Најважније из лекције
Пређени пут и описани угао: \(s = r\theta\) (пут зависи од удаљености \(r\)).
Линијска брзина: \(v = r\omega\) (пропорционална удаљености од осе ротације при истој \(\omega\)).
Тангенцијално убрзање: \(a_t = r\alpha\) (промена интензитета брзине; једнако је нули када је \(\omega = \text{const}\)).
Нормално убрзање: \(a_n = \frac{v^2}{r} = r\omega^2\) (промена правца брзине, усмерено ка оси ротације).
Линијска брзина: \(v = r\omega\) (пропорционална удаљености од осе ротације при истој \(\omega\)).
Тангенцијално убрзање: \(a_t = r\alpha\) (промена интензитета брзине; једнако је нули када је \(\omega = \text{const}\)).
Нормално убрзање: \(a_n = \frac{v^2}{r} = r\omega^2\) (промена правца брзине, усмерено ка оси ротације).
Све тачке ротирајућег крутог тела у истом временском интервалу описују исти угао \(\theta\), али прелазе различите дужине лука (пута) \(s\) у зависности од њихове удаљености од осе ротације.
\[ s = r\theta \]
\(s\) – пређени пут (дужина кружног лука), \(r\) – растојање тачке од осе ротације, \(\theta\) – описани угао (у радијанима)
Пут који пређе произвољна тачка ротирајућег крутог тела једнак је производу описаног угла и растојања те тачке од осе ротације.
Све тачке крутог тела имају идентичну угаону брзину \(\omega\), док линијска брзина \(v\) расте сразмерно са удаљеношћу од осе ротације.
\[ v = r\omega \]
\(v\) – линијска (транслациона) брзина, \(r\) – растојање тачке од осе ротације, \(\omega\) – угаона брзина
Тачке које се налазе на већој удаљености од осе ротације крећу се већим линијским брзинама, док тачке на самој оси ротације (\(r = 0\)) имају линијску брзину једнаку нули.
Ако грамофонска плоча ротира угаоном брзином \(\omega = 4\text{ rad/s}\), тачка на удаљености \(r_1 = 0{,}05\text{ m}\) има линијску брзину \(v_1 = 0{,}05\text{ m} \cdot 4\text{ rad/s} = 0{,}2\text{ m/s}\), а тачка на ободу (\(r_2 = 0{,}15\text{ m}\)) има брзину \(v_2 = 0{,}15\text{ m} \cdot 4\text{ rad/s} = 0{,}6\text{ m/s}\).
Тангенцијално убрзање \(a_t\) описује промену интензитета линијске брзине тачке током времена. Настаје услед постојања угаоног убрзања тела \(\alpha\).
\[ a_t = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{r\Delta \omega}{\Delta t} = r\alpha \]
\(a_t\) – тангенцијално убрзање, \(r\) – растојање од осе ротације, \(\alpha\) – угаоно убрзање
Тангенцијално убрзање произвољне тачке ротирајућег крутог тела једнако је производу угаоног убрзања и растојања те тачке од осе ротације.
Уколико тело ротира константном угаоном брзином (\(\omega = \text{const} \Rightarrow \alpha = 0\)), тангенцијално убрзање свих тачака једнако је нули (\(a_t = 0\)).
Нормално (центрипетално) убрзање \(a_n\) одређује промену правца линијске брзине и увек је усмерено ка оси ротације.
\[ a_n = \frac{v^2}{r} = \frac{(r\omega)^2}{r} = r\omega^2 \]
\(a_n\) – нормално (центрипетално) убрзање, \(v\) – линијска брзина, \(\omega\) – угаона брзина, \(r\) – полупречник путање
Ако постоји угаоно убрзање (\(\alpha \neq 0\)), угаона брзина се мења у времену (\(\omega \neq \text{const}\)), па се самим тим мења и вредност нормалног убрзања током времена (\(a_n \neq \text{const}\)).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Тачка на ободу точка пречника \(d = 0{,}8\text{ m}\) ротира константном угаоном брзином \(\omega = 5\text{ rad/s}\). Колика је њена линијска брзина?
Растојање од осе ротације једнако је полупречнику:
\[ r = \frac{d}{2} = \frac{0{,}8\text{ m}}{2} = 0{,}4\text{ m} \]
Линијска брзина се рачуна по формули:
\[ v = r\omega = 0{,}4\text{ m} \cdot 5\text{ rad/s} = 2\text{ m/s} \]
Задатак 2 (средњи): Кружно тело почиње да се окреће убрзањем \(\alpha = 4\text{ rad/s}^2\). За тачку удаљену \(r = 0{,}25\text{ m}\) од осе ротације израчунати:
а) Тангенцијално убрзање;
б) Нормално убрзање у тренутку када угаона брзина достигне \(\omega = 6\text{ rad/s}\).
а) Тангенцијално убрзање;
б) Нормално убрзање у тренутку када угаона брзина достигне \(\omega = 6\text{ rad/s}\).
а) Тангенцијално убрзање:
\[ a_t = r\alpha = 0{,}25\text{ m} \cdot 4\text{ rad/s}^2 = 1\text{ m/s}^2 \]
б) Нормално убрзање у том тренутку:
\[ a_n = r\omega^2 = 0{,}25\text{ m} \cdot (6\text{ rad/s})^2 = 0{,}25 \cdot 36 = 9\text{ m/s}^2 \]
Задатак 3 (тежи): Две тачке, \(A\) и \(B\), налазе се на истом ротирајућем крутом диску. Тачка \(A\) је на удаљености \(r_A = 5\text{ cm}\), а тачка \(B\) на удаљености \(r_B = 20\text{ cm}\) од осе.
Колико пута је линијска брзина тачке \(B\) већа од линијске брзине тачке \(A\), и у ком односу су њихова нормална убрзања?
Колико пута је линијска брзина тачке \(B\) већа од линијске брзине тачке \(A\), и у ком односу су њихова нормална убрзања?
Све тачке истог крутог тела имају једнаку тренутну угаону брзину (\(\omega_A = \omega_B = \omega\)).
1. Однос линијских брзина: \[ \frac{v_B}{v_A} = \frac{r_B \omega}{r_A \omega} = \frac{r_B}{r_A} = \frac{20\text{ cm}}{5\text{ cm}} = 4 \] Линијска брзина тачке \(B\) је 4 пута већа од линијске брзине тачке \(A\).
2. Однос нормалних убрзања: \[ \frac{a_{n,B}}{a_{n,A}} = \frac{r_B \omega^2}{r_A \omega^2} = \frac{r_B}{r_A} = \frac{20\text{ cm}}{5\text{ cm}} = 4 \] Нормално убрзање тачке \(B\) је такође 4 пута веће од нормалног убрзања тачке \(A\).
1. Однос линијских брзина: \[ \frac{v_B}{v_A} = \frac{r_B \omega}{r_A \omega} = \frac{r_B}{r_A} = \frac{20\text{ cm}}{5\text{ cm}} = 4 \] Линијска брзина тачке \(B\) је 4 пута већа од линијске брзине тачке \(A\).
2. Однос нормалних убрзања: \[ \frac{a_{n,B}}{a_{n,A}} = \frac{r_B \omega^2}{r_A \omega^2} = \frac{r_B}{r_A} = \frac{20\text{ cm}}{5\text{ cm}} = 4 \] Нормално убрзање тачке \(B\) је такође 4 пута веће од нормалног убрзања тачке \(A\).
