Најважније из лекције
Потенцијална енергија близу површине Земље: Рачуна се као \(E_p = mgh\). Зависи од избора референтног нивоа.
Рад гравитационе силе: Једнак је смањењу потенцијалне енергије, \(A = -\Delta E_p\), и не зависи од избора нултог нивоа.
Општи облик (велике удаљености): Износи \(E_p = -\gamma \frac{m_1 m_2}{r}\), са референтним нивоом у бесконачности (\(E_p = 0\) за \(r \rightarrow \infty\)).
Рад гравитационе силе: Једнак је смањењу потенцијалне енергије, \(A = -\Delta E_p\), и не зависи од избора нултог нивоа.
Општи облик (велике удаљености): Износи \(E_p = -\gamma \frac{m_1 m_2}{r}\), са референтним нивоом у бесконачности (\(E_p = 0\) за \(r \rightarrow \infty\)).
Потенцијална енергија тела у пољу Земљине теже представља способност система (Земља–тело) да изврши рад услед гравитационог привлачења.
Примењује се на релативно малим висинама близу површине Земље (\(h \ll R\)), где се гравитационо убрзање \(g\) сматра константним.
\[ E_p = m \cdot g \cdot h \]
\(m\) – маса тела (\(\text{kg}\)), \(g\) – гравитационо убрзање (\(\text{m/s}^2\)), \(h\) – висина у односу на референтни ниво (\(\text{m}\))
Џул (\(\text{J} = \text{N}\cdot\text{m} = \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^2\))
Торба масе \(3\text{ kg}\) налази се на грани на висини од \(4\text{ m}\) изнад тла. Њена потенцијална енергија у односу на тло (\(g \approx 9{,}81\text{ m/s}^2\)) износи:
\[ E_p = 3\text{ kg} \cdot 9{,}81\text{ m/s}^2 \cdot 4\text{ m} = 117{,}72\text{ J} \]
Колику потенцијалну енергију у односу на под има књига масе \(800\text{ g}\) која се налази на столу висине \(75\text{ cm}\)? (Узети \(g = 10\text{ m/s}^2\))
Претварамо вредности у основне јединице: \(m = 0{,}8\text{ kg}\), \(h = 0{,}75\text{ m}\).
\[ E_p = mgh = 0{,}8\text{ kg} \cdot 10\text{ m/s}^2 \cdot 0{,}75\text{ m} = 6\text{ J} \]
Одговор: Потенцијална енергија књиге је \(6\text{ J}\).
Нулти (референтни) ниво је произвољно одабран положај у простору у коме се узима да је потенцијална енергија једнака нули (\(E_p = 0\)).
Вредност саме потенцијалне енергије \(E_p\) зависи од избора нултог нивоа!
Независност рада и промене енергије: Промена потенцијалне енергије (\(\Delta E_p\)) и рад гравитационе силе (\(A\)) не зависе од избора нултог нивоа.
\[ A = -\Delta E_p = -(E_{p2} - E_{p1}) = E_{p1} - E_{p2} \]
Рад гравитационе силе једнак је негативној промени (односно смањењу) потенцијалне енергије.
Лустер виси на плафону. Потенцијална енергија лустера у односу на под је већа него у односу на површину стола испод њега. Међутим, ако лустер падне на сто, рад гравитационе силе и промена енергије биће потпуно исти без обзира на то шта је изабрано за нулти ниво.
Тело масе \(2\text{ kg}\) пада са висине \(10\text{ m}\) на висину \(4\text{ m}\). Израчунати рад гравитационе силе (\(g = 10\text{ m/s}^2\)).
Почетна и крајња потенцијална енергија:
\[ E_{p1} = 2 \cdot 10 \cdot 10 = 200\text{ J}, \quad E_{p2} = 2 \cdot 10 \cdot 4 = 80\text{ J} \]
Рад гравитационе силе:
\[ A = E_{p1} - E_{p2} = 200\text{ J} - 80\text{ J} = 120\text{ J} \]
Одговор: Рад гравитационе силе износи \(120\text{ J}\).
