Најважније из лекције
Кључни закључци:
- Квадратна формула: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \), где дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \) одређује природу решења (\( D > 0 \) два реална, \( D = 0 \) једно двоструко, \( D < 0 \) комплексна).
- Факторизација тринома: \( ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \).
- Вијетове формуле: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) и \( x_1 x_2 = \frac{c}{a} \).
- График параболе: Теме је у \( T\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right) \). Отвор зависи од \( a \) (\( a > 0 \) минимум \(\cup\), \( a < 0 \) максимум \(\cap\)).
- Ирационалне једначине/неједначине: Квадрирање захтева претходно постављање услова дефинисаности корена (\( A(x) \geq 0 \)) и услова ненегативности одговарајућих страна (\( B(x) \geq 0 \)).
Квадратна једначина са једном непознатом је једначина облика \( ax^2 + bx + c = 0 \), где су \( a, b, c \in \mathbb{R} \) и \( a \neq 0 \).
\[ D = b^2 - 4ac \quad (\text{дискриминанта}) \]
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Природа решења у зависности од дискриминанте \( D \):
- \( D > 0 \): Једначина има два различита реална решења (\( x_1 \neq x_2, \, x_{1,2} \in \mathbb{R} \)).
- \( D = 0 \): Једначина има једно двоструко реално решење (\( x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a} \)).
- \( D < 0 \): Једначина нема реалних решења; у скупу \( \mathbb{C} \) решења су конјуговано комплексни бројеви: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac - b^2}}{2a} \]
Непотпуне квадратне једначине (\( b = 0 \) или \( c = 0 \)):
- \( ax^2 = 0 \implies x = 0 \)
- \( ax^2 + c = 0 \implies x^2 = -\frac{c}{a} \implies x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} \)
- \( ax^2 + bx = 0 \implies x(ax + b) = 0 \implies x_1 = 0, \, x_2 = -\frac{b}{a} \)
Решити квадратну једначину \( x^2 - 4x + 13 = 0 \) у скупу \( \mathbb{C} \).
Коефицијенти су \( a = 1, b = -4, c = 13 \).
Дискриминанта: \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36 < 0 \).
Решења у \( \mathbb{C} \): \[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{-36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i \] Дакле, \( x_1 = 2 + 3i, \, x_2 = 2 - 3i \).
Дискриминанта: \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36 < 0 \).
Решења у \( \mathbb{C} \): \[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{-36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i \] Дакле, \( x_1 = 2 + 3i, \, x_2 = 2 - 3i \).
\[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \]
где су \( x_1 \) и \( x_2 \) решења одговарајуће квадратне једначине \( ax^2 + bx + c = 0 \).
- Ако је \( D > 0 \), трином се раставља на два различита реална линеарна чиниоца.
- Ако је \( D = 0 \), трином је потпун квадрат: \( ax^2 + bx + c = a(x - x_1)^2 \).
- Ако је \( D < 0 \), трином се не може раставити на линеарне чиниоце са реалним коефицијентима, али се може раставити у скупу \( \mathbb{C} \).
Раставити квадратни трином \( 2x^2 - 5x - 3 \) на линеарне чиниоце.
Решавамо једначину \( 2x^2 - 5x - 3 = 0 \):
\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \]
\[ x_{1,2} = \frac{5 \pm 7}{4} \implies x_1 = 3, \, x_2 = -\frac{1}{2} \]
Применом формуле:
\[ 2x^2 - 5x - 3 = 2(x - 3)\left(x + \frac{1}{2}\right) = (x - 3)(2x + 1) \]
Бројеви \( x_1 \) и \( x_2 \) су решења квадратне једначине \( ax^2 + bx + c = 0 \) (\( a \neq 0 \)) ако и само ако важи:
\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{и} \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a} \]
Симетрични изрази: Вредности симетричних израза по решењима \( x_1, x_2 \) изражавају се преко њиховог збира и производа:
- \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \)
- \( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} \)
- \( x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2) \)
Одређивање знака решења (\( D \geq 0 \)):
- Оба решења су позитивна (\( x_1, x_2 > 0 \)) \( \iff x_1 + x_2 > 0 \land x_1x_2 > 0 \).
- Оба решења су негативна (\( x_1, x_2 < 0 \)) \( \iff x_1 + x_2 < 0 \land x_1x_2 > 0 \).
- Решења су супротног знака \( \iff x_1x_2 < 0 \).
Не решавајући једначину \( x^2 - 6x + 4 = 0 \), одредити вредност израза \( x_1^2 + x_2^2 \).
