Најважније из лекције
Материјална тачка: Тело чије димензије занемарујемо када су мале у односу на путању (нпр. Земља око Сунца).
Вектор положаја (\(\vec{r}\)): Вектор од координатног почетка до тачке у простору (\(r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\)).
Померај (\(\Delta \vec{r}\)): Векторска величина, најкраће растојање од почетног до крајњег положаја (\(\Delta \vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1\)).
Путања и пут (\(s\)): Путања је геометријска линија кретања, а пређени пут је дужина пређеног дела путање (скалар).
Однос: Увек важи \(|\Delta \vec{r}| \le s\). Интензитет помераја једнак је путу само код праволинијског кретања без промене смера.
Вектор положаја (\(\vec{r}\)): Вектор од координатног почетка до тачке у простору (\(r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\)).
Померај (\(\Delta \vec{r}\)): Векторска величина, најкраће растојање од почетног до крајњег положаја (\(\Delta \vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1\)).
Путања и пут (\(s\)): Путања је геометријска линија кретања, а пређени пут је дужина пређеног дела путање (скалар).
Однос: Увек важи \(|\Delta \vec{r}| \le s\). Интензитет помераја једнак је путу само код праволинијског кретања без промене смера.
Материјална тачка је физичко тело чији се облик и димензије могу занемарити у односу на димензије простора и путање по којој се тело креће.
Ова апроксимација омогућава да се положај и кретање целог тела представе као положај и кретање само једне тачке.
- Авион високо на небу: Његове димензије су занемарљиво мале у односу на дужину лета, па се посматра као материјална тачка.
- Кретање Земље око Сунца: Пречник Земље је много мањи од полупречника њене орбите, па се Земља посматра као материјална тачка. Међутим, при проучавању ротације Земље око сопствене осе, њен облик и димензије се не могу занемарити.
Да ли се воз дужине \(200\text{ m}\) може сматрати материјалном тачком: а) док прелази преко моста дужине \(250\text{ m}\); б) док путује на релацији Београд–Ниш (\(\approx 240\text{ km}\))?
Одговор:
а) Не, јер је дужина воза упоредива са дужином моста.
б) Да, јер је дужина воза занемарљиво мала у односу на растојање између градова (\(240\text{ km}\)).
а) Не, јер је дужина воза упоредива са дужином моста.
б) Да, јер је дужина воза занемарљиво мала у односу на растојање између градова (\(240\text{ km}\)).
\(\vec{r}\)
Вектор положаја (радијус вектор) тачке \(A\) је вектор који спаја координатни почетак референтног система са тачком \(A\). Почетна тачка му је у координатном почетку (\(O\)), а крајња у тачки \(A\).
\[ r = |\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]
Интензитет вектора положаја одређен координатама \(x, y, z\) у просторном правоуглом координатном систему.
Вектор положаја зависи од избора референтног система. У различитим референтним системима исто тело има различите векторе положаја.
Тачка се у равни налази на координатама \((3\text{ m}, 4\text{ m})\). Колики је интензитет њеног радијус вектора?
\[ r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\text{ m} \]
Одговор: Интензитет вектора положаја износи \(5\text{ m}\).
\(\Delta \vec{r}\)
Метар (\(\text{m}\))
Померај је векторска величина која спаја почетни положај материјалне тачке са њеним крајњим положајем у посматраном временском интервалу. Представља разлику крајњег и почетног вектора положаја.
\[ \Delta \vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 \]
где је \(\vec{r}_1\) почетни, а \(\vec{r}_2\) крајњи вектор положаја.
Интензитет помераја представља најкраће растојање између почетног и крајњег положаја тела, а правац и смер показују смер тог померања.
Ако се тело креће и након одређеног времена се врати у тачку из које је пошло, колики је његов померај?
Пошто се крајњи положај поклапа са почетним (\(\vec{r}_2 = \vec{r}_1\)):
\[ \Delta \vec{r} = \vec{r}_1 - \vec{r}_1 = \vec{0} \]
Одговор: Вектор помераја је једнак нули (\(\Delta \vec{r} = \vec{0}\)), а његов интензитет је \(0\text{ m}\).
Путања је замишљена линија која представља скуп свих узастопних положаја кроз које тело пролази током кретања (геометријски појам).
