Најважније из лекције
- Закон одржања импулса важи за све врсте судара: \( \sum \vec{p}_{\text{пре}} = \sum \vec{p}_{\text{после}} \).
- Еластичан судар: Очувана је укупна кинетичка енергија (\( E_{k,\text{пре}} = E_{k,\text{после}} \)). Пример: судар билијарских кугли.
- Нееластичан судар: Кинетичка енергија се не одржава – део прелази у топлоту и рад деформације.
- Апсолутно нееластичан судар: Тела остају спојена после судара и крећу се заједничком брзином: \( m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = (m_1 + m_2)\vec{v} \).
- Балистичко клатно: Комбинује закон одржања импулса током судара и закон одржања механичке енергије при подизању за мерење брзине пројектила: \( v_0 = \frac{m+M}{m}\sqrt{2gh} \).
Судар је краткотрајно узајамно деловање два или више тела релативно јаким унутрашњим силама.
Пошто су силе међусобног деловања током судара знатно веће од спољашњих сила (које су занемарљиве), систем тела током судара сматра се изолованим системом.
Закон одржања импулса: Укупан импулс изолованог система тела пре и после судара остаје непромењен и важи за све врсте судара.
\[ \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = \vec{p}_1^{\,\prime} + \vec{p}_2^{\,\prime} \quad \Longleftrightarrow \quad m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = m_1 \vec{v}_1^{\,\prime} + m_2 \vec{v}_2^{\,\prime} \]
\( m_1, m_2 \) – масе тела; \( \vec{v}_1, \vec{v}_2 \) – брзине пре судара; \( \vec{v}_1^{\,\prime}, \vec{v}_2^{\,\prime} \) – брзине после судара
Еластичан судар је судар при коме је укупна механичка (кинетичка) енергија система пре и после судара очувана.
Током судара долази до еластичне деформације тела, при чему се део кинетичке енергије претвара у потенцијалну енергију еластичне деформације, а након раздвајања тела целокупна енергија се у потпуности враћа у кинетичку.
\[ E_{k1} + E_{k2} = E_{k1}^{\,\prime} + E_{k2}^{\,\prime} \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 v_1^{\prime 2}}{2} + \frac{m_2 v_2^{\prime 2}}{2} \]
Апсолутно еластичан судар представља идеализацију у којој нема никаквих губитака механичке енергије. У пракси, веома добар пример приближно еластичног судара јесте судар билијарских кугли.
Нееластичан судар је судар код кога укупна кинетичка енергија после судара има мању вредност него пре судара. Закон одржања механичке енергије не важи јер делују неконзервативне силе.
Део кинетичке енергије се неповратно троши на рад трајне деформације тела (\( A_d \)) и прелази у топлотну енергију.
\[ \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 v_1^{\prime 2}}{2} + \frac{m_2 v_2^{\prime 2}}{2} + A_d \]
Апсолутно нееластичан судар је врста нееластичног судара након ког се тела спајају и настављају да се крећу заједно истом брзином (\( \vec{v} \)).
\[ m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = (m_1 + m_2)\vec{v} \]
Централни судар је судар код кога се тела пре и после судара крећу дуж истог правца.
Када се тело масе \( m_1 \) (пројектил) креће брзином \( v_1 \), а тело масе \( m_2 \) (мета) мирује пре судара (\( v_2 = 0 \)), разликујемо три карактеристична случаја апсолутно еластичног судара:
| Однос маса | Понашање тела после судара | Брзине после судара |
|---|---|---|
| Једнаке масе \( m_1 = m_2 \) |
Тела размењују брзине: пројектил се зауставља, а мета наставља да се креће почетном брзином пројектила. | \( v_1^{\prime} = 0 \) \( v_2^{\prime} = v_1 \) |
| Много лакши пројектил \( m_1 \ll m_2 \) |
Пројектил се одбија уназад готово истом брзином, док мета добија занемарљиво малу брзину. | \( v_1^{\prime} \approx -v_1 \) \( v_2^{\prime} \approx 0 \) |
| Много тежи пројектил \( m_1 \gg m_2 \) |
Пројектил наставља кретање готово непромењеном брзином, а мета се покреће скоро двоструко већом брзином од пројектила. | \( v_1^{\prime} \approx v_1 \) \( v_2^{\prime} \approx 2v_1 \) |
Балистичко клатно је уређај који служи за мерење брзине брзих пројектила (нпр. метка) и представља пример апсолутно нееластичног судара.
