Најважније из лекције
Преглед главних кинематичких формула праволинијског кретања:
• Равномерно кретање (\(a = 0\)): \(v = \text{const.}\), \(s = v \cdot t\). График \(v(t)\) је хоризонтална линија; површина испод графика даје пут.
• Равномерно убрзано кретање (\(a = \text{const.} > 0\)): \[ v = v_0 + a t, \quad s = v_0 t + \frac{a t^2}{2}, \quad v^2 = v_0^2 + 2as \] • Равномерно успорено кретање (\(a = \text{const.} < 0\)): \[ v = v_0 - a t, \quad s = v_0 t - \frac{a t^2}{2}, \quad v^2 = v_0^2 - 2as \] • Средња брзина: \(v_{sr} = \frac{v_0 + v}{2} = \frac{s}{t}\).
• Равномерно кретање (\(a = 0\)): \(v = \text{const.}\), \(s = v \cdot t\). График \(v(t)\) је хоризонтална линија; површина испод графика даје пут.
• Равномерно убрзано кретање (\(a = \text{const.} > 0\)): \[ v = v_0 + a t, \quad s = v_0 t + \frac{a t^2}{2}, \quad v^2 = v_0^2 + 2as \] • Равномерно успорено кретање (\(a = \text{const.} < 0\)): \[ v = v_0 - a t, \quad s = v_0 t - \frac{a t^2}{2}, \quad v^2 = v_0^2 - 2as \] • Средња брзина: \(v_{sr} = \frac{v_0 + v}{2} = \frac{s}{t}\).
Равномерно праволинијско кретање јесте кретање по правој линији брзином константног интензитета, правца и смера (\(\vec{v} = \text{const.}\)).
Код овог кретања убрзање је једнако нули (\(\vec{a} = 0\)), а тренутна брзина је у сваком тренутку једнака средњој брзини.
\[ v = v_{sr} = \frac{s}{\Delta t} \implies s = v \cdot \Delta t \]
Ако је тело до почетног тренутка већ прешло пут \(s_0\), укупан пут је: \(s = s_0 + v \cdot t\)
Графички прикази:
- График брзине \(v(t)\): Права линија паралелна са временском осом (\(t\)-осом). Површина испод графика у интервалу \(\Delta t\) бројно је једнака пређеном путу (\(P = s\)).
- График пута \(s(t)\): Коса права линија. Ако тело креће из координатног почетка, права полази из тачке \((0,0)\); ако има почетни положај \(s_0\), права сече \(y\)-осу у тачки \(s_0\).
Аутомобил се креће равномерном брзином од \(v = 20\text{ m/s}\). За време од \(t = 15\text{ s}\) прећи ће пут:
\[ s = v \cdot t = 20\text{ m/s} \cdot 15\text{ s} = 300\text{ m} \]
Равномерно променљиво праволинијско кретање јесте кретање по правој линији са константним убрзањем (\(a = \text{const.}\)).
Код праволинијског кретања нормално убрзање је једнако нули (\(a_n = 0\)), па је укупно убрзање једнако тангенцијалном (\(a = a_t\)).
\[ a = a_{sr} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v - v_0}{t} \]
\(a\) – убрзање (\(\text{m/s}^2\)), \(v_0\) – почетна брзина (\(\text{m/s}\)), \(v\) – крајња брзина након времена \(t\)
Подела према смеру убрзања:
- Равномерно убрзано кретање: Вектори брзине и убрзања имају исти смер (\(a > 0\)). Интензитет брзине равномерно расте.
- Равномерно успорено кретање: Вектори брзине и убрзања имају супротан смер (\(a < 0\)). Интензитет брзине равномерно опада до заустављања.
Равномерно убрзано кретање:
\[ v = v_0 + a \cdot t \]
(Ако тело креће из мировања, \(v_0 = 0 \implies v = a \cdot t\))
Равномерно успорено кретање: \[ v = v_0 - a \cdot t \] (Важи до тренутка заустављања \(v = 0\), када је \(t_z = \frac{v_0}{a}\))
Равномерно успорено кретање: \[ v = v_0 - a \cdot t \] (Важи до тренутка заустављања \(v = 0\), када је \(t_z = \frac{v_0}{a}\))
График зависности брзине од времена \(v(t)\):
- Коса права линија са одсечком \(v_0\) на \(y\)-оси.
- Код убрзаног кретања права је растућа.
- Код успореног кретања права је опадајућа и сече \(t\)-осу у тренутку заустављања \(t_z\).
Воз који креће из станице (\(v_0 = 0\)) убрзава са \(a = 0{,}5\text{ m/s}^2\). Након \(t = 20\text{ s}\) његова брзина је:
\[ v = 0 + 0{,}5\text{ m/s}^2 \cdot 20\text{ s} = 10\text{ m/s} \]
Пошто је зависност брзине од времена линеарна, средња брзина је једнака аритметичкој средини почетне и крајње брзине:
\[ v_{sr} = \frac{v_0 + v}{2} = v_0 \pm \frac{a \cdot t}{2} \]
Пошто је пређени пут \(s = v_{sr} \cdot t\), уврштавањем израза за средњу брзину добија се закон пута:
За равномерно убрзано кретање:
\[ s = v_0 \cdot t + \frac{a \cdot t^2}{2} \]
(Без почетне брзине: \(s = \frac{a \cdot t^2}{2}\))
За равномерно успорено кретање: \[ s = v_0 \cdot t - \frac{a \cdot t^2}{2} \]
За равномерно успорено кретање: \[ s = v_0 \cdot t - \frac{a \cdot t^2}{2} \]
График зависности пређеног пута од времена \(s(t)\) је део параболе, јер пут зависи од квадрата протеклог времена (\(t^2\)).
