Најважније из лекције
Ферми–Диракова статистика: Електрони су фермиони (спин \( \frac{1}{2}\hbar \)) и подлежу Паулијевом принципу. На \( 0\text{ K} \) сва стања до Фермијевог нивоа \( E_F \) су попуњена (\( f(E)=1 \)), а изнад њега празна (\( f(E)=0 \)). За \( E = E_F \), вероватноћа је увек \( 0,5 \).
Зонска структура: Међуделовање атома у кристалу цепа атомске нивое на валентну, забрањену (\( E_g \)) и проводну зону. Проводници имају \( E_g = 0 \), полупроводници \( E_g \approx 1\text{ eV} \), а изолатори \( E_g > 5\text{ eV} \).
Полупроводници и p-n спој: Допирањем донорима добија се n-тип (електрони), а акцепторима p-тип (шупљине). На p-n споју настаје запречни слој. Директна поларизација уклања запречни слој и омогућава вођење струје (\( \approx 0,7\text{ V} \) за Si), док инверзна поларизација блокира струју све до пробоја.
Исправљачи: Диоде претварају наизменични напон у једносмерни (полуталасно или пуноталасно преко Грецовог моста), а кондензатор везан паралелно потрошачу „пегла” пулсирања напона.
Зонска структура: Међуделовање атома у кристалу цепа атомске нивое на валентну, забрањену (\( E_g \)) и проводну зону. Проводници имају \( E_g = 0 \), полупроводници \( E_g \approx 1\text{ eV} \), а изолатори \( E_g > 5\text{ eV} \).
Полупроводници и p-n спој: Допирањем донорима добија се n-тип (електрони), а акцепторима p-тип (шупљине). На p-n споју настаје запречни слој. Директна поларизација уклања запречни слој и омогућава вођење струје (\( \approx 0,7\text{ V} \) за Si), док инверзна поларизација блокира струју све до пробоја.
Исправљачи: Диоде претварају наизменични напон у једносмерни (полуталасно или пуноталасно преко Грецовог моста), а кондензатор везан паралелно потрошачу „пегла” пулсирања напона.
Фермиони – честице са полуцелим спином (нпр. електрон са спином \( \frac{1}{2}\hbar \)). За њих важи Паулијев принцип забране, што значи да се два фермиона не могу наћи у истом квантном стању (морају се разликовати барем по једном квантном броју).
Бозони – честице са целобројним спином (нпр. фотон са спином \( \hbar \)). За њих не важи Паулијев принцип забране и могу се у неограниченом броју налазити у истом квантном стању.
Фермијев гас – квантномеханички модел који описује слободне електроне у металу. Електрони се налазе унутар потенцијалне јаме чија је дубина једнака излазном раду \( A_i \). Због великог броја електрона и Паулијевог принципа, енергијски нивои су дискретни, веома густо распоређени, а на сваком нивоу могу бити највише два електрона са супротним пројекцијама спина (\( +\frac{1}{2}\hbar \) и \( -\frac{1}{2}\hbar \)).
Фермијев ниво (\( E_F \)) представља највиши попуњени енергијски ниво на температури апсолутне нуле (\( T = 0\text{ K} \)). Код већине метала вредност енергије Фермијевог нивоа износи око \( 10\text{ eV} \).
Ферми–Диракова функција расподеле (вероватноћа насељености стања енергије \( E \)):
\[ f(E) = \frac{1}{e^{\frac{E - E_F}{kT}} + 1} \]
\( k \) – Болцманова константа, \( T \) – апсолутна температура, \( E_F \) – енергија Фермијевог нивоа.
Енергија Фермијевог нивоа на температури апсолутне нуле:
\[ E_F = \frac{h^2}{2m_e} \left( \frac{3n}{8\pi} \right)^{\frac{2}{3}} \]
\( h \) – Планкова константа, \( m_e \) – маса електрона, \( n \) – концентрација слободних електрона.
Карактеристичне вредности Ферми–Диракове функције:
- На \( T \to 0\text{ K} \) за \( E < E_F \): \( f(E) = 1 \) (сви нивои испод \( E_F \) су потпуно попуњени).
- На \( T \to 0\text{ K} \) за \( E > E_F \): \( f(E) = 0 \) (нивои изнад \( E_F \) су потпуно празни).
