Најважније из лекције
Убрзање Земљине теже: Константно убрзање \(g \approx 9{,}81\text{ m/s}^2\) усмерено вертикално наниже.
Слободан пад: Кретање без почетне брзине (\(v_0 = 0\)); време пада \(t = \sqrt{\frac{2h_0}{g}}\).
Вертикални хитац навише: Кретање са пењањем (успорено, \(v = v_0 - gt\)) до \(h_{\text{max}} = h_0 + \frac{v_0^2}{2g}\), након чега следи слободан пад.
Коси и хоризонтални хитац: Слагање два независна кретања - равномерног праволинијског дуж хоризонтале (\(l = v_x t\)) и равномерно променљивог дуж вертикале. Путања је парабола, а највећи домет код косог хица постиже се под углом од \(45^\circ\).
Слободан пад: Кретање без почетне брзине (\(v_0 = 0\)); време пада \(t = \sqrt{\frac{2h_0}{g}}\).
Вертикални хитац навише: Кретање са пењањем (успорено, \(v = v_0 - gt\)) до \(h_{\text{max}} = h_0 + \frac{v_0^2}{2g}\), након чега следи слободан пад.
Коси и хоризонтални хитац: Слагање два независна кретања - равномерног праволинијског дуж хоризонтале (\(l = v_x t\)) и равномерно променљивог дуж вертикале. Путања је парабола, а највећи домет код косог хица постиже се под углом од \(45^\circ\).
Кретање тела на које делује само гравитационо привлачење Земље (уз занемаривање отпора ваздуха) представља кретање са константним убрзањем.
Убрзање Земљине теже износи \( g \approx 9{,}81 \text{ m/s}^2 \) у близини Земљине површине и усмерено је вертикално наниже.
Према правцу и смеру почетне брзине \(\vec{v}_0\), кретање у пољу Земљине теже дели се на:
- Вертикални хитац (почетна брзина има вертикални правац)
- Слободан пад (кретање без почетне брзине, \(v_0 = 0\))
- Хоризонтални хитац (почетна брзина има хоризонталан правац)
- Коси хитац (почетна брзина заклапа оштар угао са хоризонталом)
Вертикални хитац наниже је равномерно убрзано праволинијско кретање тела са почетном брзином \(\vec{v}_0\) усмереном вертикално наниже са почетне висине \(h_0\).
Закон положаја код вертикалног хица наниже:
\[ h = h_0 - v_0t - \frac{gt^2}{2} \]
\(h\) – тренутна висина тела, \(h_0\) – почетна висина, \(v_0\) – почетна брзина, \(t\) – време
Слободан пад је специјалан случај вертикалног хица наниже без почетне брзине (\(v_0 = 0\)).
Закон положаја код слободног пада:
\[ h = h_0 - \frac{gt^2}{2} \]
Време падања са висине \(h_0\) (за \(h = 0\)):
\[ t = \sqrt{\frac{2h_0}{g}} \]
Тело је пуштено да слободно пада са висине од \(h_0 = 45\text{ m}\). Израчунајте време за које ће тело пасти на земљу (\(g \approx 10\text{ m/s}^2\)).
Примењује се формула за време слободног пада:
\[ t = \sqrt{\frac{2h_0}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 45\text{ m}}{10\text{ m/s}^2}} = \sqrt{\frac{90}{10}} = \sqrt{9} = 3\text{ s} \]
Одговор: Тело ће пасти на земљу за \(3\text{ s}\).
Вертикални хитац навише је кретање тела са почетном брзином \(\vec{v}_0\) усмереном вертикално нагоре. Кретање се састоји из две етапе: пењања и слободног пада.
Тело се креће равномерно успорено. Његова брзина опада по формули \(v = v_0 - gt\). У највишој тачки путање брзина је једнака нули (\(v = 0\)).
Након заустављања у највишој тачки, тело почиње слободан пад према земљи.
Закон положаја код вертикалног хица навише:
\[ h = h_0 + v_0t - \frac{gt^2}{2} \]
Време потребно да тело достигне максималну висину:
\[ t = \frac{v_0}{g} \]
Максимална висина коју тело достиже:
\[ h_{\text{max}} = h_0 + \frac{v_0^2}{2g} \]
Лопта је бачена са површине Земље (\(h_0 = 0\)) вертикално навише почетном брзином \(v_0 = 20\text{ m/s}\). Колико износи време пењања и максимална висина? (\(g \approx 10\text{ m/s}^2\))
Време пењања:
\[ t = \frac{v_0}{g} = \frac{20\text{ m/s}}{10\text{ m/s}^2} = 2\text{ s} \]
Максимална висина:
\[ h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{(20\text{ m/s})^2}{2 \cdot 10\text{ m/s}^2} = \frac{400}{20} = 20\text{ m} \]
Одговор: Време пењања је \(2\text{ s}\), а максимална висина износи \(20\text{ m}\).