Елиминисањем времена \(t = \frac{v - v_0}{a}\) из једначине за пут, добија се директна веза између тренутне брзине и пређеног пута:
Равномерно убрзано кретање:
\[ v^2 = v_0^2 + 2as \implies v = \sqrt{v_0^2 + 2as} \]
Равномерно успорено кретање: \[ v^2 = v_0^2 - 2as \implies v = \sqrt{v_0^2 - 2as} \]
Равномерно успорено кретање: \[ v^2 = v_0^2 - 2as \implies v = \sqrt{v_0^2 - 2as} \]
Пут заустављања (\(s_z\)): Код равномерног успоравања до потпуног заустављања (\(v = 0\)), зауставни пут износи:
\[ 0 = v_0^2 - 2as_z \implies s_z = \frac{v_0^2}{2a} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лако): Аутомобил полази из места (\(v_0 = 0\)) и креће се равномерно убрзано са убрзањем \(a = 2\text{ m/s}^2\). Колику брзину ће имати аутомобил након \(6\text{ s}\) и колики пут ће прећи за то време?
Подаци: \(v_0 = 0\), \(a = 2\text{ m/s}^2\), \(t = 6\text{ s}\).
1. Брзина: \[ v = a \cdot t = 2\text{ m/s}^2 \cdot 6\text{ s} = 12\text{ m/s} \] 2. Пређени пут: \[ s = \frac{a \cdot t^2}{2} = \frac{2 \cdot 6^2}{2} = 36\text{ m} \] Одговор: Брзина је \(12\text{ m/s}\), а пређени пут је \(36\text{ m}\).
1. Брзина: \[ v = a \cdot t = 2\text{ m/s}^2 \cdot 6\text{ s} = 12\text{ m/s} \] 2. Пређени пут: \[ s = \frac{a \cdot t^2}{2} = \frac{2 \cdot 6^2}{2} = 36\text{ m} \] Одговор: Брзина је \(12\text{ m/s}\), а пређени пут је \(36\text{ m}\).
Задатак 2 (Средње): Возило се креће брзином \(v_0 = 72\text{ km/h}\). У једном тренутку возач почиње да кочи са константним успорењем \(a = 4\text{ m/s}^2\). Израчунати време кочења до заустављања и дужину зауставног пута.
Подаци: \(v_0 = 72\text{ km/h} = \frac{72}{3{,}6}\text{ m/s} = 20\text{ m/s}\), \(a = 4\text{ m/s}^2\), \(v = 0\).
1. Време до заустављања: \[ v = v_0 - a \cdot t_z \implies t_z = \frac{v_0}{a} = \frac{20\text{ m/s}}{4\text{ m/s}^2} = 5\text{ s} \] 2. Зауставни пут: \[ s_z = \frac{v_0^2}{2a} = \frac{20^2}{2 \cdot 4} = \frac{400}{8} = 50\text{ m} \] Одговор: Возило се зауставља за \(5\text{ s}\), а зауставни пут је \(50\text{ m}\).
1. Време до заустављања: \[ v = v_0 - a \cdot t_z \implies t_z = \frac{v_0}{a} = \frac{20\text{ m/s}}{4\text{ m/s}^2} = 5\text{ s} \] 2. Зауставни пут: \[ s_z = \frac{v_0^2}{2a} = \frac{20^2}{2 \cdot 4} = \frac{400}{8} = 50\text{ m} \] Одговор: Возило се зауставља за \(5\text{ s}\), а зауставни пут је \(50\text{ m}\).
Задатак 3 (Тешко): Тело се креће равномерно убрзано са почетном брзином \(v_0 = 5\text{ m/s}\). На путу дужине \(s = 24\text{ m}\) тело повећа своју брзину на \(v = 11\text{ m/s}\). Одредити убрзање тела и време за које је тај пут пређен.
Подаци: \(v_0 = 5\text{ m/s}\), \(v = 11\text{ m/s}\), \(s = 24\text{ m}\).
1. Из формуле без времена \(v^2 = v_0^2 + 2as\) изражавамо убрзање: \[ a = \frac{v^2 - v_0^2}{2s} = \frac{11^2 - 5^2}{2 \cdot 24} = \frac{121 - 25}{48} = \frac{96}{48} = 2\text{ m/s}^2 \] 2. Време кретања налазимо из једначине брзине \(v = v_0 + a \cdot t\): \[ t = \frac{v - v_0}{a} = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3\text{ s} \] Одговор: Убрзање тела је \(2\text{ m/s}^2\), а време кретања је \(3\text{ s}\).
1. Из формуле без времена \(v^2 = v_0^2 + 2as\) изражавамо убрзање: \[ a = \frac{v^2 - v_0^2}{2s} = \frac{11^2 - 5^2}{2 \cdot 24} = \frac{121 - 25}{48} = \frac{96}{48} = 2\text{ m/s}^2 \] 2. Време кретања налазимо из једначине брзине \(v = v_0 + a \cdot t\): \[ t = \frac{v - v_0}{a} = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3\text{ s} \] Одговор: Убрзање тела је \(2\text{ m/s}^2\), а време кретања је \(3\text{ s}\).
