III.14. Провери Шта Знаш

Задатак

Треба одредити који графички приказ на бројевој правој одговара решењима неједначине: \[ -1{,}3 - 2 \cdot x \le -2{,}3 \] Са скениране странице понуђене су четири опције, чији су крајеви и смерови:

• А: затворен кружић у \( -\frac{1}{2} \), полуправа улево — то јест \( x \le -\frac{1}{2} \).
• Б: затворен кружић у \( -\frac{1}{2} \), полуправа удесно — то јест \( x \ge -\frac{1}{2} \).
• В: затворен кружић у \( \frac{1}{2} \), полуправа удесно — то јест \( x \ge \frac{1}{2} \).
• Г: отворен кружић у \( \frac{1}{2} \), полуправа улево — то јест \( x \lt \frac{1}{2} \).

Издвајање чланова са непознатом

Броју на левој страни \( -1{,}3 \) додајемо његову супротну вредност, па исто чинимо и на десној страни (додајемо \( 1{,}3 \) на обе стране): \[ -1{,}3 - 2 \cdot x + 1{,}3 \le -2{,}3 + 1{,}3 \] \[ -2 \cdot x \le -1 \]

Дељење негативним бројем (мења се смер знака)

Обе стране делимо са \( -2 \). Пошто делимо негативним бројем, знак неједнакости мора да промени смер (из \( \le \) у \( \ge \)): \[ x \ge \frac{-1}{-2} \] \[ x \ge \frac{1}{2} \qquad \left( x \ge 0{,}5 \right) \]

Провера граничне тачке

Проверавамо да ли гранична вредност \( x = \frac{1}{2} \) задовољава неједначину (тиме одлучујемо да ли је кружић отворен или затворен): \[ -1{,}3 - 2 \cdot \frac{1}{2} = -1{,}3 - 1 = -2{,}3 \] \[ -2{,}3 \le -2{,}3 \quad \text{— тачно} \] Пошто и сама тачка \( \frac{1}{2} \) припада решењу, кружић је затворен (пун). Провера још једне вредности, нпр. \( x = 1 \): \( -1{,}3 - 2 = -3{,}3 \le -2{,}3 \) — тачно, па полуправа иде удесно. За \( x = 0 \): \( -1{,}3 \le -2{,}3 \) — нетачно, што потврђује да лева страна не припада решењу.

Закључак

Скуп решења је \( x \ge \frac{1}{2} \): затворен кружић у тачки \( \frac{1}{2} \) и полуправа усмерена удесно. То одговара графичком приказу под В. Напомена: одговор Б приказује \( x \ge -\frac{1}{2} \) (кружић је у \( -\frac{1}{2} \), не у \( \frac{1}{2} \)), па није тачан; тражени крај је у \( +\frac{1}{2} \), што има само приказ В.

\( -2x \le -1 \Rightarrow x \ge \frac{1}{2} \): затворен кружић у \( \frac{1}{2} \), удесно — одговор В.