Најважније из лекције
Сила Земљине теже: Векторски збир гравитационе и центрифугалне инерцијалне силе: \(\vec{F}_{zt} = \vec{F}_G + \vec{F}_{cf} \approx \vec{F}_G\).
Убрзање слободног пада на површини: \(g = \gamma \frac{M}{R^2} \approx 9{,}81\text{ m/s}^2\). Не зависи од масе тела.
Зависност од висине: Смањује се са порастом висине: \(g = \gamma \frac{M}{(R+h)^2}\). На висини \(h = R\), убрзање опада \(4\) пута.
Зависност од географске ширине: Највеће је на половима (\(g_p \approx 9{,}83\text{ m/s}^2\)), а најмање на екватору (\(g_e \approx 9{,}78\text{ m/s}^2\)).
Убрзање слободног пада на површини: \(g = \gamma \frac{M}{R^2} \approx 9{,}81\text{ m/s}^2\). Не зависи од масе тела.
Зависност од висине: Смањује се са порастом висине: \(g = \gamma \frac{M}{(R+h)^2}\). На висини \(h = R\), убрзање опада \(4\) пута.
Зависност од географске ширине: Највеће је на половима (\(g_p \approx 9{,}83\text{ m/s}^2\)), а најмање на екватору (\(g_e \approx 9{,}78\text{ m/s}^2\)).
Сила Земљине теже (\(\vec{F}_{zt}\)) је укупна сила која делује на тело у близини Земљине површине у неинерцијалном систему везаном за Земљу која ротира. Представља векторски збир гравитационе силе привлачења Земље и центрифугалне инерцијалне силе.
\[ \vec{F}_{zt} = \vec{F}_G + \vec{F}_{cf} = \vec{F}_G + m \omega^2 \vec{\rho} \]
где је: \(m\) – маса тела, \(\omega = \frac{2\pi}{T}\) – угаона брзина ротације Земље (\(T = 24\text{ h}\)), а \(\vec{\rho}\) – вектор најкраћег растојања тела од осе ротације Земље.
Пошто је центрифугална инерцијална сила много мањег интензитета од гравитационе силе, у практичним прорачунима се узима приближна једнакост:
\[ F_{zt} \approx F_G = \gamma \frac{mM}{R^2} \]
Убрзање слободног пада (\(g\)) је убрзање које сва тела стичу под дејством силе Земљине теже у близини њене површине, када се занемари отпор ваздуха.
\(\text{m/s}^2\) (метар у секунди на квадрат)
На основу Другог Њутновог закона (\(F = ma\)) и Њутновог закона гравитације (\(F_G = \gamma \frac{mM}{R^2}\)):
\[ m a = \gamma \frac{mM}{R^2} \]
Скраћивањем масе тела \(m\) добија се израз за убрзање \(g\):
\[ g = \gamma \frac{M}{R^2} \]
где је: \(\gamma\) – гравитациона константа, \(M\) – маса Земље, \(R\) – полупречник Земље.
Убрзање слободног пада не зависи од масе тела које пада. Сва тела на истом месту на Земљи у вакууму падају са истим убрзањем.
Приближна стандардна вредност убрзања слободног пада при површини Земље износи:
\[ g \approx 9{,}81 \text{ m/s}^2 \]
Вредност убрзања слободног пада није свуда иста на Земљи, већ зависи од два главна фактора:
Са повећањем удаљености од површине Земље (\(h\)), убрзање слободног пада опада обрнуто сразмерно квадрату растојања од средишта Земље:
\[ g(h) = \gamma \frac{M}{(R + h)^2} \]
Земља није идеална сфера већ је спљоштена на половима, због чега је полупречник на екватору већи него на половима (\(R_e > R_p\)). Такође, дејство центрифугалне силе је највеће на екватору, а једнако нули на половима:
| Положај на Земљи | Полупречник Земље (\(R\)) | Вредност убрзања (\(g\)) |
|---|---|---|
| Полови | Најмањи (\(R_p\)) | \(g_p \approx 9{,}83 \text{ m/s}^2\) (максимално) |
| Екватор | Највећи (\(R_e\)) | \(g_e \approx 9{,}78 \text{ m/s}^2\) (минимално) |
| Средња вредност | Средњи полупречник | \(g \approx 9{,}81 \text{ m/s}^2\) |
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Тело масе \(m_1 = 2\text{ kg}\) и тело масе \(m_2 = 10\text{ kg}\) пуштена су истовремено да слободно падају са исте висине у вакууму. Које тело ће имати веће убрзање слободног пада?
Оба тела ће имати једнако убрзање.
Убрзање слободног пада одређено је формулом \(g = \gamma \frac{M}{R^2}\) и не зависи од масе тела које пада (\(m\)), под условом да је отпор средине занемарљив.
Убрзање слободног пада одређено је формулом \(g = \gamma \frac{M}{R^2}\) и не зависи од масе тела које пада (\(m\)), под условом да је отпор средине занемарљив.
Задатак 2 (средњи): Колико износи убрзање слободног пада на висини која је једнака полупречнику Земље (\(h = R\)) изнад њене површине, ако је убрзање на површини \(g_0 = 9{,}81\text{ m/s}^2\)?
Убрзање на висини \(h\) рачуна се по формули:
\[ g(h) = \gamma \frac{M}{(R + h)^2} \]
Како је \(h = R\), растојање од центра Земље је \(R + h = 2R\):
\[ g = \gamma \frac{M}{(2R)^2} = \gamma \frac{M}{4R^2} = \frac{1}{4} \left(\gamma \frac{M}{R^2}\right) = \frac{g_0}{4} \]
\[ g = \frac{9{,}81\text{ m/s}^2}{4} \approx 2{,}45\text{ m/s}^2 \]
Одговор: Убрзање на висини \(h = R\) износи приближно \(2{,}45\text{ m/s}^2\) (четири пута је мање него на површини).
Задатак 3 (тежи): Објасните због чега је тежина истог тела већа на Северном полу него на екватору. Наведите два физичка разлога.
Тежина тела зависи директно од убрзања слободног пада (\(Q = mg\)). Вредност \(g\) је већа на полу (\(g_p \approx 9{,}83\text{ m/s}^2\)) него на екватору (\(g_e \approx 9{,}78\text{ m/s}^2\)) из два разлога:
- Облик Земље: Земља је спљоштена на половима, па је растојање од површине до центра Земље најмање на половима (\(R_p < R_e\)), што повећава вредност гравитационе силе.
- Ротација Земље: На половима је удаљеност од осе ротације \(\rho = 0\), па центрифугална инерцијална сила не делује (\(F_{cf} = 0\)), док на екватору центрифугална сила има максималну вредност и делује у смеру супротном од гравитационе силе, чиме додатно умањује силу теже.
