Најважније из лекције
Борови постулати:
- 1. Електрони не зраче док су на стационарним орбитама.
- 2. Момент импулса је квантован: \(L = n\hbar\).
- 3. Зрачење се емитује/апсорбује само при скоку: \(h\nu = |E_n - E_m|\).
- Брзина: \(v_n = \frac{V_0}{n}\), где је \(V_0 \approx 2{,}2 \cdot 10^6\text{ m/s}\).
- Радијус: \(r_n = n^2 r_0\), где је \(r_0 \approx 0{,}5 \cdot 10^{-10}\text{ m}\).
- Енергија: \(E_n = \frac{E_0}{n^2}\), где је \(E_0 = -13{,}6\text{ eV}\).
Први Боров постулат (стационарна стања): Електрони око језгра круже по тачно одређеним, такозваним стационарним орбитама. Док се налази на стационарној орбити, електрон не емитује електромагнетно зрачење, што обезбеђује стабилност атома.
Други Боров постулат (квантовање момента импулса): Момент импулса електрона на стационарној орбити је квантован и једнак је целобројном умношку редуковане Планкове константе \(\hbar\):
\[ L = m_e v r_n = n \hbar = n \frac{h}{2\pi} \]
\(n \in \{1, 2, 3, \dots\}\) - главни квантни број, \(h\) - Планкова константа, \(\hbar = \frac{h}{2\pi}\).
Трећи Боров постулат (услов квантног прелаза): При преласку електрона из једног стационарног стања у друго емитује се или апсорбује квант енергије (фотон) једнак разлици енергија тих стања:
\[ h\nu = |E_n - E_m| \]
Апсорпција се дешава при преласку са нижег на виши енергетски ниво, а емисија при преласку са вишег на нижи ниво.
Да ли електрон који кружи по другој стационарној орбити атома водоника емитује светлост?
Одговор: Не. Према првом Боровом постулату, док се налази на било којој стационарној орбити, електрон не зрачи електромагнетне таласе. Зрачење се емитује само при преласку на нижи енергетски ниво.
Брзина кретања електрона по кружној орбити одређује се изједначавањем електростатичке (Кулонове) силе и центрипеталне силе:
\[ \frac{m_e v_n^2}{r_n} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Z e^2}{r_n^2} \]
Комбиновањем са другим постулатом (\(m_e v_n r_n = n\hbar\)) добија се квантована брзина електрона на \(n\)-том нивоу:
\[ v_n = \frac{Z}{n} \cdot \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar} = \frac{Z}{n} V_0 \]
\(V_0 \approx 2{,}2 \cdot 10^6 \text{ m/s}\) - брзина електрона у основном стању атома водоника (\(Z=1, n=1\)).
Брзина електрона је обрнуто сразмерна главном квантном броју \(n\) (\(v_n \sim \frac{1}{n}\)). Са удаљавањем од језгра, брзина електрона опада.
Квантовани радијус \(n\)-те орбите добија се изражавањем \(r_n = \frac{n\hbar}{m_e v_n}\) и заменом израза за брзину:
\[ r_n = \frac{n^2}{Z} \cdot \frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_e e^2} = \frac{n^2}{Z} r_0 \]
\(r_0 \approx 0{,}5 \cdot 10^{-10} \text{ m}\) - први Боров радијус (радијус основног стања атома водоника).
Радијус путање је сразмеран квадрату главног квантног броја (\(r_n \sim n^2\)). Орбите постају све удаљеније једна од друге како \(n\) расте.
Радијус друге орбите атома водоника (\(n=2, Z=1\)) је четири пута већи од радијуса прве орбите:
\[ r_2 = 2^2 \cdot r_0 = 4r_0 = 4 \cdot 0{,}5 \cdot 10^{-10}\text{ m} = 2 \cdot 10^{-10}\text{ m} \]
Укупна енергија електрона у атому је збир кинетичке и потенцијалне енергије. Из односа сила важи да је \(T = -\frac{U}{2}\), па је укупна енергија једнака:
\[ E_n = T + U = -T = -\frac{m_e v_n^2}{2} \]
\[ E_n = -\frac{Z^2}{n^2} \frac{m_e e^4}{32\pi^2\varepsilon_0^2\hbar^2} = \frac{Z^2}{n^2} E_0 \]
\(E_0 = -13{,}6 \text{ eV}\) - енергија основног стања атома водоника (\(Z=1, n=1\)).
Негативан знак енергије означава да је систем везан (електрон је везан за језгро). За \(n \to \infty\), енергија тежи нули, што представља слободан (јонизован) електрон.
