Најважније из лекције
Момент инерције (\(I\)): Мера инертности тела при ротацији; мерна јединица је \(\text{kg}\cdot\text{m}^2\).
Зависност: За разлику од транслације где је мера инертности само маса \(m\), при ротацији инертност зависи и од масе и од распореда масе у односу на осу ротације (\(I = m r^2\) за тачкасто тело).
Круто тело: Укупан момент инерције представља збир момената свих масених делића: \(I = \sum m_i r_i^2\).
Тела правилних облика (оса кроз центар масе): Штап кроз средину (\(\frac{1}{12}ML^2\)), пун диск/цилиндар (\(\frac{1}{2}MR^2\)), пуна лопта (\(\frac{2}{5}MR^2\)), сферна љуска (\(\frac{2}{3}MR^2\)), танак обруч (\(MR^2\)).
Зависност: За разлику од транслације где је мера инертности само маса \(m\), при ротацији инертност зависи и од масе и од распореда масе у односу на осу ротације (\(I = m r^2\) за тачкасто тело).
Круто тело: Укупан момент инерције представља збир момената свих масених делића: \(I = \sum m_i r_i^2\).
Тела правилних облика (оса кроз центар масе): Штап кроз средину (\(\frac{1}{12}ML^2\)), пун диск/цилиндар (\(\frac{1}{2}MR^2\)), пуна лопта (\(\frac{2}{5}MR^2\)), сферна љуска (\(\frac{2}{3}MR^2\)), танак обруч (\(MR^2\)).
Момент инерције је физичка величина која представља меру инертности тела при ротационом кретању око одређене осе.
\(I\)
\(\text{kg}\cdot\text{m}^2\) (килограм-метар на квадрат)
Док при праволинијском (транслационом) кретању инертност тела зависи искључиво од његове масе \(m\), при ротационом кретању инертност зависи од масе, али и од распореда масе у односу на осу ротације (од геометријског облика тела и удаљености масених елемената од осе).
Ако упоредимо пун диск и точак (код ког је маса већином на ободу) једнаких маса и полупречника, теже ће бити завртети точак јер се његова маса налази на већој удаљености од осе ротације, па има већи момент инерције.
\[ I = m r^2 \]
\(m\) – маса материјалне тачке (куглице), \(r\) – нормално растојање од осе ротације
Круто тело произвољног облика посматра се као скуп великог броја малих елемената масе \(m_1, m_2, \dots, m_n\) који се налазе на растојањима \(r_1, r_2, \dots, r_n\) од осе ротације. Укупан момент инерције тела једнак је збиру момената инерције свих елемената.
\[ I = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2 = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + \dots + m_n r_n^2 \]
Материјална тачка масе \(m = 0{,}5\text{ kg}\) везана је за осу крутом нити занемарљиве масе дужине \(r = 2\text{ m}\). Израчунати њен момент инерције.
Примењујемо формулу за момент инерције тачкастог тела:
\[ I = m r^2 = 0{,}5\text{ kg} \cdot (2\text{ m})^2 = 0{,}5 \cdot 4 = 2\text{ kg}\cdot\text{m}^2 \]
За хомогена тела правилних геометријских облика, када оса ротације пролази кроз центар масе (\(\text{CM}\) – тежиште), момент инерције се рачуна преко следећих образаца:
| Геометријско тело | Оса ротације (кроз центар масе) | Момент инерције (\(I_{\text{CM}}\)) |
|---|---|---|
| Прстенасти диск / цилиндрична љуска (обруч) | Уздужна оса симетрије | \(I_{\text{CM}} = M R^2\) |
| Шупаљ цилиндар | Уздужна оса симетрије (унутрашњи \(R_1\), спољашњи \(R_2\)) | \(I_{\text{CM}} = \frac{1}{2} M (R_1^2 + R_2^2)\) |
| Пун цилиндар / танак диск | Уздужна оса симетрије / оса нормална на раван диска | \(I_{\text{CM}} = \frac{1}{2} M R^2\) |
| Правоугаона танка плоча | Оса нормална на плочу (странице \(a\) и \(b\)) | \(I_{\text{CM}} = \frac{1}{12} M (a^2 + b^2)\) |
| Танак витак штап | Оса нормална на штап која пролази кроз средину (дужина \(L\)) | \(I_{\text{CM}} = \frac{1}{12} M L^2\) |
| Пуна хомогена лопта | Оса која пролази кроз центар лопте | \(I_{\text{CM}} = \frac{2}{5} M R^2\) |
| Танка сферна љуска | Оса која пролази кроз центар сфере | \(I_{\text{CM}} = \frac{2}{3} M R^2\) |
Задаци за вежбање
Лаки ниво: Израчунати момент инерције пуног хомогеног диска масе \(M = 4\text{ kg}\) и полупречника \(R = 0{,}5\text{ m}\) око осе која пролази кроз центар масе нормално на диск.
