Најважније из лекције
Аналогија: Свака кинематичка величина транслаторног кретања има свој угаони пандан:
• Померај \(\Delta \vec{r}\) \(\longleftrightarrow\) Угаони померај \(\Delta \vec{\varphi}\) (вектори)
• Пут \(s\) \(\longleftrightarrow\) Описани угао \(\theta\) (скалари)
• Брзина \(\vec{v}\) \(\longleftrightarrow\) Угаона брзина \(\vec{\omega}\)
• Убрзање \(\vec{a}\) \(\longleftrightarrow\) Угаоно убрзање \(\vec{\alpha}\)
Круто тело: Све тачке тела при ротацији имају једнаке вредности угаоних величина. Смер \(\vec{\alpha}\) зависи од тога да ли ротација убрзава (исти смер као \(\vec{\omega}\)) или успорава (супротан смер).
• Померај \(\Delta \vec{r}\) \(\longleftrightarrow\) Угаони померај \(\Delta \vec{\varphi}\) (вектори)
• Пут \(s\) \(\longleftrightarrow\) Описани угао \(\theta\) (скалари)
• Брзина \(\vec{v}\) \(\longleftrightarrow\) Угаона брзина \(\vec{\omega}\)
• Убрзање \(\vec{a}\) \(\longleftrightarrow\) Угаоно убрзање \(\vec{\alpha}\)
Круто тело: Све тачке тела при ротацији имају једнаке вредности угаоних величина. Смер \(\vec{\alpha}\) зависи од тога да ли ротација убрзава (исти смер као \(\vec{\omega}\)) или успорава (супротан смер).
Транслаторно кретање крутог тела описује се линијским кинематичким величинама, док се ротационо кретање описује угаоним кинематичким величинама.
Приликом ротације крутог тела око непокретне осе, све његове тачке описују исте углове, имају исти угаони померај, исту угаону брзину и исто угаоно убрзање.
У називу угаоних величина увек се наводи придев „угаони” (нпр. угаона брзина), док се код линијских придев „линијски” најчешће изоставља (нпр. само брзина).
Када се точак окреће, тачка на ободу и тачка близу центра за исто време описују исти угао и имају једнаку угаону брзину \(\omega\), иако тачка на ободу прелази дужи линијски пут.
Померај \((\Delta \vec{r})\) и угаони померај \((\Delta \vec{\varphi})\) су векторске величине које одређују промену положаја тела код транслаторног, односно ротационог кретања.
Пређени пут \((s)\) и описани угао \((\theta)\) су скаларне величине које показују колико је укупно кретање тело извршило у току одређеног временског интервала.
Која је основна разлика између угаоног помераја и описаног угла?
Угаони померај \(\Delta \vec{\varphi}\) је векторска величина и описује промену угаоног положаја, док је описани угао \(\theta\) скаларна величина која показује укупну меру ротације коју је тело извршило у датом времену.
Брзина и угаона брзина дефинишу се као количник одговарајућег помераја и бесконачно малог временског интервала \(\Delta t \to 0\).
Убрзање и угаоно убрзање описују промену брзине, односно промену угаоне брзине у бесконачно малом временском интервалу.
Угаона брзина:
\[ \vec{\omega} = \frac{\Delta \vec{\varphi}}{\Delta t}, \quad \Delta t \to 0 \]
Јединица: \([\omega] = \text{rad}/\text{s}\)
Угаоно убрзање: \[ \vec{\alpha} = \frac{\Delta \vec{\omega}}{\Delta t}, \quad \Delta t \to 0 \] Јединица: \([\alpha] = \text{rad}/\text{s}^2\)
Угаоно убрзање: \[ \vec{\alpha} = \frac{\Delta \vec{\omega}}{\Delta t}, \quad \Delta t \to 0 \] Јединица: \([\alpha] = \text{rad}/\text{s}^2\)
Када оса ротације не мења положај у простору:
- Вектори \(\vec{\omega}\) и \(\vec{\alpha}\) леже на оси ротације.
- Ако се угаона брзина повећава (убрзано ротирање), смерови вектора \(\vec{\alpha}\) и \(\vec{\omega}\) се поклапају.
- Ако се угаона брзина смањује (успорено ротирање), вектор \(\vec{\alpha}\) има супротан смер у односу на \(\vec{\omega}\).
| Линијска величина (Транслација) | Угаона величина (Ротација) | Карактер величине |
|---|---|---|
| Померај: \(\Delta \vec{r}\) | Угаони померај: \(\Delta \vec{\varphi}\) | Векторска |
| Пређени пут: \(s\) | Описани угао: \(\theta\) | Скаларна |
| Брзина: \(\vec{v} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}, \;\Delta t \to 0\) | Угаона брзина: \(\vec{\omega} = \frac{\Delta \vec{\varphi}}{\Delta t}, \;\Delta t \to 0\) | Векторска |
| Убрзање: \(\vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}, \;\Delta t \to 0\) | Угаоно убрзање: \(\vec{\alpha} = \frac{\Delta \vec{\omega}}{\Delta t}, \;\Delta t \to 0\) | Векторска |
Математичке релације које повезују линијске кинематичке величине имају потпуно исти облик и за одговарајуће угаоне кинематичке величине.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Која је линијска величина аналогна угаоном убрзању \(\vec{\alpha}\) и која је мерна јединица за угаоно убрзање у Међународном систему јединица (SI)?
Угаоном убрзању \(\vec{\alpha}\) аналогно је линијско убрзање \(\vec{a}\).
Мерна јединица за угаоно убрзање је радијан у секунди на квадрат \(\left(\frac{\text{rad}}{\text{s}^2}\right)\).
Мерна јединица за угаоно убрзање је радијан у секунди на квадрат \(\left(\frac{\text{rad}}{\text{s}^2}\right)\).
Задатак 2 (средњи): Вентилатор се искључи и његово окретање постепено успорава око непокретне осе. У ком смеру делује вектор угаоног убрзања \(\vec{\alpha}\) у односу на вектор угаоне брзине \(\vec{\omega}\)?
Пошто угаона брзина опада током времена (успорено кретање), вектор угаоног убрзања \(\vec{\alpha}\) има супротан смер од смера вектора угаоне брзине \(\vec{\omega}\), при чему оба вектора леже на истој оси ротације.
Задатак 3 (тежак): Точак крутог тела ротира око непокретне осе. Две материјалне тачке тог тела налазе се на различитим удаљеностима од осе ротације (\(r_1 \neq r_2\)). Да ли су њихове угаоне брзине једнаке и да ли су њихови угаони помераји једнаки? Обраложити зашто.
Да, једнаки су. Код крутог тела сви делови задржавају међусобна растојања, па се све тачке у истом временском интервалу заокрену за потпуно исти угао. Због тога све тачке крутог тела деле исти угаони померај \(\Delta \vec{\varphi}\), исту угаону брзину \(\vec{\omega}\) и исто угаоно убрзање \(\vec{\alpha}\), без обзира на њихову удаљеност од осе ротације.
