Најважније из лекције
Реална функција: Пресликавање \( f: D \to \mathbb{R} \) које сваком аргументу \( x \in D \) додељује тачно један реалан број \( y = f(x) \).
Вертикални тест: Крива је график функције ако је свака вертикална права \( x = c \) сече у највише једној тачки.
Линеарна функција: \( f(x) = ax + b \); константна за \( a = 0 \).
Цели део броја: \( [x] \) је највећи цео број \( \le x \) (нпр. \( [2{,}7] = 2 \), \( [-1{,}2] = -2 \)).
Хипербола и асимптоте: График функције \( f(x) = \frac{1}{x} \) чине две гране које се приближавају координатним осама \( x = 0 \) и \( y = 0 \) (асимптотама), али их никада не секу.
Вертикални тест: Крива је график функције ако је свака вертикална права \( x = c \) сече у највише једној тачки.
Линеарна функција: \( f(x) = ax + b \); константна за \( a = 0 \).
Цели део броја: \( [x] \) је највећи цео број \( \le x \) (нпр. \( [2{,}7] = 2 \), \( [-1{,}2] = -2 \)).
Хипербола и асимптоте: График функције \( f(x) = \frac{1}{x} \) чине две гране које се приближавају координатним осама \( x = 0 \) и \( y = 0 \) (асимптотама), али их никада не секу.
Нека је \( D \subseteq \mathbb{R} \). Функција \( f: D \to \mathbb{R} \) која сваком броју \( x \in D \) додељује тачно један реалан број \( y = f(x) \) назива се реална функција.
Домен (област дефинисаности) је скуп \( D \) свих вредности за које је функција дефинисана.
За функцију \( f(x) = 0{,}6x + 3{,}8 \) дефинисану на скупу \( [0, +\infty) \), вредност за аргумент \( x = 4 \) износи:
\[ f(4) = 0{,}6 \cdot 4 + 3{,}8 = 2{,}4 + 3{,}8 = 6{,}2 \]
Ако је функција дефинисана са \( f(x) = 3x - 5 \), одредити \( f(2) \) и \( f(-1) \).
\( f(2) = 3 \cdot 2 - 5 = 6 - 5 = 1 \)
\( f(-1) = 3 \cdot (-1) - 5 = -3 - 5 = -8 \)
\( f(-1) = 3 \cdot (-1) - 5 = -3 - 5 = -8 \)
График функције \( f: D \to \mathbb{R} \) је скуп свих тачака \( (x, y) \) координатног система за које важи \( y = f(x) \). Једнакост \( y = f(x) \) назива се једначина графика.
Вертикални тест: Крива у равни је график неке функције ако и само ако свака права паралелна \( y \)-оси (облика \( x = c \)) сече ту криву у највише једној тачки.
Ако нека вертикална права сече дату криву у две или више тачака, та крива није график функције, јер би истом броју \( x \) одговарало више различитих вредности \( y \).
Да ли скуп тачака који образује кружницу може бити график неке функције \( y = f(x) \)?
Одговор: Не може. Вертикална права која пролази кроз средиште кружнице сече кружницу у две тачке, што значи да би једној вредности \( x \) одговарале две вредности \( y \), а то је у супротности са дефиницијом функције.
\[ f(x) = ax + b \quad (a, b \in \mathbb{R}) \]
Ако је \( a = 0 \), функција је константна: \( f(x) = b \).
Функција може бити дефинисана различитим аналитичким изразима на различитим деловима свог домена (функција задата по гранама).
Функција апсолутне вредности дефинисана је по гранама:
\[ |x| = \begin{cases} -x, & x < 0 \\ x, & x \ge 0 \end{cases} \]
Дата је функција:
\[ f(x) = \begin{cases} -x + 2, & x \le 1 \\ 2x - 1, & x > 1 \end{cases} \]
Израчунати \( f(0) \) и \( f(3) \).
За \( x = 0 \) користимо прву грану (\( 0 \le 1 \)): \( f(0) = -0 + 2 = 2 \).
За \( x = 3 \) користимо другу грану (\( 3 > 1 \)): \( f(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5 \).
За \( x = 3 \) користимо другу грану (\( 3 > 1 \)): \( f(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5 \).
Цели део броја \( x \), у ознаци \( [x] \), јесте највећи цео број који није већи од \( x \).
\[ [x] = \max\{k \in \mathbb{Z} \mid k \le x\} \]
- \( [3{,}99] = 3 \)
- \( [2{,}01] = 2 \)
- \( [0{,}45] = 0 \)
- \( [-0{,}13] = -1 \)
- \( [-1{,}01] = -2 \)
График функције \( f(x) = [x] \) има степенасти облик са прекидима у целобројним тачкама.
Одреди вредност израза \( [4{,}7] - [-2{,}3] \).
