Најважније из лекције
Основни закон динамике ротације повезује узрок ротације (момент силе \( \vec{M} \)), меру инертности (момент инерције \( I \)) и последицу (угаоно убрзање \( \vec{\alpha} \)):
\[ \vec{M} = I\vec{\alpha} \quad \Longleftrightarrow \quad \vec{\alpha} = \frac{\vec{M}}{I} \]
Формулација преко момента импулса: Момент силе једнак је брзини промене момента импулса:
\[ \vec{M} = \frac{\Delta\vec{L}}{\Delta t} \]
Вектори \( \vec{M} \), \( \vec{\alpha} \) и \( \Delta\vec{L} \) су колинеарни и истог су смера, дуж осе ротације.
Основни закон динамике ротације гласи: Производ момента инерције тела и угаоног убрзања које тело стиче при дејству спољашње силе једнак је моменту силе која делује на тело.
\[ I\vec{\alpha} = \vec{M} \quad \Longleftrightarrow \quad \vec{\alpha} = \frac{\vec{M}}{I} \]
\( I \) – момент инерције тела (\(\text{kg}\cdot\text{m}^2\))
\( \vec{\alpha} \) – угаоно убрзање (\(\text{rad/s}^2\))
\( \vec{M} \) – момент силе (\(\text{N}\cdot\text{m}\))
\( \vec{\alpha} \) – угаоно убрзање (\(\text{rad/s}^2\))
\( \vec{M} \) – момент силе (\(\text{N}\cdot\text{m}\))
Вектор угаоног убрзања \(\vec{\alpha}\) има исти правац и смер као и вектор момента силе \(\vec{M}\). Момент силе и момент инерције морају бити одређени у односу на исту осу ротације.
Сила чији правац пролази кроз осу ротације или тежиште тела има крак једнак нули, па је њен момент \( M = 0 \) и она не може изазвати промену ротационог кретања.
Ако на точак момента инерције \( I = 4\text{ kg}\cdot\text{m}^2 \) делује константан момент силе \( M = 12\text{ N}\cdot\text{m} \), угаоно убрзање точка биће:
\[ \alpha = \frac{M}{I} = \frac{12\text{ N}\cdot\text{m}}{4\text{ kg}\cdot\text{m}^2} = 3\text{ rad/s}^2 \]
Колики момент силе је потребан да би се телу момента инерције \( 0{,}5\text{ kg}\cdot\text{m}^2 \) саопштило угаоно убрзање од \( 6\text{ rad/s}^2 \)?
Применом основног закона динамике ротације:
\[ M = I \cdot \alpha = 0{,}5\text{ kg}\cdot\text{m}^2 \cdot 6\text{ rad/s}^2 = 3\text{ N}\cdot\text{m} \]
Промена момента импулса крутог тела у јединици времена једнака је резултујућем моменту силе који делује на тело.
\[ \frac{\Delta\vec{L}}{\Delta t} = \vec{M} \]
\( \Delta\vec{L} \) – промена момента импулса (\(\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}\))
\( \Delta t \) – временски интервал (\(\text{s}\))
\( \vec{M} \) – момент силе (\(\text{N}\cdot\text{m}\))
\( \Delta t \) – временски интервал (\(\text{s}\))
\( \vec{M} \) – момент силе (\(\text{N}\cdot\text{m}\))
За круто тело сталног момента инерције (\(I = \text{const.}\)) важи извођење:
\[ I\vec{\alpha} = I \frac{\Delta\vec{\omega}}{\Delta t} = \frac{\Delta(I\vec{\omega})}{\Delta t} = \frac{\Delta\vec{L}}{\Delta t} \]
Вектор промене момента импулса \(\Delta\vec{L}\) колинеаран је са вектором момента силе \(\vec{M}\) и има исти смер.
