Најважније из лекције
Момент импулса (\( \vec{L} \)) је ротациони аналог линеарног импулса (\( \vec{p} = m\vec{v} \)).
• Основна формула: \( \vec{L} = I \vec{\omega} \) (интензитет: \( L = I\omega \)).
• Јединица мере: \( [L] = \frac{\text{kg}\cdot\text{m}^2}{\text{s}} \).
• Вектор \( \vec{L} \) има исти правац и смер као вектор угаоне брзине \( \vec{\omega} \).
• Зависност: Пошто момент инерције \( I \) зависи од положаја осе ротације, и момент импулса зависи од изабране осе ротације.
• Основна формула: \( \vec{L} = I \vec{\omega} \) (интензитет: \( L = I\omega \)).
• Јединица мере: \( [L] = \frac{\text{kg}\cdot\text{m}^2}{\text{s}} \).
• Вектор \( \vec{L} \) има исти правац и смер као вектор угаоне брзине \( \vec{\omega} \).
• Зависност: Пошто момент инерције \( I \) зависи од положаја осе ротације, и момент импулса зависи од изабране осе ротације.
Момент импулса је физичка величина која описује стање ротационог кретања тела и једнака је производу момента инерције тела у односу на дату осу ротације и његове угаоне брзине.
Као што маса и брзина одређују импулс тела при транслаторном кретању (\(\vec{p} = m\vec{v}\)), тако момент инерције и угаона брзина одређују момент импулса при ротацији.
\[ \vec{L} = I \vec{\omega} \]
\( \vec{L} \) – вектор момента импулса, \( I \) – момент инерције тела за дату осу, \( \vec{\omega} \) – вектор угаоне брзине
Вектор момента импулса означава се са \( \vec{L} \), а његов интензитет са \( L \).
Јединица за момент импулса у СИ систему је килограм-метар на квадрат у секунди:
\[ [L] = \frac{\text{kg}\cdot\text{m}^2}{\text{s}} = \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} \]
Момент импулса је векторска величина. Његов правац и смер се поклапају са правцем и смером вектора угаоне брзине \( \vec{\omega} \) (дуж осе ротације, одређен правилом десне руке).
\[ L = I \omega \]
Интензитет момента импулса једнак је производу момента инерције и интензитета угаоне брзине.
Ако тело ротира око фиксне осе са угаоном брзином \(\omega = 5\text{ rad/s}\), а његов момент инерције за ту осу износи \(I = 0{,}4\text{ kg}\cdot\text{m}^2\), интензитет момента импулса је:
\[ L = I \omega = 0{,}4\text{ kg}\cdot\text{m}^2 \cdot 5\text{ s}^{-1} = 2\text{ }\frac{\text{kg}\cdot\text{m}^2}{\text{s}} \]
Момент инерције тела \( I \) зависи од положаја осе ротације јер се растојања делића тела од осе мењају. Због тога и момент импулса тела \( \vec{L} \) зависи од избора осе ротације.
Код хомогених тела правилног геометријског облика (као што је квадар) увек се могу дефинисати три главне осе ротације које пролазе кроз центар масе и за које тело има различите моменте инерције.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Замајац момента инерције \( I = 1{,}5\text{ kg}\cdot\text{m}^2 \) ротира око своје осе константном угаоном брзином \( \omega = 20\text{ rad/s} \). Израчунати интензитет момента импулса замајца.
Интензитет момента импулса се рачуна по формули:
\[ L = I \omega \]
Уврштавањем датих вредности:
\[ L = 1{,}5\text{ kg}\cdot\text{m}^2 \cdot 20\text{ rad/s} = 30\text{ }\frac{\text{kg}\cdot\text{m}^2}{\text{s}} \]
Задатак 2 (средњи): Хомогени диск ротира око осе симетрије нормалне на раван диска фреквенцијом \( f = 10\text{ Hz} \). Ако је момент импулса диска \( L = 62{,}8\text{ kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} \), колика је вредност његовог момента инерције? (Узети \( \pi \approx 3{,}14 \))
1. Најпре одређујемо угаону брзину преко фреквенције:
\[ \omega = 2\pi f = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 10\text{ s}^{-1} = 62{,}8\text{ rad/s} \]
2. Из дефиниције момента импулса \( L = I \omega \), изражавамо момент инерције:
\[ I = \frac{L}{\omega} = \frac{62{,}8\text{ kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}}{62{,}8\text{ rad/s}} = 1\text{ kg}\cdot\text{m}^2 \]
Задатак 3 (тежак): Тело ротира око прве осе ротације моментом инерције \( I_1 = 0{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^2 \) и угаоном брзином \( \omega_1 = 12\text{ rad/s} \). Када исто тело ротира око друге осе, његов момент инерције износи \( I_2 = 0{,}8\text{ kg}\cdot\text{m}^2 \). Коликом угаоном брзином \( \omega_2 \) тело мора ротирати око друге осе да би у оба случаја имало једнак интензитет момента импулса?
Из услова задатка следи да су моменти импулса једнаки:
\[ L_1 = L_2 \]
\[ I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2 \]
Изражавањем тражене угаоне брзине \( \omega_2 \):
\[ \omega_2 = \frac{I_1 \omega_1}{I_2} = \frac{0{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^2 \cdot 12\text{ rad/s}}{0{,}8\text{ kg}\cdot\text{m}^2} = \frac{2{,}4}{0{,}8}\text{ rad/s} = 3\text{ rad/s} \]
Одговор: Тело мора ротирати угаоном брзином од \( 3\text{ rad/s} \).
