Најважније из лекције
Услови равнотеже: Све спољашње силе и сви моменти сила морају бити уравнотежени: \(\vec{F}_r = 0\) и \(\vec{M}_r = 0\).
Статичка vs. Динамичка равнотежа:
Статичка vs. Динамичка равнотежа:
- Статичка: тело мирује (нпр. стуб зграде, књига на столу).
- Динамичка: тело се креће без убрзања – праволинијски брзином \(v=\text{const}\) или ротира угаоном брзином \(\omega=\text{const}\) (нпр. падобранац при терминалној брзини).
- Стабилна: по померању, резултантна сила враћа тело у равнотежни положај (нпр. куглица у чинији).
- Лабилна: по померању, резултантна сила удаљава тело од равнотежног положаја (нпр. куглица на врху брда).
Статика је део механике (динамике) који проучава услове при којима на тело делују спољашње силе и моменти сила, али не доводе до покретања тела из стања мировања.
Статичка равнотежа је стање у коме круто тело мирује под дејством спољашњих сила и њихових момената, при чему су сва та дејства међусобно уравнотежена.
Да би тело било у стању статичке равнотеже (да мирује), морају бити испуњена два основна услова:
- Резултантна спољашња сила која делује на тело једнака је нули:
- Резултантни моменат свих спољашњих сила у односу на било коју тачку/осу једнак је нули:
Примена статике је од кључног значаја у грађевинарству, архитектури и машинству ради прорачуна стабилности објеката, мостова и дизалица како не би дошло до њиховог деформисања или рушења.
Књига масе \(1\text{ kg}\) лежи непомично на хоризонталном столу. Које силе делују на њу и зашто је она у статичкој равнотежи?
На књигу делују сила Земљине теже \(\vec{F}_g = m\vec{g}\) усмерена вертикално наниже и сила реакције стола \(\vec{N}\) усмерена вертикално навише. Пошто су ове две силе истог интензитета, истог правца, а супротног смера, њихова резултанта је \(\vec{F}_r = \vec{F}_g + \vec{N} = 0\). Моменти сила су такође нула, па се књига налази у стању статичке равнотеже и мирује.
Динамичка равнотежа је стање тела које се под дејством уравнотежених спољашњих сила и момената сила креће равномерно праволинијски (константном брзином \(v = \text{const}\)) или равномерно ротира око фиксиране осе (константном угаоном брзином \(\omega = \text{const}\)).
\[ \vec{F}_r = 0 \implies \vec{a} = 0 \quad (v = \text{const}) \]
\[ \vec{M}_r = 0 \implies \vec{\alpha} = 0 \quad (\omega = \text{const}) \]
Тело у динамичкој равнотежи нема убрзање (линијско нити угаоно), иако се налази у стању кретања.
Аутомобил који се креће по правом путу сталном брзином од \(90\text{ km/h}\) налази се у динамичкој равнотежи јер је вучна сила мотора тачно уравнотежена са силама трења и отпора ваздуха.
Да ли се ротор електромотора који се окреће константним бројем обртаја у минути налази у равнотежи?
Да, налази се у стању динамичке равнотеже, јер ротира константном угаоном брзином, што значи да је укупни резултантни моменат спољашњих сила (погонски моменат и моменат сила отпора) једнак нули.
Тело се налази у стању стабилне равнотеже уколико се после малог извођења из равнотежног положаја самостално враћа у тај положај.
1. У равнотежном положају (на дну удубљења), сила теже \(m\vec{g}\) и реакција подлоге \(\vec{N}\) су истог правца и супротног смера, па је \(\vec{F}_r = 0\).
2. Када се тело благо помери из равнотежног положаја, правац реакције подлоге \(\vec{N}\) се мења (остаје нормалан на подлогу) и више се не поклапа са правцем силе теже.
3. Векторски збир ове две силе даје резултантну силу \(\vec{F}_r \neq 0\) која је усмерена ка равнотежном положају и враћа тело назад.
2. Када се тело благо помери из равнотежног положаја, правац реакције подлоге \(\vec{N}\) се мења (остаје нормалан на подлогу) и више се не поклапа са правцем силе теже.
3. Векторски збир ове две силе даје резултантну силу \(\vec{F}_r \neq 0\) која је усмерена ка равнотежном положају и враћа тело назад.
Куглица стављена на дно полулоптасте чиније. Ако је мало гурнемо у страну, она ће осциловати и вратити се на дно чиније.
Тело се налази у стању лабилне равнотеже уколико се после малог извођења из равнотежног положаја све више удаљава од њега.
1. На врху испупчења, сила теже и реакција подлоге су у истом правцу и супротног смера, тако да је \(\vec{F}_r = 0\) (тело може тренутно да мирује).
2. Када се тело незнатно помери у страну, сила реакције подлоге мења правац (остаје нормална на испупчену површину).
3. Резултантна сила \(\vec{F}_r = m\vec{g} + \vec{N}\) више није једнака нули и усмерена је од равнотежног положаја (низ испупчење), чиме подстиче даље удаљавање и пад тела.
2. Када се тело незнатно помери у страну, сила реакције подлоге мења правац (остаје нормална на испупчену површину).
3. Резултантна сила \(\vec{F}_r = m\vec{g} + \vec{N}\) више није једнака нули и усмерена је од равнотежног положаја (низ испупчење), чиме подстиче даље удаљавање и пад тела.
Куглица балансирана на врху сферне куполе или оловка постављена усправно на свој заоштрени врх. И најмањи поремећај узрокује пад.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Која је суштинска разлика између статичке и динамичке равнотеже тела?
У оба стања спољашње силе и моменти сила су међусобно уравнотежени (\(\vec{F}_r = 0\) и \(\vec{M}_r = 0\)). Међутим, код статичке равнотеже тело мирује (\(v = 0, \omega = 0\)), док се код динамичке равнотеже тело креће равномерно праволинијски (\(v = \text{const} \neq 0\)) или равномерно ротира (\(\omega = \text{const} \neq 0\)) без убрзања.
Задатак 2 (средњи): Гимнастичар стоји на траци и балансира. Ако га блага сила изведе из равнотеже, а он без сопствене корекције падне са траке, о којој врсти равнотеже је реч? Објасните зашто.
Реч је о лабилној равнотежи. Када се тело изведе из равнотежног положаја за мали помак, резултантна сила и моменат сила не враћају тело назад, већ делују у смеру даљег удаљавања тела од почетног положаја, што доводи до пада.
Задатак 3 (тежак): Куглица се налази на дну сферне чиније. Објасните на основу слагања вектора зашто се куглица након малог отклањања у страну враћа ка дну, односно зашто је ова равнотежа стабилна.
Када је куглица на дну, сила теже \(m\vec{g}\) делује вертикално наниже, а нормална реакција подлоге \(\vec{N}\) вертикално навише, па је њихов збир нула. Када се куглица помери уз закривљени зид чиније за угао \(\theta\), сила реакције подлоге \(\vec{N}\) остаје нормална на површину чиније, што значи да је нагнута према вертикали. Векторским сабирањем силе теже \(m\vec{g}\) и силе \(\vec{N}\) добија се резултантна сила \(\vec{F}_r = m\vec{g} + \vec{N}\) која има тангенцијалну компоненту усмерену ка дну чиније (најнижој тачки). Ова повратна сила убрзава куглицу назад ка равнотежном положају, што по дефиницији представља стабилну равнотежу.
