Најважније из лекције
Равномерно кружно кретање: Кретање по кружници са константним интензитетом брзине (\( v = \text{const.} \)). Вектор брзине \( \vec{v} \) лежи на тангенти и нормалан је на полупречник \( \vec{r} \).
Центрипетално убрзање: Последица је промене правца брзине. Увек је усмерено ка центру кружнице: \[ a_c = \frac{v^2}{r} \] Пример: При брзини од \( 10\text{ m/s} \) по кругу полупречника \( 5\text{ m} \), убрзање је \( a_c = \frac{10^2}{5} = 20\text{ m/s}^2 \).
Период и фреквенција: Период је време једног обртаја \( T = \frac{2\pi r}{v} \), а фреквенција је број обртаја у секунди \( f = \frac{1}{T} \) (јединица: \( \text{Hz} \)).
Линијска брзина: \( v = \frac{2\pi r}{T} = 2\pi r f \).
Центрипетално убрзање: Последица је промене правца брзине. Увек је усмерено ка центру кружнице: \[ a_c = \frac{v^2}{r} \] Пример: При брзини од \( 10\text{ m/s} \) по кругу полупречника \( 5\text{ m} \), убрзање је \( a_c = \frac{10^2}{5} = 20\text{ m/s}^2 \).
Период и фреквенција: Период је време једног обртаја \( T = \frac{2\pi r}{v} \), а фреквенција је број обртаја у секунди \( f = \frac{1}{T} \) (јединица: \( \text{Hz} \)).
Линијска брзина: \( v = \frac{2\pi r}{T} = 2\pi r f \).
Кружно кретање је кретање тела (материјалне тачке) по кружници и представља најједноставнији облик криволинијског кретања у равни.
Равномерно кружно кретање је кретање по кружној путањи при коме је интензитет брзине константан (\( v = \text{const.} \)).
Вектор тренутне брзине \( \vec{v} \) у свакој тачки путање има правац тангенте на кружницу и нормалан је на радијус-вектор положаја (\( \vec{v} \perp \vec{r} \)).
Иако је интензитет брзине сталан, брзина као вектор се непрекидно мења јер стално мења свој правац и смер.
Кретање врха секундарне или минутне казаљке на часовнику представља равномерно кружно кретање јер врх казаљке прелази једнаке кружне лукове у једнаким временским интервалима.
Центрипетално или радијално убрзање (\( \vec{a}_c \)) је нормално убрзање које описује промену правца и смера вектора брзине при равномерном кружном кретању.
Тангенцијална компонента убрзања код равномерног кружног кретања једнака је нули (\( a_t = 0 \)) јер се интензитет брзине не мења.
Правац центрипеталног убрзања поклапа се са правцем полупречника (нормалан је на тангенту), а смер је увек усмерен ка центру кружнице.
\[ a_c = \frac{v^2}{r} \]
\( a_c \) – центрипетално убрзање (\(\text{m/s}^2\)), \( v \) – интензитет линијске брзине (\(\text{m/s}\)), \( r \) – полупречник кружне путање (\(\text{m}\))
1. За временски интервал \( \Delta t \), померај је \( \Delta\vec{r} \), а промена брзине је \( \Delta\vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1 \).
2. Једнакокраки троуглови положаја (\( \vec{r}_1, \vec{r}_2, \Delta\vec{r} \)) и брзина (\( \vec{v}_1, \vec{v}_2, \Delta\vec{v} \)) су слични, одакле следи: \[ \frac{\Delta v}{v} = \frac{\Delta r}{r} \implies \Delta v = \frac{v \Delta r}{r} \] 3. Уврштавањем у дефиницију убрзања \( a_c = \frac{\Delta v}{\Delta t} \) и користећи чињеницу да је \( \frac{\Delta r}{\Delta t} = v \), добија се: \[ a_c = \frac{v \Delta r}{r \Delta t} = \frac{v^2}{r} \]
2. Једнакокраки троуглови положаја (\( \vec{r}_1, \vec{r}_2, \Delta\vec{r} \)) и брзина (\( \vec{v}_1, \vec{v}_2, \Delta\vec{v} \)) су слични, одакле следи: \[ \frac{\Delta v}{v} = \frac{\Delta r}{r} \implies \Delta v = \frac{v \Delta r}{r} \] 3. Уврштавањем у дефиницију убрзања \( a_c = \frac{\Delta v}{\Delta t} \) и користећи чињеницу да је \( \frac{\Delta r}{\Delta t} = v \), добија се: \[ a_c = \frac{v \Delta r}{r \Delta t} = \frac{v^2}{r} \]
Равномерно кружно кретање је периодично кретање – процес кретања се на исти начин непрекидно понавља након сваког пуног обиласка кружнице.