Према Вијетовим формулама:
\[ x_1 + x_2 = 6, \quad x_1 x_2 = 4 \]
Вредност израза:
\[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 6^2 - 2 \cdot 4 = 36 - 8 = 28 \]
Квадратна функција је дата формулом \( f(x) = ax^2 + bx + c \) (\( a \neq 0 \)), а њен график је парабола.
Канонски облик функције:
\[ f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a} = a(x - x_T)^2 + y_T \]
Теме параболе:
\[ T\left(x_T, y_T\right) = T\left(-\frac{b}{2a}, \, \frac{4ac - b^2}{4a}\right) \]
| Особина | Случај \( a > 0 \) (отвор нагоре) | Случај \( a < 0 \) (отвор надоле) |
|---|---|---|
| Екстремна вредност | Минимум: \( y_{\min} = \frac{4ac - b^2}{4a} \) за \( x = -\frac{b}{2a} \) | Максимум: \( y_{\max} = \frac{4ac - b^2}{4a} \) за \( x = -\frac{b}{2a} \) |
| Скуп вредности | \( \left[ \frac{4ac - b^2}{4a}, +\infty \right) \) | \( \left( -\infty, \frac{4ac - b^2}{4a} \right] \) |
| Монотоност | Опада на \( (-\infty, x_T] \), расте на \( [x_T, +\infty) \) | Расте на \( (-\infty, x_T] \), опада на \( [x_T, +\infty) \) |
| Конвексност | Конвексна на целом \( \mathbb{R} \) (\(\cup\)) | Конкавна на целом \( \mathbb{R} \) (\(\cap\)) |
| Оса симетрије | Права \( x = -\frac{b}{2a} \) | |
Одредити координате темена и екстремну вредност функције \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \).
Коефицијенти: \( a = -1, b = 4, c = -3 \).
Пошто је \( a < 0 \), функција достиже максимум у темену:
\( x_T = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2 \)
\( y_T = f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1 \)
Теме је \( T(2, 1) \), а максимална вредност је \( y_{\max} = 1 \).
Пошто је \( a < 0 \), функција достиже максимум у темену:
\( x_T = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2 \)
\( y_T = f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1 \)
Теме је \( T(2, 1) \), а максимална вредност је \( y_{\max} = 1 \).
Решавање неједначина облика \( ax^2 + bx + c \gtrless 0 \) заснива се на одређивању знака водећег коефицијента \( a \) и дискриминанте \( D \):
Знак тринома \( P(x) = ax^2 + bx + c \):
- Ако је \( D < 0 \), трином има исти знак као коефицијент \( a \) за свако \( x \in \mathbb{R} \).
- Ако је \( D = 0 \), трином има исти знак као \( a \) за све \( x \neq -\frac{b}{2a} \), док је у темену једнак 0.
- Ако је \( D > 0 \), трином има исти знак као \( a \) ван интервала корена \( (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty) \), а супротан знак од \( a \) унутар интервала корена \( (x_1, x_2) \).
Распоред корена у односу на реалне бројеве \( m, n \):
- Оба корена већа од \( m \) (\( x_1, x_2 > m \)): \( D \geq 0 \land -\frac{b}{2a} > m \land a \cdot P(m) > 0 \)
- Број \( m \) је између корена (\( x_1 < m < x_2 \)): \( D > 0 \land a \cdot P(m) < 0 \)
- Оба корена мања од \( n \) (\( x_1, x_2 < n \)): \( D \geq 0 \land -\frac{b}{2a} < n \land a \cdot P(n) > 0 \)
- Оба корена су унутар интервала \( (m, n) \): \( D \geq 0 \land m < -\frac{b}{2a} < n \land a \cdot P(m) > 0 \land a \cdot P(n) > 0 \)
Решити неједначину \( -x^2 + 5x - 6 \geq 0 \).
Множењем са \(-1\) добијамо еквивалентну неједначину: \( x^2 - 5x + 6 \leq 0 \).
Нуле тринома су \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = 3 \).
Пошто је коефицијент уз \( x^2 \) позитиван (\( a = 1 > 0 \)), парабола је окренута нагоре, те су вредности мање или једнаке нули између корена (укључујући и нуле).
Скуп решења: \( x \in [2, 3] \).
Нуле тринома су \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = 3 \).
Пошто је коефицијент уз \( x^2 \) позитиван (\( a = 1 > 0 \)), парабола је окренута нагоре, те су вредности мање или једнаке нули између корена (укључујући и нуле).
Скуп решења: \( x \in [2, 3] \).
Једначине облика \( ax^4 + bx^2 + c = 0 \) (\( a \neq 0 \)) решавају се сменом \( t = x^2 \) (\( t \geq 0 \) за реална решења), чиме се добија \( at^2 + bt + c = 0 \).
