x}{2} \):
Заменом у другу једначину добијамо: \[ x^2 - 3x - \frac{x}{2} + 3 = 0 \iff x^2 - \frac{7}{2}x + 3 = 0 \quad / \cdot 2 \] \[ 2x^2 - 7x + 6 = 0 \] \[ x_{3,4} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4} = \frac{7 \pm 1}{4} \implies x_3 = 2, \; x_4 = \frac{3}{2} \] Одговарајуће вредности за \( y = \frac{x}{2} \): \[ y_3 = \frac{2}{2} = 1 \] \[ y_4 = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4} \] Решења су: \( (2, 1) \) и \( \left(\frac{3}{2}, \frac{3}{4}\right) \).
Одговор: Сва решења система су: \( (1, 1), \; (3, 3), \; (2, 1) \) и \( \left(\frac{3}{2}, \frac{3}{4}\right) \).