\( [4{,}7] = 4 \)
\( [-2{,}3] = -3 \) (највећи цео број мањи или једнак \( -2{,}3 \) је \( -3 \))
Вредност израза: \( 4 - (-3) = 4 + 3 = 7 \).
\( [-2{,}3] = -3 \) (највећи цео број мањи или једнак \( -2{,}3 \) је \( -3 \))
Вредност израза: \( 4 - (-3) = 4 + 3 = 7 \).
График функције \( f: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R} \), дефинисане са \( f(x) = \frac{1}{x} \), назива се хипербола. Састоји се од две гране (у првом и трећем квадранту).
Асимптота је права којој се крива (грана графика) неограничено приближава, али је никада не додирује.
За функцију \( f(x) = \frac{1}{x} \):
- Када \( x \to 0 \), вредност \( |y| \to +\infty \), па је вертикална права \( x = 0 \) (\( y \)-оса) вертикална асимптота.
- Када \( x \to \pm\infty \), вредност \( y \to 0 \), па је хоризонтална права \( y = 0 \) (\( x \)-оса) хоризонтална асимптота.
Шта се дешава са вредношћу функције \( f(x) = \frac{1}{x} \) када се \( x \) позитивно приближава нули (нпр. \( x = 0{,}1; 0{,}01; 0{,}001 \))?
Вредности су: \( f(0{,}1) = 10 \), \( f(0{,}01) = 100 \), \( f(0{,}001) = 1000 \).
Закључак: Како се \( x \) приближава нули са позитивне стране, вредност функције \( f(x) \) постаје произвољно велика (тежи ка \( +\infty \)).
Закључак: Како се \( x \) приближава нули са позитивне стране, вредност функције \( f(x) \) постаје произвољно велика (тежи ка \( +\infty \)).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Одреди вредности функције целог дела:
а) \( [5{,}85] \)
б) \( [-3{,}14] \)
в) \( [0] \)
а) \( [5{,}85] \)
б) \( [-3{,}14] \)
в) \( [0] \)
а) \( [5{,}85] = 5 \)
б) \( [-3{,}14] = -4 \)
в) \( [0] = 0 \)
б) \( [-3{,}14] = -4 \)
в) \( [0] = 0 \)
Задатак 2 (средњи): Дата је функција:
\[ f(x) = \begin{cases} -x + 1, & x \le 2 \\ 2x - 2, & x > 2 \end{cases} \]
Израчунај вредност израза \( f(-1) + f(2) + f(3) \).
За \( x = -1 \le 2 \): \( f(-1) = -(-1) + 1 = 1 + 1 = 2 \)
За \( x = 2 \le 2 \): \( f(2) = -2 + 1 = -1 \)
За \( x = 3 > 2 \): \( f(3) = 2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4 \)
Збир: \( f(-1) + f(2) + f(3) = 2 + (-1) + 4 = 5 \).
За \( x = 2 \le 2 \): \( f(2) = -2 + 1 = -1 \)
За \( x = 3 > 2 \): \( f(3) = 2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4 \)
Збир: \( f(-1) + f(2) + f(3) = 2 + (-1) + 4 = 5 \).
Задатак 3 (средњи): Користећи вертикални тест, објасни зашто елипса чија је једначина \( x^2 + 4y^2 = 4 \) не представља график функције \( y = f(x) \).
Ако поставимо вертикалну праву \( x = 0 \) (\( y \)-осу), добијамо једначину:
\[ 0^2 + 4y^2 = 4 \implies 4y^2 = 4 \implies y^2 = 1 \implies y = 1 \text{ или } y = -1 \]
Права \( x = 0 \) сече елипсу у две тачке: \( (0, 1) \) и \( (0, -1) \). Према вертикалном тесту, пошто постоји вертикална права која сече криву у више од једне тачке, елипса није график функције.
Задатак 4 (тежак): Одреди вредност израза \( E = |x - 2| + [x] \) за \( x = -1{,}5 \) и за \( x = 2{,}7 \).
1) За \( x = -1{,}5 \):
\( |-1{,}5 - 2| = |-3{,}5| = 3{,}5 \)
\( [-1{,}5] = -2 \)
\( E = 3{,}5 + (-2) = 1{,}5 \)
2) За \( x = 2{,}7 \):
\( |2{,}7 - 2| = |0{,}7| = 0{,}7 \)
\( [2{,}7] = 2 \)
\( E = 0{,}7 + 2 = 2{,}7 \)
\( |-1{,}5 - 2| = |-3{,}5| = 3{,}5 \)
\( [-1{,}5] = -2 \)
\( E = 3{,}5 + (-2) = 1{,}5 \)
2) За \( x = 2{,}7 \):
\( |2{,}7 - 2| = |0{,}7| = 0{,}7 \)
\( [2{,}7] = 2 \)
\( E = 0{,}7 + 2 = 2{,}7 \)