Једначине парног степена са симетричним коефицијентима (нпр. \( ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0 \)) решавају се дељењем са \( x^2 \) и увођењем смене \( t = x + \frac{1}{x} \), при чему је \( x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2 \).
Решавају се растављањем на интервале према дефиницији апсолутне вредности или применом смене \( |x| = t \) (\( t \ge 0 \)) користећи \( |x|^2 = x^2 \).
Једначина \( \alpha z^2 + \beta z + \gamma = 0 \) (\( \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{C} \)) доводи се на канонски облик \( \left( z + \frac{\beta}{2\alpha} \right)^2 = w \), где се \( z^2 = u + iv \) решава преко реалног система:
\[ x^2 - y^2 = u \quad \text{и} \quad 2xy = v \]
Решити једначину \( x^4 - 8x^2 - 9 = 0 \) у скупу реалних бројева.
Уводимо смену \( t = x^2 \) (\( t \ge 0 \)):
\[ t^2 - 8t - 9 = 0 \implies (t - 9)(t + 1) = 0 \implies t_1 = 9, \, t_2 = -1 \]
Враћамо смену:
- \( x^2 = 9 \implies x_1 = 3, \, x_2 = -3 \)
- \( x^2 = -1 \) нема реалних решења (у \( \mathbb{C} \) решења су \( \pm i \)).
Систем линеарне и квадратне једначине: Из линеарне једначине се изрази једна непозната и замени у квадратну, чиме се добија квадратна једначина по једној променљивој.
Систем две чисто квадратне једначине:
\[ \begin{cases} a_1x^2 + b_1y^2 = c_1 \\ a_2x^2 + b_2y^2 = c_2 \end{cases} \]
Решава се увођењем смена \( u = x^2 \) и \( v = y^2 \), након чега се решава систем линеарних једначина по \( u \) и \( v \).
Системи са хомогеном једначином: Ако је једна једначина облика \( Ax^2 + Bxy + Cy^2 = 0 \), дељењем са \( y^2 \) и сменом \( x = ty \) добија се квадратна једначина по \( t \), што даје везе \( x = t_1 y \) и \( x = t_2 y \).
Решити систем једначина:
\[ \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases} \]
Према Вијетовим формулама, бројеви \( x \) и \( y \) су решења квадратне једначине \( t^2 - 5t + 6 = 0 \).
Решења те једначине су \( t_1 = 2 \) и \( t_2 = 3 \).
Дакле, решења система као уређени парови \( (x, y) \) су: \[ (2, 3) \quad \text{и} \quad (3, 2) \]
Решења те једначине су \( t_1 = 2 \) и \( t_2 = 3 \).
Дакле, решења система као уређени парови \( (x, y) \) су: \[ (2, 3) \quad \text{и} \quad (3, 2) \]
Квадрирање једначина и неједначина дозвољено је само онда када су обе стране ненегативне. У супротном се нарушава еквиваленција и појављују се „страна решења“.
Правила еквиваленције за ирационалне једначине:
\[ \sqrt{A(x)} = B(x) \iff A(x) = (B(x))^2 \land B(x) \geq 0 \]
Правила еквиваленције за ирационалне неједначине:
- \( \sqrt{A(x)} \leq B(x) \iff A(x) \geq 0 \land B(x) \geq 0 \land A(x) \leq (B(x))^2 \)
- \( \sqrt{A(x)} \geq B(x) \iff (A(x) \geq 0 \land B(x) < 0) \lor (B(x) \geq 0 \land A(x) \geq (B(x))^2) \)
Решити једначину \( \sqrt{2x + 6} = x - 1 \).
Постављамо услов ненегативности десне стране: \( x - 1 \geq 0 \implies x \geq 1 \).
Квадрирањем добијамо: \[ 2x + 6 = (x - 1)^2 \implies 2x + 6 = x^2 - 2x + 1 \implies x^2 - 4x - 5 = 0 \] Решења квадратне једначине су \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = -1 \).
Због услова \( x \geq 1 \), решење \( x_2 = -1 \) отпада.
Коначно решење: \( x = 5 \).
Квадрирањем добијамо: \[ 2x + 6 = (x - 1)^2 \implies 2x + 6 = x^2 - 2x + 1 \implies x^2 - 4x - 5 = 0 \] Решења квадратне једначине су \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = -1 \).
Због услова \( x \geq 1 \), решење \( x_2 = -1 \) отпада.
Коначно решење: \( x = 5 \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лако): Решити квадратну једначину \( 3x^2 - 10x + 3 = 0 \) и одредити збир и производ њених решења.
\( a = 3, b = -10, c = 3 \).
