Најважније из лекције
Еластична сила: Конзервативна повратна сила сразмерна деформацији: \(F_e = kx\).
Рад спољашње силе: Једнак површини троугла испод \(F\text{--}x\) графика: \(A = \frac{1}{2}kx^2\).
Потенцијална енергија: Енергија акумулирана у деформисаној опрузи: \(E_p = \frac{1}{2}kx^2\).
Кључне особине: У недеформисаном стању (\(x = 0\)) потенцијална енергија је једнака нули (\(E_p = 0\)), док је за било коју деформацију (истезање или сабијање) увек позитивна (\(E_p > 0\)).
Рад спољашње силе: Једнак површини троугла испод \(F\text{--}x\) графика: \(A = \frac{1}{2}kx^2\).
Потенцијална енергија: Енергија акумулирана у деформисаној опрузи: \(E_p = \frac{1}{2}kx^2\).
Кључне особине: У недеформисаном стању (\(x = 0\)) потенцијална енергија је једнака нули (\(E_p = 0\)), док је за било коју деформацију (истезање или сабијање) увек позитивна (\(E_p > 0\)).
Еластичност је својство тела да се након престанка деловања спољашње силе спонтано враћа у свој првобитни облик и величину.
Деформисано тело (истегнута или сабијена опруга) делује еластичном силом која тежи да га врати у недеформисано равнотежно стање. Еластична сила је конзервативна сила.
Смер еластичне силе увек је супротан смеру деформације (помераја из равнотежног положаја).
\[ F_e = k \cdot x \]
\(F_e\) – интензитет еластичне силе \([\text{N}]\)
\(k\) – коефицијент еластичности (крутост) опруге \([\text{N/m}]\)
\(x\) – деформација (издужење или скраћење) опруге \([\text{m}]\)
Ако се опруга крутости \(k = 200\text{ N/m}\) истегне за \(x = 0{,}05\text{ m}\) (\(5\text{ cm}\)), интензитет еластичне силе износи:
\[ F_e = 200\text{ N/m} \cdot 0{,}05\text{ m} = 10\text{ N} \]
Колика еластична сила делује у опрузи крутости \(k = 400\text{ N/m}\) када се она сабије за \(2\text{ cm}\)?
Претварамо деформацију у метре: \(x = 2\text{ cm} = 0{,}02\text{ m}\).
Примењујемо формулу за еластичну силу: \[ F_e = k \cdot x = 400\text{ N/m} \cdot 0{,}02\text{ m} = 8\text{ N} \] Одговор: Интензитет еластичне силе износи \(8\text{ N}\).
Примењујемо формулу за еластичну силу: \[ F_e = k \cdot x = 400\text{ N/m} \cdot 0{,}02\text{ m} = 8\text{ N} \] Одговор: Интензитет еластичне силе износи \(8\text{ N}\).
Пошто еластична сила није константна током истезања већ сразмерно расте са повећањем деформације, рад спољашње силе одређује се графички као површина испод праве \(F(x)\) на \(F\text{--}x\) дијаграму.
\[ A = \frac{1}{2} k x^2 \]
\(A\) – рад спољашње силе утрошен на деформацију опруге \([\text{J}]\)
Рад еластичне силе: При истезању или сабијању опруге рад еластичне силе је негативан (\(A_e = -\frac{1}{2}kx^2\)), јер она делује супротно од смера помераја. Рад спољашње силе која врши деформацију је позитиван (\(A_{\text{sp}} = \frac{1}{2}kx^2\)).
Потенцијална енергија еластичне деформације је енергија акумулирана у деформисаном телу и једнака је раду који спољашња сила изврши приликом деформације тог тела.
\[ E_p = \frac{1}{2} k x^2 \]
\(E_p\) – потенцијална енергија еластичне опруге \([\text{J}]\)
\(k\) – коефицијент еластичности опруге \([\text{N/m}]\)
\(x\) – деформација опруге \([\text{m}]\)
У недеформисаном стању (\(x = 0\)), потенцијална енергија опруге једнака је нули (\(E_p = 0\)).
Потенцијална енергија еластичне деформације је увек позитивна (\(E_p > 0\)), без обзира на то да ли је опруга истегнута или сабијена, јер деформација \(x\) у формули фигурише на квадрат (\(x^2\)).
