Најважније из лекције
Разлагање силе теже: Нормална компонента је \(F_n = mg\frac{l}{s}\), а паралелна компонента низ раван је \(F_p = mg\frac{h}{s}\).
Глатка стрма раван (са канапом): У равнотежи важи \(N = mg\frac{l}{s}\) и \(T = mg\frac{h}{s}\).
Раван са трењем: Сила статичког трења уравнотежава паралелну компоненту до вредности \(F_{tr,\text{max}} = \mu_s N\).
Коефицијенти трења: На граници проклизавања важи \(\mu_s = \frac{h}{l}\), док се мерењем при минималном нагибу где се клизање одржава добија динамички коефицијент \(\mu_d = \frac{h_{\text{min}}}{l}\).
Глатка стрма раван (са канапом): У равнотежи важи \(N = mg\frac{l}{s}\) и \(T = mg\frac{h}{s}\).
Раван са трењем: Сила статичког трења уравнотежава паралелну компоненту до вредности \(F_{tr,\text{max}} = \mu_s N\).
Коефицијенти трења: На граници проклизавања важи \(\mu_s = \frac{h}{l}\), док се мерењем при минималном нагибу где се клизање одржава добија динамички коефицијент \(\mu_d = \frac{h_{\text{min}}}{l}\).
Стрму раван карактеришу висина \(h\), дужина основице \(l\) и дужина косе странице \(s\).
Троугао који чине странице стрме равни (\(s, h, l\)) сличан је троуглу који формирају вектор силе Земљине теже и њене компоненте.
\[ F_n = mg \cdot \frac{l}{s} \quad \text{(нормална компонента)} \]
\[ F_p = mg \cdot \frac{h}{s} \quad \text{(компонента дуж правца стрме равни)} \]
где је \(m\) маса тела, \(g\) гравитационо убрзање, \(s\) дужина косе странице, \(h\) висина и \(l\) дужина основице стрме равни.
Ако је висина стрме равни \(h = 3\text{ m}\), основица \(l = 4\text{ m}\), а коса страница \(s = 5\text{ m}\), на тело масе \(m = 10\text{ kg}\) делује сила теже \(mg \approx 100\text{ N}\).
Нормална компонента је: \(F_n = 100\text{ N} \cdot \frac{4}{5} = 80\text{ N}\).
Компонента дуж стрме равни је: \(F_p = 100\text{ N} \cdot \frac{3}{5} = 60\text{ N}\).
Нормална компонента је: \(F_n = 100\text{ N} \cdot \frac{4}{5} = 80\text{ N}\).
Компонента дуж стрме равни је: \(F_p = 100\text{ N} \cdot \frac{3}{5} = 60\text{ N}\).
Да би тело везано канапом мировало на глаткој стрмој равни, векторски збир свих сила мора бити једнак нули: \(\vec{N} + \vec{T} + m\vec{g} = 0\).
Силе се међусобно уравнотежавају по одговарајућим правцима:
- Нормални правац: Нормална сила реакције подлоге уравнотежава нормалну компоненту силе теже: \[ N = mg \cdot \frac{l}{s} \]
- Правац стрме равни: Сила затезања канапа уравнотежава компоненту силе теже дуж стрме равни: \[ T = mg \cdot \frac{h}{s} \]
Тело масе \(2\text{ kg}\) везано је канапом на глаткој стрмој равни висине \(0{,}6\text{ m}\) и косе дужине \(1\text{ m}\). Колика је сила затезања канапа? (\(g = 10\text{ m/s}^2\))
\(T = mg \cdot \frac{h}{s} = 2\text{ kg} \cdot 10\text{ m/s}^2 \cdot \frac{0{,}6\text{ m}}{1\text{ m}} = 12\text{ N}\).
Одговор: Сила затезања канапа износи \(12\text{ N}\).
Одговор: Сила затезања канапа износи \(12\text{ N}\).
Када се тело слободно налази на стрмој равни која није идеално глатка, кретању низ раван супротставља се сила статичког трења (\(F_{tr}\)).
При малим нагибима тело мирује и важи \(F_{tr} = mg \cdot \frac{h}{s}\). Повећањем нагиба, сила статичког трења расте до своје максималне вредности:
\[ F_{tr,\text{max}} = \mu_s N = \mu_s \cdot mg \cdot \frac{l}{s} \]
При максималном нагибу при коме тело још увек мирује (на граници проклизавања):
\[ mg \cdot \frac{h}{s} = \mu_s \cdot mg \cdot \frac{l}{s} \implies \mu_s = \frac{h}{l} \]
где је \(\mu_s\) статички коефицијент трења.
Када тело проклиза, оно наставља да клизи и при мањим нагибима. Мерењем минималне висине \(h\) при којој тело још увек клизи, на исти начин се одређује динамички коефицијент трења: \(\mu_d = \frac{h}{l}\).
Задаци за вежбање
Лаки задатак: На глаткој стрмој равни дужине основице \(l = 8\text{ m}\) и дужине косе странице \(s = 10\text{ m}\) налази се тело масе \(5\text{ kg}\). Коликом силом тело притиска стрму раван (нормална реакција подлоге)? Узети \(g = 10\text{ m/s}^2\).
Нормална сила реакције подлоге једнака је нормалној компоненти силе теже:
\[ N = mg \cdot \frac{l}{s} \]
\[ N = 5\text{ kg} \cdot 10\text{ m/s}^2 \cdot \frac{8\text{ m}}{10\text{ m}} = 40\text{ N} \]
Одговор: Сила реакције подлоге износи \(40\text{ N}\).
Средњи задатак: Квадар постављен на стрму раван почиње да клизи тек када се висина стрме равни подигне на \(h = 1{,}5\text{ m}\), при чему је дужина основице \(l = 2\text{ m}\). Израчунајте статички коефицијент трења између квадра и стрме равни.
Статички коефицијент трења одређује се из односа граничне висине и основице:
\[ \mu_s = \frac{h}{l} \]
\[ \mu_s = \frac{1{,}5\text{ m}}{2\text{ m}} = 0{,}75 \]
Одговор: Статички коефицијент трења износи \(0{,}75\).
Тешки задатак: Тело масе \(4\text{ kg}\) налази се на стрмој равни димензија \(h = 3\text{ m}\), \(l = 4\text{ m}\) и \(s = 5\text{ m}\). Коефицијент статичког трења између тела и подлоге је \(\mu_s = 0{,}6\). Да ли ће тело самостално мировати на стрмој равни или ће проклизати? Узети \(g = 10\text{ m/s}^2\).
1. Израчунавамо компоненту силе теже која вуче тело низ раван:
\[ F_p = mg \cdot \frac{h}{s} = 4\text{ kg} \cdot 10\text{ m/s}^2 \cdot \frac{3\text{ m}}{5\text{ m}} = 24\text{ N} \]
2. Израчунавамо максималну силу статичког трења:
\[ N = mg \cdot \frac{l}{s} = 4\text{ kg} \cdot 10\text{ m/s}^2 \cdot \frac{4\text{ m}}{5\text{ m}} = 32\text{ N} \]
\[ F_{tr,\text{max}} = \mu_s \cdot N = 0{,}6 \cdot 32\text{ N} = 19{,}2\text{ N} \]
3. Поређење: Пошто је \(F_p = 24\text{ N} > F_{tr,\text{max}} = 19{,}2\text{ N}\) (односно \(\frac{h}{l} = 0{,}75 > \mu_s = 0{,}6\)), сила која вуче тело низ раван је већа од максималне силе статичког трења.
Одговор: Тело ће проклизати низ стрму раван.
Одговор: Тело ће проклизати низ стрму раван.
