Најважније из лекције
Рад момента силе: \( A = M \cdot \theta \) (јединица \(\text{J}\)). Рад је позитиван ако момент силе делује у смеру ротације, а негативан ако се противи кретању.
Кинетичка енергија ротације: \( E_k = \frac{I \omega^2}{2} \) (увек ненегативна, јединица \(\text{J}\)).
Котрљање (комбиновано кретање): \( E_k = \frac{mv^2}{2} + \frac{I\omega^2}{2} \).
Снага ротације: \( P = M \cdot \omega \) (брзина вршења рада, јединица \(\text{W}\)).
Кинетичка енергија ротације: \( E_k = \frac{I \omega^2}{2} \) (увек ненегативна, јединица \(\text{J}\)).
Котрљање (комбиновано кретање): \( E_k = \frac{mv^2}{2} + \frac{I\omega^2}{2} \).
Снага ротације: \( P = M \cdot \omega \) (брзина вршења рада, јединица \(\text{W}\)).
Све физичке величине и закони код ротационог кретања имају директне аналогије са одговарајућим величинама код праволинијског (транслаторног) кретања.
| Величина / Закон | Транслаторно кретање | Ротационо кретање |
|---|---|---|
| Померај | Пређени пут \( s \) | Угаони померај \( \theta \) |
| Брзина | Линијска брзина \( v \) | Угаона брзина \( \omega \) |
| Инертност | Маса \( m \) | Момент инерције \( I \) |
| Узрок промене кретања | Сила \( F \) | Момент силе \( M \) |
| Рад | \( A = F \cdot s \) | \( A = M \cdot \theta \) |
| Кинетичка енергија | \( E_k = \frac{m v^2}{2} \) | \( E_k = \frac{I \omega^2}{2} \) |
| Снага | \( P = F \cdot v \) | \( P = M \cdot \omega \) |
Рад момента силе једнак је производу момента силе и угла за који се круто тело обрне око осе док на њега делује тај момент силе.
\[ A = M \cdot \theta \]
\( A \) – рад момента силе, \( M \) – момент силе, \( \theta \) – описани угао (угаони померај)
Јединица за рад момента силе у СИ систему јесте џул (\(\text{J}\)).
Знак рада:
- Ако се смер момента силе поклапа са смером ротације (угаоног помераја), рад је позитиван (\( A > 0 \)).
- Ако делује супротно смеру ротације (нпр. момент кочења), рад је негативан (\( A < 0 \)).
Ако на точак делује константан момент силе \( M = 15\text{ N}\cdot\text{m} \) и обрне га за угао \( \theta = 4\text{ rad} \), извршени рад износи:
\[ A = 15\text{ N}\cdot\text{m} \cdot 4\text{ rad} = 60\text{ J} \]
Кинетичка енергија ротирајућег крутог тела једнака је половини производа момента инерције тела и квадрата његове угаоне брзине.
\[ E_k = \frac{I \omega^2}{2} \]
\( E_k \) – кинетичка енергија ротације, \( I \) – момент инерције тела, \( \omega \) – угаона брзина
Јединица за кинетичку енергију ротације јесте џул (\(\text{J}\)).
Кинетичка енергија ротације не зависи од смера у коме тело ротира и увек је ненегативна величина (\( E_k \ge 0 \)).
Сложено кретање (котрљање): Када се тело истовремено креће транслаторно и ротира (нпр. точак аутомобила, ваљак или хулахоп који се котрља), његова укупна кинетичка енергија једнака је збиру транслаторне и ротационе кинетичке енергије.
\[ E_k = \frac{m v^2}{2} + \frac{I \omega^2}{2} \]
\( m \) – маса тела, \( v \) – брзина центра масе, \( I \) – момент инерције, \( \omega \) – угаона брзина
Снага представља брзину вршења рада (односно брзину промене енергије). Код ротационог кретања, тренутна снага једнака је производу момента силе и тренутне угаоне брзине тела.
\[ P = M \cdot \omega \]
\( P \) – тренутна снага, \( M \) – момент силе, \( \omega \) – угаона брзина
Јединица за снагу јесте ват (\(\text{W}\)) (\( 1\text{ W} = 1\text{ J/s} = 1\text{ N}\cdot\text{m/s} \)).