Дискриминанта: \( D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \).
Решења: \[ x_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{10 \pm 8}{6} \implies x_1 = 3, \, x_2 = \frac{1}{3} \] Према Вијетовим формулама: \[ x_1 + x_2 = -\frac{-10}{3} = \frac{10}{3}, \quad x_1 x_2 = \frac{3}{3} = 1 \]
Дискриминанта: \( D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \).
Решења: \[ x_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{10 \pm 8}{6} \implies x_1 = 3, \, x_2 = \frac{1}{3} \] Према Вијетовим формулама: \[ x_1 + x_2 = -\frac{-10}{3} = \frac{10}{3}, \quad x_1 x_2 = \frac{3}{3} = 1 \]
Задатак 2 (Средње): Одредити све вредности реалног параметра \( m \) за које једначина \( x^2 - 2(m - 1)x + m + 5 = 0 \) има два различита позитивна реална решења.
Да би једначина имала два различита позитивна реална решења, морају бити испуњена три услова:
- \( D > 0 \implies [-2(m-1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 5) > 0 \) \[ 4(m^2 - 2m + 1) - 4(m + 5) > 0 \implies m^2 - 3m - 4 > 0 \implies m \in (-\infty, -1) \cup (4, +\infty) \]
- \( x_1 + x_2 > 0 \implies 2(m - 1) > 0 \implies m > 1 \)
- \( x_1 x_2 > 0 \implies m + 5 > 0 \implies m > -5 \)
Задатак 3 (Средње): Решити систем једначина:
\[ \begin{cases} 2x^2 - 3y^2 = 5 \\ x^2 + 2y^2 = 6 \end{cases} \]
Уводимо смену \( u = x^2 \) и \( v = y^2 \) (\( u, v \geq 0 \)):
\[ \begin{cases} 2u - 3v = 5 \\ u + 2v = 6 \end{cases} \]
Из друге једначине је \( u = 6 - 2v \). Заменом у прву:
\[ 2(6 - 2v) - 3v = 5 \implies 12 - 7v = 5 \implies 7v = 7 \implies v = 1 \]
Тада је \( u = 6 - 2(1) = 4 \).
Враћањем смене: \[ x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \] \[ y^2 = 1 \implies y = \pm 1 \] Систем има четири решења: \( (2, 1), (2, -1), (-2, 1), (-2, -1) \).
Враћањем смене: \[ x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \] \[ y^2 = 1 \implies y = \pm 1 \] Систем има четири решења: \( (2, 1), (2, -1), (-2, 1), (-2, -1) \).
Задатак 4 (Тешко): Решити ирационалну неједначину \( \sqrt{x^2 - 3x - 10} > x - 2 \).
Неједначина је облика \( \sqrt{A(x)} > B(x) \), па се распада на унију два система:
Први систем (\( B(x) < 0 \)): \[ \begin{cases} x^2 - 3x - 10 \geq 0 \\ x - 2 < 0 \end{cases} \] Нуле за \( x^2 - 3x - 10 \) су \( x = 5 \) и \( x = -2 \), па је решење прве неједначине \( (-\infty, -2] \cup [5, +\infty) \).
Друга неједначина даје \( x < 2 \).
Пресек: \( x \in (-\infty, -2] \).
Други систем (\( B(x) \geq 0 \)): \[ \begin{cases} x - 2 \geq 0 \\ x^2 - 3x - 10 > (x - 2)^2 \end{cases} \] \[ x^2 - 3x - 10 > x^2 - 4x + 4 \implies x > 14 \] Пресек са \( x \geq 2 \) даје \( x \in (14, +\infty) \).
Коначно решење је унија решења оба система: \[ x \in (-\infty, -2] \cup (14, +\infty) \]
Први систем (\( B(x) < 0 \)): \[ \begin{cases} x^2 - 3x - 10 \geq 0 \\ x - 2 < 0 \end{cases} \] Нуле за \( x^2 - 3x - 10 \) су \( x = 5 \) и \( x = -2 \), па је решење прве неједначине \( (-\infty, -2] \cup [5, +\infty) \).
Друга неједначина даје \( x < 2 \).
Пресек: \( x \in (-\infty, -2] \).
Други систем (\( B(x) \geq 0 \)): \[ \begin{cases} x - 2 \geq 0 \\ x^2 - 3x - 10 > (x - 2)^2 \end{cases} \] \[ x^2 - 3x - 10 > x^2 - 4x + 4 \implies x > 14 \] Пресек са \( x \geq 2 \) даје \( x \in (14, +\infty) \).
Коначно решење је унија решења оба система: \[ x \in (-\infty, -2] \cup (14, +\infty) \]
