Најважније из лекције
Материјална тачка: Налази се у равнотежи када је резултанта свих сила једнака нули (\(\sum \vec{F}_i = 0\)).
Тело са непокретном тачком: Налази се у равнотежи када је резултујући момент сила у односу на ту тачку једнак нули (\(\sum \vec{M}_{iO} = 0\)).
Тело са фиксном осом ротације: Налази се у равнотежи када је сума пројекција момената свих сила на ту осу једнака нули (\(\sum M_{iz} = 0\)). Силе чији правац сече осу или је паралелан са њом не стварају ротацију.
Слободно круто тело: За потпуну равнотежу морају истовремено бити задовољена два услова: једнакост нули свих сила (\(\sum \vec{F}_i = 0\)) и једнакост нули свих момената сила (\(\sum \vec{M}_{iT} = 0\)).
Тело са непокретном тачком: Налази се у равнотежи када је резултујући момент сила у односу на ту тачку једнак нули (\(\sum \vec{M}_{iO} = 0\)).
Тело са фиксном осом ротације: Налази се у равнотежи када је сума пројекција момената свих сила на ту осу једнака нули (\(\sum M_{iz} = 0\)). Силе чији правац сече осу или је паралелан са њом не стварају ротацију.
Слободно круто тело: За потпуну равнотежу морају истовремено бити задовољена два услова: једнакост нули свих сила (\(\sum \vec{F}_i = 0\)) и једнакост нули свих момената сила (\(\sum \vec{M}_{iT} = 0\)).
Материјална тачка која мирује налази се у стању статичке равнотеже уколико је резултанта свих спољашњих сила које делују на њу једнака нули.
Ако се тело креће равномерно праволинијски док је резултанта свих сила једнака нули, каже се да се налази у стању динамичке равнотеже (према Првом Њутновом закону).
\[ \vec{F}_R = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \ldots + \vec{F}_n = \sum_{i=1}^n \vec{F}_i = 0 \]
\(\vec{F}_R\) – резултујућа сила која делује на материјалну тачку
Књига која мирује на хоризонталном столу је у равнотежи јер је сила Земљине теже \(\vec{F}_g = m\vec{g}\) (усмерена вертикално наниже) по интензитету једнака сили реакције подлоге \(\vec{N}\) (усмереној вертикално навише), па је \(\vec{F}_R = m\vec{g} + \vec{N} = 0\).
На материјалну тачку делују две хоризонталне силе дуж истог правца: сила \(F_1 = 15\text{ N}\) у смеру истока и сила \(F_2 = 15\text{ N}\) у смеру запада. Да ли се тело налази у равнотежи?
Силе имају исти правац и интензитет, а супротне смерове. Резултанта је:
\[ F_R = F_1 - F_2 = 15\text{ N} - 15\text{ N} = 0\text{ N} \]
Одговор: Тело се налази у стању равнотеже јер је резултујућа сила једнака нули.
Круто тело везано у једној непокретној тачки \(O\) не може да врши транслаторно кретање, али може да ротира око било које осе која пролази кроз ту тачку.
Круто тело везано у једној непокретној тачки налази се у стању равнотеже ако је векторски збир момената свих спољашњих сила које делују на тело у односу на ту тачку једнак нули.
\[ \vec{M}_O = \vec{M}_{1O} + \vec{M}_{2O} + \ldots + \vec{M}_{nO} = \sum_{i=1}^n \vec{M}_{iO} = 0 \]
\(\vec{M}_O\) – резултујући момент сила у односу на непокретну тачку \(O\)
Лустер окачен о тачку на плафону мирује јер линија дејства силе теже пролази кроз тачку вешања, па је момент силе теже у односу на ту тачку једнак нули (\(M_O = 0\)). Ако на лустер делује бочна сила чији правац не пролази кроз тачку вешања, њен момент је различит од нуле и лустер ће се померити из равнотежног положаја.
Када је тело учвршћено у најмање две тачке, оне дефинишу фиксну осу ротације око које тело може да се обрће.
Круто тело са фиксном осом ротације налази се у стању равнотеже уколико је алгебарски збир пројекција момената свих спољашњих сила на ту осу ротације једнак нули.
\[ M_z = M_{1z} + M_{2z} + \ldots + M_{nz} = \sum_{i=1}^n M_{iz} = 0 \]
\(M_z\) – пројекција укупног момента сила на осу ротације \(z\)
Сила неће изазвати ротацију тела око осе у два случаја:
- када је правац (линија дејства) силе паралелан са осом ротације;
- када правац силе сече осу ротације (крак силе у односу на осу је једнак нули).
Врата на шарнирима представљају тело са фиксном осом ротације. Врата се неће окретати ако их вучемо паралелно са осом (навише) или ако гурамо право ка оси (према шаркама). Врата ротирају само под дејством силе чији је момент у односу на осу ротације различит од нуле.
Слободно круто тело може истовремено да врши и транслаторно и ротационо кретање. Да би се налазило у стању потпуне статичке равнотеже, морају бити испуњена два услова равнотеже.
Векторски збир свих спољашњих сила које делују на тело мора бити једнак нули:
\[ \vec{F}_R = \sum_{i=1}^n \vec{F}_i = 0 \]
Овај услов спречава покретање и убрзавање тежишта тела.
Векторски збир момената свих спољашњих сила у односу на тежиште тела \(T\) (или било коју другу тачку) мора бити једнак нули:
\[ \vec{M}_T = \sum_{i=1}^n \vec{M}_{iT} = 0 \]
Овај услов спречава ротацију тела око тежишта.