Када се растојање између тела значајно мења или су тела далеко од површине Земље, користи се општи закон гравитације према Њутновом закону.
\[ E_p = -\gamma \frac{m_1 m_2}{r} \]
\(\gamma\) – гравитациона константа, \(m_1, m_2\) – масе тела, \(r\) – растојање између њихових центара маса
Нулти ниво потенцијалне енергије у овом случају је у бесконачности:
\[ r \rightarrow \infty \implies E_p = 0 \]
Због тога је за свако коначно растојање гравитациона потенцијална енергија негативна.
За тело масе \(m\) на висини \(h\) изнад површине Земље масе \(M\) и полупречника \(R\), растојање се рачуна од центра Земље:
\[ r = R + h \implies E_p = -\gamma \frac{M m}{R + h} \]
Како се мења гравитациона потенцијална енергија два небеска тела када се њихово међусобно растојање повећава?
Када се растојање \(r\) повећава, разломак \(\frac{m_1 m_2}{r}\) се смањује, па негативна вредност \(-\gamma \frac{m_1 m_2}{r}\) постаје „мање негативна”, тј. расте (приближава се нули).
Задаци за вежбање
Лаки ниво: Тело масе \(5\text{ kg}\) подигнуто је вертикално са тла на висину од \(6\text{ m}\). Израчунати потенцијалну енергију тела у односу на тло (\(g = 10\text{ m/s}^2\)).
Применом формуле за потенцијалну енергију у пољу Земљине теже:
\[ E_p = mgh = 5\text{ kg} \cdot 10\text{ m/s}^2 \cdot 6\text{ m} = 300\text{ J} \]
Одговор: Потенцијална енергија тела износи \(300\text{ J}\).
Средњи ниво: Лопта масе \(400\text{ g}\) испуштена је са балкона на трећем спрату који је на висини \(12\text{ m}\), и пада на балкон на првом спрату на висини \(4\text{ m}\). Колики је рад извршила гравитациона сила током овог пада? (\(g = 9{,}8\text{ m/s}^2\))
Подаци: \(m = 0{,}4\text{ kg}\), \(h_1 = 12\text{ m}\), \(h_2 = 4\text{ m}\).
Рад гравитационе силе је: \[ A = -\Delta E_p = mgh_1 - mgh_2 = mg(h_1 - h_2) \] \[ A = 0{,}4\text{ kg} \cdot 9{,}8\text{ m/s}^2 \cdot (12\text{ m} - 4\text{ m}) = 3{,}92 \cdot 8 = 31{,}36\text{ J} \] Одговор: Гравитациона сила је извршила рад од \(31{,}36\text{ J}\).
Рад гравитационе силе је: \[ A = -\Delta E_p = mgh_1 - mgh_2 = mg(h_1 - h_2) \] \[ A = 0{,}4\text{ kg} \cdot 9{,}8\text{ m/s}^2 \cdot (12\text{ m} - 4\text{ m}) = 3{,}92 \cdot 8 = 31{,}36\text{ J} \] Одговор: Гравитациона сила је извршила рад од \(31{,}36\text{ J}\).
Тешки ниво: Тело масе \(m\) налази се на површини Земље полупречника \(R\). На коју висину \(h\) изнад површине Земље га треба подићи да би се његова гравитациона потенцијална енергија (узимајући нулти ниво у бесконачности) преполовила по апсолутној вредности?
На површини Земље потенцијална енергија је:
\[ E_{p1} = -\gamma \frac{M m}{R} \]
На висини \(h\), растојање је \(r = R + h\), па је потенцијална енергија:
\[ E_{p2} = -\gamma \frac{M m}{R + h} \]
Тражи се да апсолутна вредност буде дупло мања:
\[ |E_{p2}| = \frac{1}{2}|E_{p1}| \implies \frac{\gamma M m}{R + h} = \frac{1}{2} \frac{\gamma M m}{R} \]
\[ \frac{1}{R + h} = \frac{1}{2R} \implies R + h = 2R \implies h = R \]
Одговор: Тело треба подићи на висину једнаку полупречнику Земље (\(h = R\)).