Период (\( T \)) је време потребно материјалној тачки да једном обиђе кружницу (направи један пун обртај).
Основна јединица за период у СИ систему је секунд (\(\text{s}\)).
\[ T = \frac{2\pi r}{v} \]
\( T \) – период (\(\text{s}\)), \( 2\pi r \) – обим кружнице (\(\text{m}\)), \( v \) – брзина (\(\text{m/s}\))
Фреквенција (\( f \)) или учесталост представља број пуних обртаја које тело начини у јединици времена (у току једне секунде).
Јединица за фреквенцију је херц (\(\text{Hz}\)), где је \( 1\text{ Hz} = 1\text{ s}^{-1} \).
\[ f = \frac{1}{T} = \frac{v}{2\pi r} \]
\( f \) – фреквенција (\(\text{Hz}\)), \( T \) – период (\(\text{s}\))
Линијска брзина тела може се изразити преко периода или фреквенције као:
\[ v = \frac{2\pi r}{T} = 2\pi r f \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лаки ниво):
Тело се креће по кружници полупречника \( r = 2\text{ m} \) константном брзином интензитета \( v = 6\text{ m/s} \). Израчунати центрипетално убрзање тог тела.
Полазимо од формуле за центрипетално убрзање:
\[ a_c = \frac{v^2}{r} \]
Заменом познатих вредности:
\[ a_c = \frac{(6\text{ m/s})^2}{2\text{ m}} = \frac{36}{2}\text{ m/s}^2 = 18\text{ m/s}^2 \]
Одговор: Центрипетално убрзање тела износи \( 18\text{ m/s}^2 \).
Задатак 2 (Средњи ниво):
Материјална тачка се креће по кружној путањи полупречника \( r = 0{,}5\text{ m} \) и за време од једног минута направи 120 пуних обртаја. Одредити фреквенцију, период и брзину материјалне тачке. (Узети \( \pi \approx 3{,}14 \))
1. Израчунавање фреквенције:
Број обртаја је \( N = 120 \), а укупно време \( t = 1\text{ min} = 60\text{ s} \):
\[ f = \frac{N}{t} = \frac{120}{60\text{ s}} = 2\text{ Hz} \]
2. Израчунавање периода:
\[ T = \frac{1}{f} = \frac{1}{2\text{ Hz}} = 0{,}5\text{ s} \]
3. Израчунавање линијске брзине:
\[ v = 2\pi r f = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}5\text{ m} \cdot 2\text{ s}^{-1} = 6{,}28\text{ m/s} \]
Одговор: Фреквенција је \( 2\text{ Hz} \), период је \( 0{,}5\text{ s} \), а брзина износи \( 6{,}28\text{ m/s} \).
Задатак 3 (Тежи ниво):
Аутомобил се креће по кружној кривини константном брзином при чему му је центрипетално убрзање \( a_c = 4\text{ m/s}^2 \).
а) Како ће се променити центрипетално убрзање ако се брзина аутомобила удвостручи, а полупречник кривине остане исти?
б) Колики је полупречник кривине ако аутомобил кривину обилази брзином \( v = 20\text{ m/s} \)?
а) Како ће се променити центрипетално убрзање ако се брзина аутомобила удвостручи, а полупречник кривине остане исти?
б) Колики је полупречник кривине ако аутомобил кривину обилази брзином \( v = 20\text{ m/s} \)?
а) Анализа зависности убрзања од брзине:
\[ a_c = \frac{v^2}{r} \]
Ако се брзина повећа 2 пута (\( v' = 2v \)), ново убрзање је:
\[ a_c' = \frac{(v')^2}{r} = \frac{(2v)^2}{r} = \frac{4v^2}{r} = 4 a_c \]
Центрипетално убрзање ће се повећати 4 пута и износиће \( 4 \cdot 4\text{ m/s}^2 = 16\text{ m/s}^2 \).
б) Одређивање полупречника кривине: Из формуле \( a_c = \frac{v^2}{r} \) изражавамо полупречник \( r \): \[ r = \frac{v^2}{a_c} = \frac{(20\text{ m/s})^2}{4\text{ m/s}^2} = \frac{400}{4}\text{ m} = 100\text{ m} \] Одговор: Убрзање ће се повећати 4 пута (\( 16\text{ m/s}^2 \)), а полупречник кривине је \( 100\text{ m} \).
б) Одређивање полупречника кривине: Из формуле \( a_c = \frac{v^2}{r} \) изражавамо полупречник \( r \): \[ r = \frac{v^2}{a_c} = \frac{(20\text{ m/s})^2}{4\text{ m/s}^2} = \frac{400}{4}\text{ m} = 100\text{ m} \] Одговор: Убрзање ће се повећати 4 пута (\( 16\text{ m/s}^2 \)), а полупречник кривине је \( 100\text{ m} \).