Метак масе \( m \) брзином \( v_0 \) удара у окачен дрвени блок масе \( M \) који мирује и забија се у њега. Примењује се закон одржања импулса:
\[ m v_0 = (m + M)v \implies v = \frac{m}{m + M} v_0 \]
Након судара, систем маса \( (m + M) \) подиже се на максималну висину \( h \). Примењује се закон одржања механичке енергије за подизање клатна:
\[ \frac{(m + M)v^2}{2} = (m + M)gh \implies v = \sqrt{2gh} \]
Почетна брзина метка одређује се формулом:
\[ v_0 = \frac{m + M}{m}\sqrt{2gh} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак):
Тело масе \( m_1 = 2\text{ kg} \) креће се брзином \( v_1 = 3\text{ m/s} \) и централно нееластично се судара са непокретним телом масе \( m_2 = 1\text{ kg} \). Након судара тела настављају да се крећу заједно. Колика је њихова заједничка брзина \( v \)?
Примењујемо закон одржања импулса за апсолутно нееластичан судар:
\[ m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v \]
Пошто је \( v_2 = 0 \):
\[ 2\text{ kg} \cdot 3\text{ m/s} + 0 = (2\text{ kg} + 1\text{ kg}) \cdot v \]
\[ 6 = 3v \implies v = 2\text{ m/s} \]
Одговор: Заједничка брзина након судара износи \( 2\text{ m/s} \).
Задатак 2 (средњи):
Колица масе \( m_1 = 4\text{ kg} \) крећу се брзином \( v_1 = 5\text{ m/s} \) по глаткој хоризонталној подлози и ударе у непокретна колица масе \( m_2 = 6\text{ kg} \). Након судара, колица се споје. Колико се кинетичке енергије претворило у друге видове енергије (топлоту и деформацију) током овог судара?
1. Корак: Налажење заједничке брзине преко закона одржања импулса:
\[ m_1 v_1 = (m_1 + m_2)v \implies 4 \cdot 5 = (4 + 6)v \implies 20 = 10v \implies v = 2\text{ m/s} \]
2. Корак: Рачунање кинетичке енергије пре судара:
\[ E_{k1} = \frac{m_1 v_1^2}{2} = \frac{4 \cdot 5^2}{2} = \frac{4 \cdot 25}{2} = 50\text{ J} \]
3. Корак: Рачунање кинетичке енергије после судара:
\[ E_{k2} = \frac{(m_1 + m_2)v^2}{2} = \frac{10 \cdot 2^2}{2} = \frac{10 \cdot 4}{2} = 20\text{ J} \]
4. Корак: Губитак кинетичке енергије (\( A_d \)):
\[ \Delta E_k = E_{k1} - E_{k2} = 50\text{ J} - 20\text{ J} = 30\text{ J} \]
Одговор: У топлоту и деформацију претворило се \( 30\text{ J} \) кинетичке енергије.
Задатак 3 (тежак):
Метак масе \( m = 20\text{ g} \) испаљен је хоризонтално у дрвени блок балистичког клатна масе \( M = 1{,}98\text{ kg} \). Након што се метак зарио у блок, блок са метком се попео на максималну висину \( h = 20\text{ cm} \). Колика је била почетна брзина метка \( v_0 \)? (Узети \( g = 10\text{ m/s}^2 \)).
Подаци:
\[ m = 20\text{ g} = 0{,}02\text{ kg}, \quad M = 1{,}98\text{ kg}, \quad h = 20\text{ cm} = 0{,}2\text{ m}, \quad g = 10\text{ m/s}^2 \]
Укупна маса система:
\[ m + M = 0{,}02\text{ kg} + 1{,}98\text{ kg} = 2\text{ kg} \]
1. Корак: Брзина блока са метком непосредно након судара из закона одржања механичке енергије:
\[ v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0{,}2} = \sqrt{4} = 2\text{ m/s} \]
2. Корак: Почетна брзина метка из закона одржања импулса:
\[ m v_0 = (m + M)v \implies v_0 = \frac{m + M}{m} \cdot v \]
\[ v_0 = \frac{2\text{ kg}}{0{,}02\text{ kg}} \cdot 2\text{ m/s} = 100 \cdot 2\text{ m/s} = 200\text{ m/s} \]
Одговор: Почетна брзина метка износила је \( 200\text{ m/s} \).