Електромотор развија обртни момент од \( 50\text{ N}\cdot\text{m} \) при угаоној брзини од \( 20\text{ rad/s} \). Снага коју мотор предаје износи:
\[ P = M \cdot \omega = 50\text{ N}\cdot\text{m} \cdot 20\text{ rad/s} = 1000\text{ W} = 1\text{ kW} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лак ниво): Момент силе интензитета \( 25\text{ N}\cdot\text{m} \) делује на замајац и заротира га за угао \( \theta = 8\text{ rad} \). Израчунати рад који је том приликом извршио тај момент силе.
Полазимо од формуле за рад момента силе:
\[ A = M \cdot \theta \]
Уврштавањем датих вредности добијамо:
\[ A = 25\text{ N}\cdot\text{m} \cdot 8\text{ rad} = 200\text{ J} \]
Одговор: Извршени рад износи \( 200\text{ J} \).
Задатак 2 (Средњи ниво): Замајац момента инерције \( I = 6\text{ kg}\cdot\text{m}^2 \) ротира угаоном брзином \( \omega = 10\text{ rad/s} \).
а) Колика је кинетичка енергија ротације тог замајца?
б) Колику снагу троши кочница ако заустави замајац делујући моментом силе кочења од \( 30\text{ N}\cdot\text{m} \) у тренутку када се он обрће почетном брзином?
а) Колика је кинетичка енергија ротације тог замајца?
б) Колику снагу троши кочница ако заустави замајац делујући моментом силе кочења од \( 30\text{ N}\cdot\text{m} \) у тренутку када се он обрће почетном брзином?
а) Кинетичка енергија ротације рачуна се по формули:
\[ E_k = \frac{I \omega^2}{2} = \frac{6\text{ kg}\cdot\text{m}^2 \cdot (10\text{ rad/s})^2}{2} = \frac{6 \cdot 100}{2} = 300\text{ J} \]
б) Тренутна снага кочења је:
\[ P = M \cdot \omega = 30\text{ N}\cdot\text{m} \cdot 10\text{ rad/s} = 300\text{ W} \]
Одговор: Кинетичка енергија износи \( 300\text{ J} \), а почетна снага кочења је \( 300\text{ W} \).
Задатак 3 (Тежи ниво): Точак масе \( m = 4\text{ kg} \) и момента инерције \( I = 0{,}16\text{ kg}\cdot\text{m}^2 \) котрља се без клизања по хоризонталном путу. Брзина центра масе точка је \( v = 5\text{ m/s} \), а угаона брзина ротације \( \omega = 25\text{ rad/s} \). Одредити укупну кинетичку енергију точка.
Укупна кинетичка енергија тела које се котрља састоји се од транслаторног и ротационог дела:
\[ E_k = E_{k,\text{tran}} + E_{k,\text{rot}} = \frac{m v^2}{2} + \frac{I \omega^2}{2} \]
1. Кинетичка енергија транслације:
\[ E_{k,\text{tran}} = \frac{4\text{ kg} \cdot (5\text{ m/s})^2}{2} = \frac{4 \cdot 25}{2} = 50\text{ J} \]
2. Кинетичка енергија ротације:
\[ E_{k,\text{rot}} = \frac{0{,}16\text{ kg}\cdot\text{m}^2 \cdot (25\text{ rad/s})^2}{2} = \frac{0{,}16 \cdot 625}{2} = \frac{100}{2} = 50\text{ J} \]
3. Укупна кинетичка енергија:
\[ E_k = 50\text{ J} + 50\text{ J} = 100\text{ J} \]
Одговор: Укупна кинетичка енергија точка износи \( 100\text{ J} \).