Применом трећег Боровог постулата на прелаз са вишег нивоа \(m\) на нижи ниво \(n\) (\(m > n\)):
\[ \frac{hc}{\lambda} = E_m - E_n = -13{,}6\text{ eV} \left( \frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2} \right) = 13{,}6\text{ eV} \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right) \]
\[ \frac{1}{\lambda} = \frac{13{,}6\text{ eV}}{hc} \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right) = R \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right) \]
Ридбергова константа (\(R\)): Теоријски изведена преко основних физичких константи:
\[ R = \frac{m_e e^4}{16 \pi^2 \varepsilon_0^2 \hbar^2 h c} \]
Борова теорија је теоријски објаснила емпиријски добијену Ридбергову формулу и линијске спектре атома водоника, што је био кључни доказ њене исправности.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунати радијус треће стационарне орбите (\(n = 3\)) електрона у атому водоника ако је први Боров радијус \(r_0 = 0{,}5 \cdot 10^{-10}\text{ m}\).
За водоник је \(Z = 1\). Користимо формулу за квантовани радијус:
\[ r_n = n^2 \cdot r_0 \]
За \(n = 3\):
\[ r_3 = 3^2 \cdot 0{,}5 \cdot 10^{-10}\text{ m} = 9 \cdot 0{,}5 \cdot 10^{-10}\text{ m} = 4{,}5 \cdot 10^{-10}\text{ m} \]
Одговор: Радијус треће орбите је \(4{,}5 \cdot 10^{-10}\text{ m}\).
Задатак 2 (средњи): Колика је енергија електрона у атому водоника у првом побуђеном стању (\(n = 2\)) и колика је енергија фотона потребног да се електрон пребаци из основног стања (\(n = 1\)) у то прво побуђено стање?
1. Енергија стања са \(n = 2\):
\[ E_2 = \frac{E_0}{2^2} = \frac{-13{,}6\text{ eV}}{4} = -3{,}4\text{ eV} \]
2. Енергија фотона једнака је разлици енергија та два нивоа (трећи Боров постулат):
\[ \Delta E = E_2 - E_1 = -3{,}4\text{ eV} - (-13{,}6\text{ eV}) = 10{,}2\text{ eV} \]
Одговор: Енергија на другом нивоу је \(-3{,}4\text{ eV}\), а потребна енергија апсорбованог фотона је \(10{,}2\text{ eV}\).
Задатак 3 (средњи): Како и колико пута се промене брзина и момент импулса електрона у атому водоника када он пређе са прве на четврту Борову орбиту?
1. Брзина је обрнуто пропорционална квантном броју (\(v_n = \frac{V_0}{n}\)):
\[ \frac{v_1}{v_4} = \frac{V_0 / 1}{V_0 / 4} = 4 \]
Брзина се смањи 4 пута.
2. Момент импулса је директно пропорционалан квантном броју (\(L_n = n\hbar\)): \[ \frac{L_4}{L_1} = \frac{4\hbar}{1\hbar} = 4 \] Момент импулса се повећа 4 пута.
2. Момент импулса је директно пропорционалан квантном броју (\(L_n = n\hbar\)): \[ \frac{L_4}{L_1} = \frac{4\hbar}{1\hbar} = 4 \] Момент импулса се повећа 4 пута.
Задатак 4 (тежак): Израчунати фреквенцију фотона који се емитује при преласку електрона у атому водоника са енергетског нивоа \(m = 3\) на ниво \(n = 2\). Користити: \(E_0 = -13{,}6\text{ eV}\), \(1\text{ eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\text{ J}\) и \(h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}\).
1. Одређујемо енергије нивоа:
\[ E_3 = \frac{-13{,}6\text{ eV}}{3^2} = -1{,}51\text{ eV} \]
\[ E_2 = \frac{-13{,}6\text{ eV}}{2^2} = -3{,}40\text{ eV} \]
2. Разлика енергија:
\[ \Delta E = E_3 - E_2 = -1{,}51\text{ eV} - (-3{,}40\text{ eV}) = 1{,}89\text{ eV} \]
Претварање у џуле:
\[ \Delta E = 1{,}89 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}\text{ J} \approx 3{,}024 \cdot 10^{-19}\text{ J} \]
3. Из трећег Боровог постулата (\(h\nu = \Delta E\)):
\[ \nu = \frac{\Delta E}{h} = \frac{3{,}024 \cdot 10^{-19}\text{ J}}{6{,}63 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}} \approx 4{,}56 \cdot 10^{14}\text{ Hz} \]
Одговор: Фреквенција емитованог фотона је приближно \(4{,}56 \cdot 10^{14}\text{ Hz}\).
