Најважније из лекције
Енергија мировања: \( E_0 = mc^2 \) (маса \( m \) је инваријантна особина тела).
Релативистичка кинетичка енергија: \( T = mc^2 \left(\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1\right) = E - E_0 \).
Веза укупне енергије и импулса: \( E^2 = E_0^2 + p^2 c^2 \), при чему је комбинација \( E^2 - p^2 c^2 = m^2 c^4 \) Лоренцова инваријанта.
Веза импулса и кинетичке енергије: \( p = \frac{1}{c}\sqrt{T(2E_0 + T)} \).
Еквиваленција масе и енергије: У процесима са субатомским честицама (акцелератори) кинетичка енергија и маса директно прелазе једна у другу у складу са релацијом \( E_0 = mc^2 \).
Релативистичка кинетичка енергија: \( T = mc^2 \left(\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1\right) = E - E_0 \).
Веза укупне енергије и импулса: \( E^2 = E_0^2 + p^2 c^2 \), при чему је комбинација \( E^2 - p^2 c^2 = m^2 c^4 \) Лоренцова инваријанта.
Веза импулса и кинетичке енергије: \( p = \frac{1}{c}\sqrt{T(2E_0 + T)} \).
Еквиваленција масе и енергије: У процесима са субатомским честицама (акцелератори) кинетичка енергија и маса директно прелазе једна у другу у складу са релацијом \( E_0 = mc^2 \).
Маса (\(m\)) тела (маса мировања) представља меру његове инерције. Она је инваријантна величина и има исту вредност у свим инерцијалним системима референце.
Енергија мировања (\(E_0\)) јесте унутрашња енергија коју тело поседује у стању мировања:
\[ E_0 = mc^2 \]
\[ T = E - E_0 = mc^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1 \right) \]
\(T\) – релативистичка кинетичка енергија, \(E\) – укупна енергија, \(E_0\) – енергија мировања, \(m\) – маса тела, \(v\) – брзина кретања, \(c\) – брзина светлости у вакууму
За брзине много мање од брзине светлости (\(v \ll c\)), релативистички израз за кинетичку енергију прелази у добро познати њутновски (класични) облик: \( T \approx \frac{mv^2}{2} \).
У специјалној теорији релативности, квадрат укупне енергије једнак је збиру квадрата енергије мировања и производа импулса и брзине светлости на квадрат:
\[ E^2 = E_0^2 + p^2 c^2 \]
односно изражено преко импулса:
\[ p = \frac{1}{c}\sqrt{E^2 - E_0^2} \]
Величина \( E^2 - p^2 c^2 = E_0^2 = m^2 c^4 \) има исту вредност у свим инерцијалним системима референце. То значи да је израз \( E^2 - p^2 c^2 \) релативистичка инваријанта у односу на Лоренцове трансформације.
Полазећи од везе \( E = E_0 + T \) и релације \( p = \frac{1}{c}\sqrt{E^2 - E_0^2} \), добија се директна веза између релативистичког импулса и кинетичке енергије:
\[ p = \frac{1}{c}\sqrt{T(2E_0 + T)} \]
\(p\) – релативистички импулс, \(T\) – кинетичка енергија, \(E_0\) – енергија мировања
У класичној механици ова релација гласи \( p = \sqrt{2mT} \), односно \( T = \frac{p^2}{2m} \).
Формула \( E_0 = mc^2 \) показује суштинску еквиваленцију масе и енергије – маса и енергија су две стране исте физичке реалности.
У класичној механици закони одржања масе и енергије разматрају се одвојено. У релативистичкој физици (микросвет, судар елементарних честица) маса се може трансформисати у кинетичку енергију или зрачење, и обрнуто – из довољно велике енергије могу настати нове честице одређене масе.
У савременим акцелераторима честица (попут LHC-а у CERN-у или линеарног акцелератора у Стенфорду), честице се електричним пољима убрзавају до брзина блиских брзини светлости. При њиховим сударима огромна кинетичка енергија се претвара у масу новонасталих честица.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунати енергију мировања протона чија је маса \( m \approx 1{,}67 \cdot 10^{-27} \text{ kg} \). Брзина светлости у вакууму износи \( c = 3 \cdot 10^8 \text{ m/s} \).
Користимо релацију за енергију мировања:
\[ E_0 = mc^2 \]
\[ E_0 = 1{,}67 \cdot 10^{-27} \text{ kg} \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ m/s})^2 = 1{,}67 \cdot 10^{-27} \cdot 9 \cdot 10^{16} \text{ J} \approx 1{,}503 \cdot 10^{-10} \text{ J} \]
Одговор: Енергија мировања протона износи приближно \( 1{,}503 \cdot 10^{-10} \text{ J} \).
Задатак 2 (средњи): Укупна енергија честице која се креће релативистичком брзином два пута је већа од њене енергије мировања (\( E = 2E_0 \)). Одредити релативистички импулс те честице изражен преко \( E_0 \) и \( c \).
Полазимо од везе између укупне енергије, енергије мировања и импулса:
\[ p = \frac{1}{c}\sqrt{E^2 - E_0^2} \]
Пошто је \( E = 2E_0 \), заменом добијамо:
\[ p = \frac{1}{c}\sqrt{(2E_0)^2 - E_0^2} = \frac{1}{c}\sqrt{4E_0^2 - E_0^2} = \frac{1}{c}\sqrt{3E_0^2} = \frac{E_0 \sqrt{3}}{c} \]
Одговор: Релативистички импулс честице је \( p = \frac{\sqrt{3}E_0}{c} \).
Задатак 3 (тежак): Кинетичка енергија релативистичке честице једнака је њеној енергији мировања (\( T = E_0 \)).
а) Изразити њен релативистички импулс преко \( E_0 \) и \( c \).
б) Одредити којом брзином се честица креће (изражено преко \( c \)).
а) Изразити њен релативистички импулс преко \( E_0 \) и \( c \).
б) Одредити којом брзином се честица креће (изражено преко \( c \)).
а) Користимо везу кинетичке енергије и импулса:
\[ p = \frac{1}{c}\sqrt{T(2E_0 + T)} \]
За \( T = E_0 \):
\[ p = \frac{1}{c}\sqrt{E_0(2E_0 + E_0)} = \frac{1}{c}\sqrt{E_0 \cdot 3E_0} = \frac{E_0\sqrt{3}}{c} \]
б) Укупна енергија је \( E = E_0 + T = E_0 + E_0 = 2E_0 \). С друге стране:
\[ E = \frac{E_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \implies 2E_0 = \frac{E_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]
\[ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{2} \implies 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{4} \implies \frac{v^2}{c^2} = \frac{3}{4} \]
\[ v = \frac{\sqrt{3}}{2}c \approx 0{,}866\,c \]
Одговор: а) \( p = \frac{\sqrt{3}E_0}{c} \); б) \( v = \frac{\sqrt{3}}{2}c \approx 0{,}866\,c \).
