Најважније из лекције
Закон одржања импулса: У инерцијалним референтним системима, укупан импулс изолованог система тела је константан током времена (\(\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \dots = \text{const.}\)).
Условна изолованост: Важи и за системе код којих је резултантна спољашња сила једнака нули (\(\vec{F} = 0 \Rightarrow \Delta\vec{p} = 0\)), као и дуж појединачних оса дуж којих нема спољашњег деловања.
Практичне примене:
Условна изолованост: Важи и за системе код којих је резултантна спољашња сила једнака нули (\(\vec{F} = 0 \Rightarrow \Delta\vec{p} = 0\)), као и дуж појединачних оса дуж којих нема спољашњег деловања.
Практичне примене:
- Узмак оружја: \(m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = 0 \Rightarrow \vec{v}_1 = -\frac{m_2}{m_1}\vec{v}_2\) (пушка масе \(4\text{ kg}\) која испали метак од \(10\text{ g}\) брзином \(800\text{ m/s}\) трза се брзином од \(2\text{ m/s}\)).
- Реактивно кретање: Кретање одбацивањем масе супротно од смера кретања (принцип рада ракета и млазних авиона).
Импулс тела је векторска величина једнака производу масе тела и његове брзине: \(\vec{p} = m\vec{v}\).
Укупан импулс система једнак је векторском збиру импулса свих тела која чине тај систем.
\[ \vec{p} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 + \dots + \vec{p}_n \]
\(\vec{p}\) - укупан импулс система; \(\vec{p}_1, \vec{p}_2, \dots, \vec{p}_n\) - импулси појединачних тела
Физички систем код кога је резултанта (векторски збир) свих спољашњих сила једнака нули назива се условно изолован систем и понаша се исто као изолован систем.
Чамац који мирује на мирној води и рибар који стоји у њему чине систем чији је укупан импулс једнак нули:
\[ \vec{p} = \vec{p}_{\text{рибар}} + \vec{p}_{\text{чамац}} = 0 \]
Укупан импулс изолованог система, у инерцијалним системима референце, током времена остаје константан.
\[ \vec{p} = \text{const.} \quad \iff \quad \vec{p}_{\text{пре}} = \vec{p}_{\text{после}} \]
Закон одржања импулса важи само у инерцијалним референтним системима. У неинерцијалним системима делују инерцијалне силе, па се систем не може сматрати изолованим.
Веза са Другим Њутновим законом:
\[ \vec{F} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} \]
Уколико је резултујућа спољашња сила \(\vec{F} = 0\), промена импулса је \(\Delta \vec{p} = 0\), што значи да је \(\vec{p} = \text{const.}\)
Унутрашње силе између тела унутар система често нису познате, али оне не утичу на укупан импулс. Зато закон одржања импулса омогућава решавање проблема кретања без познавања унутрашњих сила.
Векторска једначина одржања импулса може се разложити на три скаларне једначине дуж координатних оса \(x, y, z\):
\[ p_{1x} + p_{2x} + \dots + p_{nx} = \text{const}_x \]
\[ p_{1y} + p_{2y} + \dots + p_{ny} = \text{const}_y \]
\[ p_{1z} + p_{2z} + \dots + p_{nz} = \text{const}_z \]
За компоненте чији је смер супротан смеру осе, вредност се узима са негативним предзнаком.
Закон одржања импулса може важити и у неизолованом систему, али само дуж оног правца дуж ког је пројекција резултанте свих спољашњих сила једнака нули.
Узмак (трзај оружја): Појава кретања пушке (или топа) уназад приликом испаљивања пројектила. Пре опаљења укупан импулс је нула, па збир импулса након испаљивања такође мора бити нула.
\[ m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = 0 \implies \vec{v}_1 = -\frac{m_2}{m_1} \vec{v}_2 \]
\(m_1, \vec{v}_1\) - маса и брзина оружја; \(m_2, \vec{v}_2\) - маса и брзина зрна
Реактивно кретање: Кретање тела које настаје услед одбацивања дела сопствене масе (нпр. сагорелих гасова код ракете) без потребе за ослањањем на спољашњу средину или подлогу.
Ракета избацује гасове великом брзином у једну страну, а сама добија импулс и креће се у супротну страну, омогућавајући кретање кроз вакуум свемира.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Дечак масе \(45\text{ kg}\) стоји у чамцу масе \(105\text{ kg}\) на мирном језеру. Пре него што дечак закорачи, систем мирује. Колики је укупан импулс овог система пре почетка кретања?
Пошто и дечак и чамац мирују (\(v_1 = 0\text{ m/s}\), \(v_2 = 0\text{ m/s}\)):
\[ p = m_1 v_1 + m_2 v_2 = 45\text{ kg} \cdot 0 + 105\text{ kg} \cdot 0 = 0\text{ kg}\cdot\text{m/s} \]
Одговор: Укупан импулс система је једнак нули (\(0\text{ kg}\cdot\text{m/s}\)).
Задатак 2 (средњи): Из ловачке пушке масе \(m_1 = 3{,}5\text{ kg}\) испаљен је метак масе \(m_2 = 14\text{ g} = 0{,}014\text{ kg}\) брзином \(v_2 = 500\text{ m/s}\). Израчунати брзину узмака пушке.
Пре испаљивања систем је мировао: \(p_{\text{пре}} = 0\).
По закону одржања импулса: \[ p_{\text{пре}} = p_{\text{после}} \implies 0 = m_1 v_1 + m_2 v_2 \] \[ v_1 = -\frac{m_2 v_2}{m_1} = -\frac{0{,}014\text{ kg} \cdot 500\text{ m/s}}{3{,}5\text{ kg}} = -\frac{7}{3{,}5} = -2\text{ m/s} \] Знак минус означава да је смер кретања пушке супротан смеру кретања метка.
Одговор: Интензитет брзине узмака пушке износи \(2\text{ m/s}\).
По закону одржања импулса: \[ p_{\text{пре}} = p_{\text{после}} \implies 0 = m_1 v_1 + m_2 v_2 \] \[ v_1 = -\frac{m_2 v_2}{m_1} = -\frac{0{,}014\text{ kg} \cdot 500\text{ m/s}}{3{,}5\text{ kg}} = -\frac{7}{3{,}5} = -2\text{ m/s} \] Знак минус означава да је смер кретања пушке супротан смеру кретања метка.
Одговор: Интензитет брзине узмака пушке износи \(2\text{ m/s}\).
Задатак 3 (тежак): Ракета заједно са горивом има почетну масу \(M = 600\text{ kg}\) и мирује у свемирском простору. Мотор ракете избаци гасове масе \(m_g = 60\text{ kg}\) брзином \(u = 900\text{ m/s}\). Колику ће брзину имати ракета након избацивања ове количине гасова?
Маса преосталог дела ракете је:
\[ m_r = M - m_g = 600\text{ kg} - 60\text{ kg} = 540\text{ kg} \]
Према закону одржања импулса (систем је пре сагоревања мировао):
\[ p_{\text{пре}} = p_{\text{после}} = 0 \]
\[ m_r v_r - m_g u = 0 \implies v_r = \frac{m_g u}{m_r} \]
\[ v_r = \frac{60\text{ kg} \cdot 900\text{ m/s}}{540\text{ kg}} = \frac{54000}{540} = 100\text{ m/s} \]
Одговор: Ракета ће се кретати брзином од \(100\text{ m/s}\).