Колику потенцијалну енергију има опруга крутости \(k = 500\text{ N/m}\) када се истегне за \(0{,}1\text{ m}\)?
Примењујемо формулу за потенцијалну енергију:
\[ E_p = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \cdot 500\text{ N/m} \cdot (0{,}1\text{ m})^2 = 250 \cdot 0{,}01 = 2{,}5\text{ J} \]
Одговор: Потенцијална енергија опруге износи \(2{,}5\text{ J}\).
Задаци за вежбање
Лаки ниво: Опруга коефицијента еластичности \(k = 300\text{ N/m}\) сабијена је за \(4\text{ cm}\). Израчунајте потенцијалну енергију акумулирану у тој опрузи.
Претварамо деформацију у SI јединице:
\[ x = 4\text{ cm} = 0{,}04\text{ m} \]
Рачунамо потенцијалну енергију:
\[ E_p = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \cdot 300\text{ N/m} \cdot (0{,}04\text{ m})^2 = 150 \cdot 0{,}0016\text{ m}^2 = 0{,}24\text{ J} \]
Одговор: Потенцијална енергија опруге износи \(0{,}24\text{ J}\).
Средњи ниво: Под дејством силе од \(60\text{ N}\) опруга се истегне за \(3\text{ cm}\). Колики је коефицијент еластичности те опруге и колика је њена потенцијална енергија у том стању?
Подаци: \(F = 60\text{ N}\), \(x = 3\text{ cm} = 0{,}03\text{ m}\).
1. Из формуле за еластичну силу \(F = k \cdot x\) налазимо коефицијент еластичности: \[ k = \frac{F}{x} = \frac{60\text{ N}}{0{,}03\text{ m}} = 2000\text{ N/m} \] 2. Рачунамо потенцијалну енергију: \[ E_p = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \cdot 2000\text{ N/m} \cdot (0{,}03\text{ m})^2 = 1000 \cdot 0{,}0009 = 0{,}9\text{ J} \] (Алтернативно: \(E_p = \frac{1}{2} F \cdot x = \frac{1}{2} \cdot 60\text{ N} \cdot 0{,}03\text{ m} = 0{,}9\text{ J}\))
Одговор: Коефицијент еластичности је \(2000\text{ N/m}\), а потенцијална енергија износи \(0{,}9\text{ J}\).
1. Из формуле за еластичну силу \(F = k \cdot x\) налазимо коефицијент еластичности: \[ k = \frac{F}{x} = \frac{60\text{ N}}{0{,}03\text{ m}} = 2000\text{ N/m} \] 2. Рачунамо потенцијалну енергију: \[ E_p = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \cdot 2000\text{ N/m} \cdot (0{,}03\text{ m})^2 = 1000 \cdot 0{,}0009 = 0{,}9\text{ J} \] (Алтернативно: \(E_p = \frac{1}{2} F \cdot x = \frac{1}{2} \cdot 60\text{ N} \cdot 0{,}03\text{ m} = 0{,}9\text{ J}\))
Одговор: Коефицијент еластичности је \(2000\text{ N/m}\), а потенцијална енергија износи \(0{,}9\text{ J}\).
Тежи ниво: Опруга крутости \(k = 800\text{ N/m}\) првобитно је истегнута за \(x_1 = 2\text{ cm}\). Колики рад треба извршити спољашња сила да би се опруга додатно истегла до укупног издужења \(x_2 = 6\text{ cm}\)?
Претварамо издужења у метре:
\[ x_1 = 0{,}02\text{ m}, \quad x_2 = 0{,}06\text{ m} \]
Рад спољашње силе једнак је промени потенцијалне енергије опруге:
\[ A = \Delta E_p = E_{p2} - E_{p1} = \frac{1}{2} k x_2^2 - \frac{1}{2} k x_1^2 = \frac{1}{2} k \left(x_2^2 - x_1^2\right) \]
Уврштавамо бројне вредности:
\[ A = \frac{1}{2} \cdot 800 \cdot \left((0{,}06)^2 - (0{,}02)^2\right) = 400 \cdot (0{,}0036 - 0{,}0004) \]
\[ A = 400 \cdot 0{,}0032 = 1{,}28\text{ J} \]
Одговор: За додатно истезање опруге потребно је извршити рад од \(1{,}28\text{ J}\).
