Најважније из лекције
Равномерно променљиво кружно кретање: Кретање по кружници где је тангенцијално убрзање константно (\(a_t = \text{const.}\)), док се нормално убрзање мења са брзином (\(a_n = \frac{v^2}{r}\)).
Укупно убрзање: Векторски збир \(\vec{a} = \vec{a}_n + \vec{a}_t\), са интензитетом \(a = \sqrt{a_n^2 + a_t^2}\).
Основне једначине: \(v = v_0 + a_t t\) и \(s = v_0 t + \frac{a_t t^2}{2}\).
Убрзано vs. успорено: Код убрзаног кретања вектори \(\vec{v}\) и \(\vec{a}_t\) имају исти смер (угао између \(\vec{a}\) и \(\vec{v}\) је оштар), а код успореног кретања супротан смер (угао између \(\vec{a}\) и \(\vec{v}\) је туп).
Укупно убрзање: Векторски збир \(\vec{a} = \vec{a}_n + \vec{a}_t\), са интензитетом \(a = \sqrt{a_n^2 + a_t^2}\).
Основне једначине: \(v = v_0 + a_t t\) и \(s = v_0 t + \frac{a_t t^2}{2}\).
Убрзано vs. успорено: Код убрзаног кретања вектори \(\vec{v}\) и \(\vec{a}_t\) имају исти смер (угао између \(\vec{a}\) и \(\vec{v}\) је оштар), а код успореног кретања супротан смер (угао између \(\vec{a}\) и \(\vec{v}\) је туп).
Ако се материјална тачка креће по кружници брзином чији се интензитет равномерно мења, такво кретање назива се равномерно променљиво кружно кретање.
Ово кретање је неравномерно јер му се интензитет брзине непрестано мења, али је промена брзине у једнаким временским интервалима константна.
Тангенцијално убрзање (\(a_t\)) одређује промену интензитета брзине. Његов интензитет је константан и једнак количнику промене брзине и временског интервала:
\[ a_t = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1} = \text{const.} \]
Нормално (центрипетално) убрзање (\(a_n\)) настаје услед промене правца вектора брзине и усмерено је ка центру кружнице. Није константно већ зависи од тренутне брзине:
\[ a_n = \frac{v^2}{r} \]
(\(v\) – тренутна линијска брзина, \(r\) – полупречник кружне путање)
Укупно убрзање (\(\vec{a}\)) представља векторски збир нормалног и тангенцијалног убрзања:
\[ \vec{a} = \vec{a}_n + \vec{a}_t \]
\[ a = \sqrt{a_n^2 + a_t^2} = \sqrt{\left(\frac{v^2}{r}\right)^2 + a_t^2} \]
На промену интензитета брзине и пређени пут по кружници утиче искључиво тангенцијално убрзање \(a_t\).
Брзина у тренутку \(t\):
\[ v = v_0 + a_t \cdot t \]
Пређени пут дуж кружнице за време \(t\):
\[ s = v_0 \cdot t + \frac{a_t \cdot t^2}{2} \]
(\(v_0\) – почетна брзина у тренутку \(t_0 = 0\), \(a_t\) – тангенцијално убрзање, \(t\) – протекло време)
| Карактеристика | Равномерно убрзано кружно кретање | Равномерно успорено кружно кретање |
|---|---|---|
| Смер \(\vec{a}_t\) и \(\vec{v}\) | Поклапају се (исти смер) | Супротни смерови |
| Угао између \(\vec{a}\) и \(\vec{v}\) | Оштар угао (\(< 90^\circ\)) | Туп угао (\(> 90^\circ\)) |
| Интензитет брзине (\(v\)) | Расте током времена | Опада током времена |
| Интензитет укупног убрзања (\(a\)) | Повећава се | Смањује се |
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Материјална тачка се креће по кружници тако да јој се брзина равномерно повећа са \(v_1 = 4\text{ m/s}\) на \(v_2 = 10\text{ m/s}\) у временском интервалу од \(\Delta t = 3\text{ s}\). Колики је интензитет тангенцијалног убрзања?
Тангенцијално убрзање рачунамо по формули:
\[ a_t = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 - v_1}{\Delta t} \]
\[ a_t = \frac{10\text{ m/s} - 4\text{ m/s}}{3\text{ s}} = \frac{6\text{ m/s}}{3\text{ s}} = 2\text{ m/s}^2 \]
Одговор: Интензитет тангенцијалног убрзања износи \(2\text{ m/s}^2\).
Задатак 2 (средњи): Тело почиње равномерно убрзано кружно кретање из стања мировања (\(v_0 = 0\)) са тангенцијалним убрзањем \(a_t = 1{,}5\text{ m/s}^2\). Одредити тренутну брзину тела и пређени пут по кружници након \(t = 4\text{ s}\).
1. Брзина у тренутку \(t\):
\[ v = v_0 + a_t \cdot t = 0 + 1{,}5\text{ m/s}^2 \cdot 4\text{ s} = 6\text{ m/s} \]
2. Пређени пут за време \(t\):
\[ s = v_0 \cdot t + \frac{a_t \cdot t^2}{2} = 0 + \frac{1{,}5 \cdot 4^2}{2} = \frac{1{,}5 \cdot 16}{2} = 12\text{ m} \]
Одговор: Након \(4\text{ s}\), брзина је \(6\text{ m/s}\), а пређени пут износи \(12\text{ m}\).
Задатак 3 (тежак): Тело се креће по кружници полупречника \(r = 2\text{ m}\). У одређеном тренутку интензитет брзине је \(v = 4\text{ m/s}\), а интензитет тангенцијалног убрзања је \(a_t = 6\text{ m/s}^2\). Израчунати нормално убрзање и интензитет укупног убрзања тела у том тренутку.
1. Нормално убрзање:
\[ a_n = \frac{v^2}{r} = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8\text{ m/s}^2 \]
2. Интензитет укупног убрзања:
\[ a = \sqrt{a_n^2 + a_t^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\text{ m/s}^2 \]
Одговор: Нормално убрзање износи \(8\text{ m/s}^2\), а интензитет укупног убрзања је \(10\text{ m/s}^2\).