- За \( E = E_F \) на било којој температури: \( f(E_F) = \frac{1}{2} \).
При приближавању атома и формирању кристалне решетке, услед међусобне интеракције долази до цепања дискретних атомских енергијских нивоа на \( N \) блиских поднивоа који формирају континуалне енергијске зоне. Цепање је најизраженије код спољашњих (валентних) електрона.
Главне енергијске зоне у чврстом телу:
- Валентна зона: Зона настала од спољашњих нивоа; електрони у њој су још увек везани за атоме.
- Забрањена зона (енергетски процеп, \( E_g \)): Опсег енергија које електрони не могу поседовати.
- Проводна зона: Енергијска зона изнад забрањене зоне у којој се налазе слободни електрони одговорни за електричну проводљивост.
Подела материјала према зонској структури:
| Тип материјала | Ширина забрањене зоне (\( E_g \)) | Карактеристике проводности |
|---|---|---|
| Проводници (метали) | \( E_g \approx 0\text{ eV} \) (зоне се преклапају) | Велики број слободних електрона већ на собној температури (\(\approx 10^{22}\text{ cm}^{-3}\)). |
| Полупроводници | \( E_g \approx 1\text{ eV} \) (\(\text{Si}: 1,14\text{ eV}\), \(\text{Ge}: 0,67\text{ eV}\)) | Мала сопствена проводност на собној температури (\(\approx 10^{14}\text{ cm}^{-3}\)); проводност расте загревањем и осветљавањем. |
| Изолатори (диелектрици) | \( E_g > 5\text{ eV} \) (нпр. дијамант \( 7,3\text{ eV} \)) | Проводна зона је празна; изузетно велика отпорност и висока оптичка провидност у видљивом делу спектра. |
Минимална фреквенција / максимална таласна дужина фотона потребна за побуђивање валентног електрона у проводну зону:
\[ E_g = h\nu_{\text{min}} = \frac{hc}{\lambda_{\text{max}}} \]
Сопствена проводљивост: Настаје преласком електрона из валентне у проводну зону услед топлотног кретања, при чему у валентној зони настаје једнак број шупљина (\( n = p \)).
Примесна проводљивост (допирање): Додавање мале количине примеса (\(\approx 0,001\%\)) у чист полупроводник повећава концентрацију слободних носилаца и до \( 10^3 \) пута:
- n-тип полупроводника: Добија се додавањем петовалентних примеса (донора, нпр. \( \text{P, As} \)). Већински носиоци наелектрисања су електрони (\( n \gg p \)).
- p-тип полупроводника: Добија се додавањем тровалентних примеса (акцептора, нпр. \( \text{In, B, Ga} \)). Већински носиоци наелектрисања су шупљине (\( p \gg n \)).
И полупроводник n-типа и полупроводник p-типа су као целина електронеутрални.
p-n спој и запречни слој: Спајањем p и n полупроводника долази до дифузије већинских носилаца и њихове рекомбинације на споју. Непокретни јони у решетки формирају област просторног товара (запречни слој) са унутрашњим електричним пољем \( \vec{E} \) које зауставља даљу дифузију.
Позитиван пол извора повезује се на p-област (аноду), а негативан на n-област (катоду). Спољашње поље слаби унутрашње поље, запречни слој се сужава и нестаје (за \( \text{Si} \) при напону \( \approx 0,7\text{ V} \)), па кроз спој тече јака струја већинских носилаца.
Позитиван пол извора повезује се на n-област, а негативан на p-област. Спољашње поље појачава унутрашње поље, запречни слој се шири и кроз спој тече само занемарљиво мала струја засићења (\( I_S \)) мањинских носилаца (реда \( \text{pA} \)). При високом инверзном напону долази до пробоја споја.
Струјно-напонска карактеристика диоде (Шоклијева једначина):
\[ I_D = I_S \left( e^{\frac{q_e U_D}{kT}} - 1 \right) \]
\( I_D \) – струја кроз диоду, \( U_D \) – напон на диоди, \( I_S \) – инверзна струја засићења, \( q_e \) – елементарно наелектрисање, \( k \) – Болцманова константа, \( T \) – апсолутна температура.