Пређени пут (\(s\)) је скаларна физичка величина једнака дужини дела путање коју материјална тачка пређе за одређено време.
Метар (\(\text{m}\))
Интензитет помераја је увек мањи или једнак пређеном путу:
\[ |\Delta \vec{r}| \le s \]
Једнакост \(|\Delta \vec{r}| = s\) важи искључиво код праволинијског кретања у једном смеру.
Тело се креће по полукружници полупречника \(R = 2\text{ m}\) од тачке \(A\) до тачке \(B\). Одредити пређени пут и интензитет помераја.
- Пређени пут (\(s\)): једнак је половини обима кружнице: \[ s = \frac{2\pi R}{2} = \pi R \approx 3{,}14 \cdot 2\text{ m} = 6{,}28\text{ m} \]
- Интензитет помераја (\(|\Delta \vec{r}|\)): једнак је дужини пречника (најкраћем растојању од \(A\) до \(B\)): \[ |\Delta \vec{r}| = 2R = 2 \cdot 2\text{ m} = 4\text{ m} \]
Задаци за вежбање
Лаки задатак: Пешак пређе \(40\text{ m}\) право ка истоку, а затим се окрене и пређе \(30\text{ m}\) право ка западу.
а) Колики је укупан пређени пут?
б) Колики је интензитет помераја пешака?
а) Колики је укупан пређени пут?
б) Колики је интензитет помераја пешака?
а) Пређени пут је збир свих пређених дужина:
\[ s = s_1 + s_2 = 40\text{ m} + 30\text{ m} = 70\text{ m} \]
б) Померај је растојање од почетне до крајње тачке:
\[ |\Delta \vec{r}| = 40\text{ m} - 30\text{ m} = 10\text{ m} \] (усмерен ка истоку).
Одговор: Пут је \(70\text{ m}\), а интензитет помераја је \(10\text{ m}\).
Одговор: Пут је \(70\text{ m}\), а интензитет помераја је \(10\text{ m}\).
Средњи задатак: Материјална тачка креће се у равни тако да јој је почетни положај одређен вектором \(\vec{r}_1\) са координатама \((1\text{ m}, 2\text{ m})\), а крајњи \(\vec{r}_2\) са координатама \((4\text{ m}, 6\text{ m})\). Израчунати интензитет вектора помераја \(\Delta \vec{r}\).
Координате помераја су разлике одговарајућих координата:
\[ \Delta x = x_2 - x_1 = 4\text{ m} - 1\text{ m} = 3\text{ m} \]
\[ \Delta y = y_2 - y_1 = 6\text{ m} - 2\text{ m} = 4\text{ m} \]
Интензитет вектора помераја износи:
\[ |\Delta \vec{r}| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\text{ m} \]
Одговор: Интензитет помераја је \(5\text{ m}\).
Тешки задатак: Атлетичар трчи по кружној стази полупречника \(R = 50\text{ m}\). Након што претрчи један цео круг и још пола круга:
а) Колики је пређени пут?
б) Колики је интензитет помераја?
а) Колики је пређени пут?
б) Колики је интензитет помераја?
Атлетичар је прешао \(1{,}5\) обима круга (\(O = 2\pi R\)):
а) Пређени пут: \[ s = 1{,}5 \cdot (2\pi R) = 3\pi R = 3 \cdot 3{,}14 \cdot 50\text{ m} = 471\text{ m} \] б) Након \(1{,}5\) круга, атлетичар се налази тачно на дијаметрално супротној страни кружне стазе у односу на старт: \[ |\Delta \vec{r}| = 2R = 2 \cdot 50\text{ m} = 100\text{ m} \] Одговор: Пут износи \(471\text{ m}\), а интензитет помераја \(100\text{ m}\).
а) Пређени пут: \[ s = 1{,}5 \cdot (2\pi R) = 3\pi R = 3 \cdot 3{,}14 \cdot 50\text{ m} = 471\text{ m} \] б) Након \(1{,}5\) круга, атлетичар се налази тачно на дијаметрално супротној страни кружне стазе у односу на старт: \[ |\Delta \vec{r}| = 2R = 2 \cdot 50\text{ m} = 100\text{ m} \] Одговор: Пут износи \(471\text{ m}\), а интензитет помераја \(100\text{ m}\).
