Најважније из лекције
- Описани угао (\(\theta\)) је скаларна величина која представља укупан угао који тело опише током ротације (\([\theta] = \text{rad}\)).
- Угаони померај (\(\Delta\vec{\theta}\)) је вектор дуж осе ротације чији се смер одређује правилом десне руке. Увек важи \(\Delta\theta \le \theta\).
- Радијан: \(\theta = \frac{l}{r}\); пун круг износи \(360^\circ = 2\pi\text{ rad}\).
- Угаона брзина: \(\omega_s = \frac{\theta}{\Delta t}\), \(\vec{\omega} = \frac{\Delta\vec{\theta}}{\Delta t}\) (\([\omega] = \text{rad/s}\)).
- Угаоно убрзање: \(\vec{a}_\omega = \frac{\Delta\vec{\omega}}{\Delta t}\) (\([a_\omega] = \text{rad/s}^2\)). Вектор \(\vec{a}_\omega\) је истог смера као \(\vec{\omega}\) при убрзању, а супротног при успоравању.
Описани угао (\(\theta\)) је скаларна кинематичка величина једнака укупном углу који опише радијус-вектор било које тачке крутог тела ван осе ротације.
Угаони померај (\(\Delta\vec{\theta}\)) је векторска величина једнака углу који заклапају радијус-вектори почетног и крајњег положаја било које тачке тела ван осе ротације. Његов правац лежи на оси ротације.
Јединица за описани угао и угаони померај је радијан (\(\text{rad}\)).
Правило десне руке: Ако савијени прсти десне руке показују смер ротације тела, испружени палац показује смер вектора угаоног помераја \(\Delta\vec{\theta}\).
Величина угла у радијанима преко дужине кружног лука \(l\) и полупречника \(r\):
\[ \theta = \frac{l}{r} \]
Веза између степени и радијана (\(360^\circ = 2\pi\text{ rad}\)):
\[ \theta(\text{rad}) = \frac{\theta(^\circ) \cdot 2\pi\text{ rad}}{360^\circ} = \frac{\theta(^\circ) \cdot \pi}{180^\circ} \]
Угаони померај показује само промену крајњег положаја у односу на почетни, док описани угао представља стварну путању коју је тело описало при ротацији. Због тога важи:
\[ \Delta \theta \leq \theta \]
Ако тело направи један пун обрт (\(360^\circ\)) и врати се у почетни положај, угаони померај је \(\Delta\theta = 0\), док је описани угао \(\theta = 2\pi\text{ rad}\).
Колико радијана износи угао од \(90^\circ\)?
Применом формуле за претварање:
\[ \theta = \frac{90^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{2}\text{ rad} \approx 1{,}57\text{ rad} \]
Угаона брзина описује брзину ротације крутог тела око осе. Разликују се средња и тренутна угаона брзина.
Основна јединица за угаону брзину је радијан у секунди (\(\text{rad/s}\) или \(\text{rad}\cdot\text{s}^{-1}\)).
Средња угаона брзина (скаларна величина):
\[ \omega_s = \frac{\theta}{\Delta t} \]
где је \(\theta\) описани угао, а \(\Delta t\) временски интервал ротације.
Тренутна угаона брзина (векторска величина): \[ \vec{\omega} = \frac{\Delta\vec{\theta}}{\Delta t}, \quad \Delta t \to 0 \] Правац и смер вектора тренутне угаоне брзине поклапају се са правцем и смером угаоног помераја (одређени правилом десне руке).
Тренутна угаона брзина (векторска величина): \[ \vec{\omega} = \frac{\Delta\vec{\theta}}{\Delta t}, \quad \Delta t \to 0 \] Правац и смер вектора тренутне угаоне брзине поклапају се са правцем и смером угаоног помераја (одређени правилом десне руке).
Ако је угаона брзина константна током времена (\(\vec{\omega} = \text{const}\)), ротационо кретање је равномерно. Ако се \(\vec{\omega}\) мења, кретање је променљиво.