За пун диск користи се формула:
\[ I_{\text{CM}} = \frac{1}{2} M R^2 \]
Заменом бројних вредности добија се:
\[ I_{\text{CM}} = \frac{1}{2} \cdot 4\text{ kg} \cdot (0{,}5\text{ m})^2 = 2 \cdot 0{,}25 = 0{,}5\text{ kg}\cdot\text{m}^2 \]
Средњи ниво: Пуна лопта и танка сферна љуска имају једнаке масе \(M = 3\text{ kg}\) и једнаке полупречнике \(R = 0{,}2\text{ m}\). Израчунати њихове моменте инерције и одредити које тело има већу инертност при ротацији око осе која пролази кроз њихов центар.
1. Момент инерције пуне лопте:
\[ I_{\text{лопта}} = \frac{2}{5} M R^2 = \frac{2}{5} \cdot 3\text{ kg} \cdot (0{,}2\text{ m})^2 = \frac{6}{5} \cdot 0{,}04 = 0{,}048\text{ kg}\cdot\text{m}^2 \]
2. Момент инерције сферне љуске:
\[ I_{\text{љуска}} = \frac{2}{3} M R^2 = \frac{2}{3} \cdot 3\text{ kg} \cdot (0{,}2\text{ m})^2 = 2 \cdot 0{,}04 = 0{,}08\text{ kg}\cdot\text{m}^2 \]
Одговор: Сферна љуска има већи момент инерције (\(0{,}08\text{ kg}\cdot\text{m}^2 > 0{,}048\text{ kg}\cdot\text{m}^2\)) јер је сва њена маса распоређена на максималној удаљености од центра, па самим тим има већу инертност при ротацији.
Средњи ниво: Хомоген танак штап дужине \(L = 1{,}2\text{ m}\) и масе \(M = 0{,}6\text{ kg}\) ротира око осе нормалне на штап која пролази кроз његов центар масе. Колики је момент инерције тог штапа?
Формула за танак штап са осом кроз средину:
\[ I_{\text{CM}} = \frac{1}{12} M L^2 \]
Заменом вредности:
\[ I_{\text{CM}} = \frac{1}{12} \cdot 0{,}6\text{ kg} \cdot (1{,}2\text{ m})^2 = 0{,}05 \cdot 1{,}44 = 0{,}072\text{ kg}\cdot\text{m}^2 \]
Тешки ниво: Шупаљ ваљак унутрашњег полупречника \(R_1 = 0{,}2\text{ m}\), спољашњег полупречника \(R_2 = 0{,}4\text{ m}\) и масе \(M = 10\text{ kg}\) ротира око своје уздужне осе. Израчунати момент инерције овог шупљег ваљка.
Формула за шупаљ цилиндар (ваљак):
\[ I_{\text{CM}} = \frac{1}{2} M (R_1^2 + R_2^2) \]
Квадрати полупречника су:
\[ R_1^2 = (0{,}2\text{ m})^2 = 0{,}04\text{ m}^2 \]
\[ R_2^2 = (0{,}4\text{ m})^2 = 0{,}16\text{ m}^2 \]
Заменом у формулу добијамо:
\[ I_{\text{CM}} = \frac{1}{2} \cdot 10\text{ kg} \cdot (0{,}04\text{ m}^2 + 0{,}16\text{ m}^2) = 5 \cdot 0{,}20 = 1\text{ kg}\cdot\text{m}^2 \]