Исправљачи претварају наизменични напон у једносмерни захваљујући особини диоде да проводи струју само при директној поларизацији:
- Полуталасни исправљач: Користи једну диоду и пропушта само једну полупериоду наизменичног напона, стварајући изразито пулсирајући напон.
- Пуноталасни исправљач (Грецов спој): Састоји се од четири унакрсно повезане диоде (мост). У свакој полупериоди две диоде проводе струју, чиме се користи и позитивна и негативна полупериода наизменичног напона.
Филтрирање напона: Везивањем кондензатора великог капацитета паралелно потрошачу смањује се пулсирање једносмерног напона (кондензатор се пуни када диода проводи, а празни преко потрошача када диода не проводи).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунати вероватноћу да електрон у металу заузме квантно стање на самом Фермијевом нивоу (\( E = E_F \)) на собној температури \( T = 300\text{ K} \).
Уврштавањем у Ферми–Диракову функцију расподеле за \( E = E_F \):
\[ f(E_F) = \frac{1}{e^{\frac{E_F - E_F}{kT}} + 1} = \frac{1}{e^0 + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} = 0,5 \]
Одговор: Вероватноћа износи \( 0,5 \) (или \( 50\% \)) и не зависи од температуре.
Задатак 2 (средњи): Ширина забрањене зоне силицијума износи \( E_g = 1,14\text{ eV} \). Одредити максималну таласну дужину електромагнетног зрачења које може да побуди валентни електрон у проводну зону. (\( h = 4,14 \cdot 10^{-15}\text{ eV}\cdot\text{s} \), \( c = 3 \cdot 10^8\text{ m/s} \))
Енергија фотона мора бити најмање једнака ширини забрањене зоне:
\[ E_g = \frac{hc}{\lambda_{\text{max}}} \implies \lambda_{\text{max}} = \frac{hc}{E_g} \]
\[ \lambda_{\text{max}} = \frac{4,14 \cdot 10^{-15}\text{ eV}\cdot\text{s} \cdot 3 \cdot 10^8\text{ m/s}}{1,14\text{ eV}} \approx 1,09 \cdot 10^{-6}\text{ m} = 1090\text{ nm} \]
Одговор: Максимална таласна дужина износи \( 1090\text{ nm} \), што припада блиској инфрацрвеној области.
Задатак 3 (средњи): На температури апсолутне нуле однос Фермијевих енергија два метала износи \( \frac{E_{F1}}{E_{F2}} = 4 \). Колики је однос концентрација слободних електрона \( \frac{n_1}{n_2} \) у овим металима?
Зависност Фермијеве енергије од концентрације на \( T = 0\text{ K} \) је дата са \( E_F \sim n^{\frac{2}{3}} \).
\[ \frac{E_{F1}}{E_{F2}} = \left( \frac{n_1}{n_2} \right)^{\frac{2}{3}} \implies \frac{n_1}{n_2} = \left( \frac{E_{F1}}{E_{F2}} \right)^{\frac{3}{2}} \]
\[ \frac{n_1}{n_2} = 4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8 \]
Одговор: Однос концентрација слободних електрона износи \( 8 \).
Задатак 4 (тежак): Инверзна струја засићења силицијумске диоде на собној температури (\( T = 300\text{ K} \)) износи \( I_S = 20\text{ pA} \). Ако је термални напон \( \frac{kT}{q_e} = 26\text{ mV} \), израчунати струју кроз диоду при директној поларизацији напоном \( U_D = 0,60\text{ V} \).
Користимо Шоклијеву струјно-напонску једначину:
\[ I_D = I_S \left( e^{\frac{q_e U_D}{kT}} - 1 \right) \]
Експонент износи:
\[ \frac{q_e U_D}{kT} = \frac{0,60\text{ V}}{0,026\text{ V}} \approx 23,08 \]
Пошто је \( e^{23,08} \gg 1 \):
\[ I_D \approx I_S \cdot e^{23,08} = 20 \cdot 10^{-12}\text{ A} \cdot 1,055 \cdot 10^{10} \approx 0,211\text{ A} = 211\text{ mA} \]
Одговор: Јачина струје кроз диоду износи приближно \( 211\text{ mA} \).