Коси хитац је дводимензионално кретање тела у пољу Земљине теже са почетном брзином која заклапа угао \(\alpha\) са хоризонталом (\(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)). Путања тела је парабола.
Коси хитац се разлаже на две независне компоненте:
- Хоризонтална компонента (дуж \(x\)-осе): равномерно праволинијско кретање са константном брзином \(v_x = \text{const}\).
- Вертикална компонента (дуж \(y\)-осе): равномерно променљиво кретање са убрзањем \(g\) (вертикални хитац навише).
Домет тела код косог хица:
\[ l = v_x \cdot t \]
\(l\) – домет (хоризонтално растојање), \(v_x\) – хоризонтална компонента брзине, \(t\) – укупно време кретања
При истом интензитету почетне брзине, највећи домет се постиже када је угао избацивања једнак \(45^\circ\). За комплементарне углове (нпр. \(30^\circ\) и \(60^\circ\)) домети су једнаки.
Хоризонтални хитац је посебан случај косог хица за угао избацивања \(\alpha = 0^\circ\). Тело се избацује са одређене висине \(h_0\) хоризонталном почетном брзином.
Кретање се разлаже на:
- Дуж хоризонтале (\(x\)-оса): равномерно кретање брзином \(v_x = v_0 = \text{const}\).
- Дуж вертикале (\(y\)-оса): слободан пад без почетне вертикалне брзине (\(v_{0y} = 0\)).
Путања тела при хоризонталном хицу представља грану параболе са теменом у тачки избацивања.
Задаци за вежбање
Лак: Са терасе на висини \(h_0 = 80\text{ m}\) испуштен је камен без почетне брзине. За које време ће камен пасти на тло? (Узети \(g = 10\text{ m/s}^2\))
Пошто је реч о слободном паду, примењујемо формулу за време пада:
\[ t = \sqrt{\frac{2h_0}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 80\text{ m}}{10\text{ m/s}^2}} = \sqrt{\frac{160}{10}} = \sqrt{16} = 4\text{ s} \]
Одговор: Камен ће пасти за \(4\text{ s}\).
Средњи: Стрела је испаљена вертикално навише брзином \(v_0 = 40\text{ m/s}\) са површине Земље. Колику ће максималну висину достићи и после колико времена ће се вратити на тло? (Узети \(g = 10\text{ m/s}^2\))
1. Време пењања:
\[ t_{\text{пењања}} = \frac{v_0}{g} = \frac{40\text{ m/s}}{10\text{ m/s}^2} = 4\text{ s} \]
2. Максимална висина:
\[ h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{(40\text{ m/s})^2}{2 \cdot 10\text{ m/s}^2} = \frac{1600}{20} = 80\text{ m} \]
3. Време падања једнако је времену пењања (\(t_{\text{падања}} = 4\text{ s}\)), па је укупно време кретања:
\[ t_{\text{укупно}} = 2 \cdot t_{\text{пењања}} = 2 \cdot 4\text{ s} = 8\text{ s} \]
Одговор: Стрела достиже висину од \(80\text{ m}\) и враћа се на тло после \(8\text{ s}\).
Тежак: Тело је избачено косим хицем са тла. Хоризонтална компонента брзине износи \(v_x = 12\text{ m/s}\), а тело је у ваздуху провело укупно \(t = 5\text{ s}\) пре него што је пало на тло.
а) Колики је домет тела?
б) Под којим углом би требало избацити исто тело истом почетном брзином да се оствари максимални могући домет?
а) Колики је домет тела?
б) Под којим углом би требало избацити исто тело истом почетном брзином да се оствари максимални могући домет?
а) Пошто се дуж хоризонтале тело креће равномерно праволинијски, домет износи:
\[ l = v_x \cdot t = 12\text{ m/s} \cdot 5\text{ s} = 60\text{ m} \]
б) За било које тело избачено у пољу Земљине теже, максималан домет се остварује под углом од \(\alpha = 45^\circ\).
Одговор: Домет тела је \(60\text{ m}\), а угао за највећи домет је \(45^\circ\).
Одговор: Домет тела је \(60\text{ m}\), а угао за највећи домет је \(45^\circ\).