За време од \( 2\text{ s} \), момент силе који делује на замајац промени његов момент импулса са \( 20\text{ kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} \) на \( 50\text{ kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} \). Колики је интензитет момента силе?
\[ \Delta L = L_2 - L_1 = 50 - 20 = 30\text{ kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} \]
\[ M = \frac{\Delta L}{\Delta t} = \frac{30\text{ kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}}{2\text{ s}} = 15\text{ N}\cdot\text{m} \]
Све величине и закони транслаторног кретања имају своје директне аналоге у ротационом кретању.
| Транслаторно кретање | Ротационо кретање |
|---|---|
| Маса: \( m \) | Момент инерције: \( I \) |
| Брзина: \( \vec{v} \) | Угаона брзина: \( \vec{\omega} \) |
| Линеарно убрзање: \( \vec{a} \) | Угаоно убрзање: \( \vec{\alpha} \) |
| Сила: \( \vec{F} \) | Момент силе: \( \vec{M} \) |
| Импулс: \( \vec{p} = m\vec{v} \) | Момент импулса: \( \vec{L} = I\vec{\omega} \) |
| II Њутнов закон: \( \vec{F} = m\vec{a} \) \( \vec{F} = \frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t} \) |
Основни закон динамике ротације: \( \vec{M} = I\vec{\alpha} \) \( \vec{M} = \frac{\Delta\vec{L}}{\Delta t} \) |
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): На хомогени ваљак момента инерције \( I = 0{,}8\text{ kg}\cdot\text{m}^2 \) делује сталан момент силе \( M = 4\text{ N}\cdot\text{m} \). Израчунати угаоно убрзање ваљка.
Применом формуле \( \alpha = \frac{M}{I} \):
\[ \alpha = \frac{4\text{ N}\cdot\text{m}}{0{,}8\text{ kg}\cdot\text{m}^2} = 5\text{ rad/s}^2 \]
Одговор: Угаоно убрзање ваљка је \( 5\text{ rad/s}^2 \).
Задатак 2 (средњи): Диск момента инерције \( I = 2\text{ kg}\cdot\text{m}^2 \) ротира угаоном брзином \( \omega_1 = 10\text{ rad/s} \). Под дејством момента силе кочења, диск се заустави (\( \omega_2 = 0\text{ rad/s} \)) за време од \( \Delta t = 4\text{ s} \). Одредити промену момента импулса и момент силе кочења.
1. Почетни и крајњи момент импулса:
\[ L_1 = I\omega_1 = 2\text{ kg}\cdot\text{m}^2 \cdot 10\text{ rad/s} = 20\text{ kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} \]
\[ L_2 = I\omega_2 = 0\text{ kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} \]
\[ \Delta L = L_2 - L_1 = 0 - 20 = -20\text{ kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} \]
2. Момент силе кочења:
\[ M = \frac{\Delta L}{\Delta t} = \frac{-20\text{ kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}}{4\text{ s}} = -5\text{ N}\cdot\text{m} \]
Знак минус означава да момент силе делује у супротном смеру од смера ротације (момент кочења).
Одговор: Промена момента импулса је \( -20\text{ kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} \), а интензитет момента силе кочења је \( 5\text{ N}\cdot\text{m} \).
Одговор: Промена момента импулса је \( -20\text{ kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} \), а интензитет момента силе кочења је \( 5\text{ N}\cdot\text{m} \).
Задатак 3 (тежак): На тело које може да ротира око непокретне осе делује момент силе \( M = 18\text{ N}\cdot\text{m} \). Тело креће из стања мировања и за време \( t = 3\text{ s} \) достигне угаону брзину од \( \omega = 27\text{ rad/s} \). Колики је момент инерције овог тела?
1. Пошто је момент силе константан, угаоно убрзање је такође константно:
\[ \alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t} = \frac{\omega - 0}{t} = \frac{27\text{ rad/s}}{3\text{ s}} = 9\text{ rad/s}^2 \]
2. Из основног закона динамике ротације (\( M = I\alpha \)), изражавамо момент инерције:
\[ I = \frac{M}{\alpha} = \frac{18\text{ N}\cdot\text{m}}{9\text{ rad/s}^2} = 2\text{ kg}\cdot\text{m}^2 \]
Одговор: Момент инерције тела је \( 2\text{ kg}\cdot\text{m}^2 \).