Ако је резултанта свих сила једнака нули (\(\vec{F}_R = 0\)), али њихови правци не пролазе кроз исту тачку (нпр. спрег сила), тело неће вршити транслацију, али ће ротирати. Зато су оба услова неопходна.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): На хоризонталну греду која може да ротира око осе у тачки \(O\) делују две нормалне силе усмерене надоле. Сила \(F_1 = 30\text{ N}\) делује на растојању \(r_1 = 0{,}4\text{ m}\) лево од осе. На ком растојању \(r_2\) десно од осе мора деловати сила \(F_2 = 20\text{ N}\) да би греда била у равнотежи?
Да би тело било у ротационој равнотежи, збир момената који обрћу у смеру супротном од кретања казаљке на сату мора бити једнак збиру момената који обрћу у смеру казаљке на сату:
\[ M_1 = M_2 \implies F_1 \cdot r_1 = F_2 \cdot r_2 \]
\[ 30\text{ N} \cdot 0{,}4\text{ m} = 20\text{ N} \cdot r_2 \]
\[ 12\text{ N}\cdot\text{m} = 20\text{ N} \cdot r_2 \implies r_2 = \frac{12}{20} = 0{,}6\text{ m} \]
Одговор: Сила \(F_2\) мора деловати на растојању од \(0{,}6\text{ m}\) од осе.
Задатак 2 (средњи): Тело масе \(m = 4\text{ kg}\) обешено је о непокретну тачку помоћу неистегљивог ужета. На тело делује хоризонтална спољашња сила \(F = 30\text{ N}\). Колика је сила затезања ужета \(T\) када се тело налази у статичкој равнотежи? (Узети \(g \approx 10\text{ m/s}^2\)).
На тело делују три силе: сила теже \(F_g = mg = 4\text{ kg} \cdot 10\text{ m/s}^2 = 40\text{ N}\) (вертикално наниже), хоризонтална сила \(F = 30\text{ N}\) и сила затезања \(\vec{T}\).
Услов равнотеже за материјалну тачку је \(\vec{F}_R = \vec{F}_g + \vec{F} + \vec{T} = 0\), што значи да сила затезања \(\vec{T}\) уравнотежава резултанту сила \(F_g\) и \(F\).
Пошто су силе \(F_g\) и \(F\) међусобно нормалне: \[ T = \sqrt{F_g^2 + F^2} = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50\text{ N} \] Одговор: Сила затезања ужета износи \(50\text{ N}\).
Услов равнотеже за материјалну тачку је \(\vec{F}_R = \vec{F}_g + \vec{F} + \vec{T} = 0\), што значи да сила затезања \(\vec{T}\) уравнотежава резултанту сила \(F_g\) и \(F\).
Пошто су силе \(F_g\) и \(F\) међусобно нормалне: \[ T = \sqrt{F_g^2 + F^2} = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50\text{ N} \] Одговор: Сила затезања ужета износи \(50\text{ N}\).
Задатак 3 (тежак): Хомогена греда дужине \(L = 4\text{ m}\) и масе \(M = 20\text{ kg}\) ослоњена је својим крајевима \(A\) и \(B\) на два вертикална ослонца. На растојању \(x = 1\text{ m}\) од ослонца \(A\) на средини греде постављен је терет масе \(m = 10\text{ kg}\). Колике су силе реакције ослонаца \(N_A\) и \(N_B\)? (Узети \(g \approx 10\text{ m/s}^2\)).
Греда је слободно круто тело у равнотежи. Сила теже саме греде \(F_{g1} = M g = 200\text{ N}\) делује у њеном геометријском средишту (\(L/2 = 2\text{ m}\) од \(A\)). Тежина терета је \(F_{g2} = m g = 100\text{ N}\) и делује на \(1\text{ m}\) од \(A\).
1. Услов моментне равнотеже у односу на ослонац \(A\) (\(\sum M_A = 0\)): \[ N_B \cdot L - F_{g2} \cdot 1\text{ m} - F_{g1} \cdot 2\text{ m} = 0 \] \[ N_B \cdot 4\text{ m} = 100\text{ N} \cdot 1\text{ m} + 200\text{ N} \cdot 2\text{ m} = 100 + 400 = 500\text{ N}\cdot\text{m} \] \[ N_B = \frac{500}{4} = 125\text{ N} \]
2. Услов транслационе равнотеже дуж вертикалне осе (\(\sum F_y = 0\)): \[ N_A + N_B - F_{g1} - F_{g2} = 0 \] \[ N_A = F_{g1} + F_{g2} - N_B = 200\text{ N} + 100\text{ N} - 125\text{ N} = 175\text{ N} \] Одговор: Силе реакције ослонаца су \(N_A = 175\text{ N}\) и \(N_B = 125\text{ N}\).
1. Услов моментне равнотеже у односу на ослонац \(A\) (\(\sum M_A = 0\)): \[ N_B \cdot L - F_{g2} \cdot 1\text{ m} - F_{g1} \cdot 2\text{ m} = 0 \] \[ N_B \cdot 4\text{ m} = 100\text{ N} \cdot 1\text{ m} + 200\text{ N} \cdot 2\text{ m} = 100 + 400 = 500\text{ N}\cdot\text{m} \] \[ N_B = \frac{500}{4} = 125\text{ N} \]
2. Услов транслационе равнотеже дуж вертикалне осе (\(\sum F_y = 0\)): \[ N_A + N_B - F_{g1} - F_{g2} = 0 \] \[ N_A = F_{g1} + F_{g2} - N_B = 200\text{ N} + 100\text{ N} - 125\text{ N} = 175\text{ N} \] Одговор: Силе реакције ослонаца су \(N_A = 175\text{ N}\) и \(N_B = 125\text{ N}\).
