Најважније из лекције
Основни атрибути фотона:
- Енергија: \( E_f = h\nu = \frac{hc}{\lambda} \) (квантована порција светлосне енергије).
- Маса и енергија мировања: \( m_0 = 0 \), \( E_0 = 0 \) (фотон постоји само при брзини \( c \)).
- Импулс: \( p_f = \frac{E_f}{c} = \frac{h}{\lambda} \), односно у векторском облику \( \vec{p}_f = \hbar\vec{k} \).
- Притисак светлости: Директна последица импулса фотона (\( \vec{F} = \frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t} \)); манифестује се макроскопским силама попут отклањања репова комета од Сунца.
Светлост се у процесима интеракције са материјом понаша као скуп честица (кванaта енергије) које називамо фотони.
\[ E_f = h\nu = \frac{hc}{\lambda} \]
\( E_f \) – енергија фотона, \( h \approx 6{,}63 \cdot 10^{-34} \text{ Js} \) – Планкова константа, \( \nu \) – фреквенција светлости, \( \lambda \) – таласна дужина светлости, \( c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ m/s} \) – брзина светлости у вакууму.
Колику енергију има фотон светлости фреквенције \( \nu = 6 \cdot 10^{14} \text{ Hz} \)?
Применом формуле за енергију фотона:
\[ E_f = h\nu = 6{,}63 \cdot 10^{-34} \text{ Js} \cdot 6 \cdot 10^{14} \text{ s}^{-1} = 3{,}978 \cdot 10^{-19} \text{ J} \]
Пошто се фотони увек крећу брзином светлости \( c \), из релативистичке релације за укупну енергију следи да је маса мировања фотона једнака нули (\( m_0 = 0 \)), као и његова енергија мировања (\( E_0 = 0 \)).
Фотон постоји искључиво док се креће брзином светлости – не може се зауставити нити постојати у стању мировања.
\[ \Delta m = \frac{E_f}{c^2} = \frac{h\nu}{c^2} \]
Емисијом фотона из неког система, маса тог система се умањује за вредност \( \Delta m \), што директно осликава Ајнштајнову еквивалентност масе и енергије.
Због чињенице да је брзина светлости \( c \) на квадрат у имениоцу изузетно велика (\( c^2 \approx 9 \cdot 10^{16} \text{ m}^2/\text{s}^2 \)), смањење масе макроскопских тела услед зрачења светлости је реда величине \( 10^{-36} \text{ kg} \) по фотону и не може се директно измерити стандардним методама.
Фотон поседује импулс који се одређује из опште релативистичке везе \( E_f^2 = E_0^2 + p_f^2c^2 \). Како је \( E_0 = 0 \), следи веза између енергије и импулса фотона: \( E_f = p_f c \).
\[ p_f = \frac{E_f}{c} = \frac{h\nu}{c} = \frac{h}{\lambda} \]
Интензитет импулса фотона обрнуто је сразмеран таласној дужини светлости.
Редукована Планкова константа: \( \hbar = \frac{h}{2\pi} \approx 1{,}05457 \cdot 10^{-34} \text{ Js} \)
Таласни вектор: \( \vec{k} \), вектор чији је правац и смер једнак правцу и смеру простирања светлости, а интензитет \( k = \frac{2\pi}{\lambda} \).
\[ \vec{p}_f = \hbar\vec{k} \]
Векторски облик импулса фотона.
При паду светлости на неко тело, фотони предају свој импулс површини. Према Другом Њутновом закону (\( \vec{F} = \frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t} \)), промена импулса фотона у јединици времена ствара силу којом светлост делује на осветљено тело – притисак светлости.
Репови комета: При приближавању комете Сунцу (нпр. Хејл-Бопове комете), притисак Сунчевог зрачења делује на ослобођене честице и формира два карактеристична репа усмерена од Сунца:
- Јонски реп: састоји се од лаких јонизованих атома и усмерен је тачно радијално у правцу зрачења од Сунца.
- Честични реп: састоји се од тежих честица прашине које због веће инертности формирају благо закривљен реп.
Задаци за вежбање
Лаки: Одредити енергију и импулс фотона црвене светлости чија је таласна дужина \( \lambda = 663 \text{ nm} \).
Таласна дужина у основним јединицама: \( \lambda = 663 \cdot 10^{-9} \text{ m} \).
Енергија фотона: \[ E_f = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \text{ Js} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ m/s}}{663 \cdot 10^{-9} \text{ m}} = 3 \cdot 10^{-19} \text{ J} \] Импулс фотона: \[ p_f = \frac{h}{\lambda} = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \text{ Js}}{663 \cdot 10^{-9} \text{ m}} = 10^{-27} \text{ kg m/s} \]
Енергија фотона: \[ E_f = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \text{ Js} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ m/s}}{663 \cdot 10^{-9} \text{ m}} = 3 \cdot 10^{-19} \text{ J} \] Импулс фотона: \[ p_f = \frac{h}{\lambda} = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \text{ Js}}{663 \cdot 10^{-9} \text{ m}} = 10^{-27} \text{ kg m/s} \]
Средњи: За колико се промени маса атома који емитује један фотон ултраљубичастог зрачења фреквенције \( \nu = 10^{15} \text{ Hz} \)?
Према релацији за еквивалентност масе и енергије:
\[ \Delta m = \frac{h\nu}{c^2} = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \text{ Js} \cdot 10^{15} \text{ s}^{-1}}{(3 \cdot 10^8 \text{ m/s})^2} = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-19}}{9 \cdot 10^{16}} \approx 7{,}37 \cdot 10^{-36} \text{ kg} \]
Маса атома се смањи за приближно \( 7{,}37 \cdot 10^{-36} \text{ kg} \).
Тешки: Ласерски сноп таласне дужине \( \lambda = 500 \text{ nm} \) нормално пада на тело и потпуно се апсорбује. Ако у временском интервалу \( \Delta t = 2 \text{ s} \) на површину падне \( N = 10^{20} \) фотона, колика је средња сила којом светлосни сноп делује на тело?
Импулс једног фотона пре апсорпције је \( p_f = \frac{h}{\lambda} \). Пошто се фотони потпуно апсорбују, њихов крајњи импулс је нула, па је укупна промена импулса за свих \( N \) фотона:
\[ \Delta p = N \cdot p_f = \frac{N \cdot h}{\lambda} \]
Према Другом Њутновом закону, средња сила којом светлост делује на тело износи:
\[ F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{N \cdot h}{\lambda \cdot \Delta t} \]
Уврштавањем бројних вредности:
\[ F = \frac{10^{20} \cdot 6{,}63 \cdot 10^{-34} \text{ Js}}{500 \cdot 10^{-9} \text{ m} \cdot 2 \text{ s}} = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-14}}{10^{-6}} = 6{,}63 \cdot 10^{-8} \text{ N} \]