Точак се за \(2\text{ s}\) окрене за угао од \(10\pi\text{ rad}\). Израчунати средњу угаону брзину точка.
\[ \omega_s = \frac{\theta}{\Delta t} = \frac{10\pi\text{ rad}}{2\text{ s}} = 5\pi\text{ rad/s} \approx 15{,}7\text{ rad/s} \]
Угаоно убрзање описује промену вектора угаоне брзине током времена код променљивог ротационог кретања.
Основна јединица за угаоно убрзање је радијан у секунди на квадрат (\(\text{rad/s}^2\)).
Средње угаоно убрзање:
\[ \vec{a}_\omega = \frac{\Delta\vec{\omega}}{\Delta t} = \frac{\vec{\omega}_2 - \vec{\omega}_1}{t_2 - t_1} \]
Правац вектора угаоног убрзања поклапа се са осом ротације:
- Када се угаона брзина повећава (убрзана ротација), вектори \(\vec{a}_\omega\) и \(\vec{\omega}\) имају исти смер.
- Када се угаона брзина смањује (успорена ротација), вектор \(\vec{a}_\omega\) има супротан смер од вектора \(\vec{\omega}\).
Вентилатор почиње да ротира из стања мировања и за \(4\text{ s}\) достигне угаону брзину од \(12\text{ rad/s}\). Колико износи средње угаоно убрзање вентилатора?
Почетна угаона брзина је \(\omega_1 = 0\), а крајња \(\omega_2 = 12\text{ rad/s}\).
\[ a_\omega = \frac{\omega_2 - \omega_1}{\Delta t} = \frac{12\text{ rad/s} - 0}{4\text{ s}} = 3\text{ rad/s}^2 \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Претворити угао од \(60^\circ\) у радијане.
Користимо везу између степени и радијана:
\[ \theta(\text{rad}) = \frac{\theta(^\circ) \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{60^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3}\text{ rad} \approx 1{,}05\text{ rad} \]
Задатак 2 (средњи): Вртешка направи 20 пуних обртаја за време од \(10\text{ s}\). Одредити:
- укупан описани угао у радијанима,
- средњу угаону брзину вртешке.
а) Један пун обрт износи \(2\pi\text{ rad}\), па је описани угао:
\[ \theta = 20 \cdot 2\pi\text{ rad} = 40\pi\text{ rad} \approx 125{,}66\text{ rad} \]
б) Средња угаона брзина је:
\[ \omega_s = \frac{\theta}{\Delta t} = \frac{40\pi\text{ rad}}{10\text{ s}} = 4\pi\text{ rad/s} \approx 12{,}57\text{ rad/s} \]
Задатак 3 (средњи): Замајац се обрће угаоном брзином \(\omega_1 = 30\text{ rad/s}\). Приликом кочења заустави се за време од \(6\text{ s}\). Израчунати средње угаоно убрзање и одредити његов смер у односу на смер угаоне брзине.
Пошто се замајац зауставио, крајња угаона брзина је \(\omega_2 = 0\).
\[ a_\omega = \frac{\omega_2 - \omega_1}{\Delta t} = \frac{0 - 30\text{ rad/s}}{6\text{ s}} = -5\text{ rad/s}^2 \]
Интензитет угаоног убрзања износи \(5\text{ rad/s}^2\). Знак минус означава да је смер вектора угаоног убрзања \(\vec{a}_\omega\) супротан од смера вектора почетне угаоне брзине \(\vec{\omega}_1\).
Задатак 4 (тежак): Тело ротира тако што прво направи \(3\) пуна обртаја у смеру казаљке на сату, а затим \(1\) обрт у супротном смеру. Одредити:
- укупан описани угао \(\theta\),
- интензитет укупног угаоног помераја \(\Delta\theta\).
а) Описани угао је скаларна величина и представља укупну ротацију без обзира на смер:
\[ \theta = (3 + 1) \cdot 2\pi\text{ rad} = 4 \cdot 2\pi\text{ rad} = 8\pi\text{ rad} \approx 25{,}13\text{ rad} \]
б) Угаони померај узима у обзир почетни и крајњи положај (смерови се одузимају):
\[ \Delta\theta = (3 - 1) \cdot 2\pi\text{ rad} = 2 \cdot 2\pi\text{ rad} = 4\pi\text{ rad} \approx 12{,}57\text{ rad} \]
Види се да важи неједнакост \(\Delta\theta < \theta\).
