Најважније из лекције
Планкова хипотеза: Зрачење се не емитује континуално већ у квантима енергије \( E = h\nu = \frac{hc}{\lambda} \), где је \( h \approx 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Js} \).
Планков закон: Тачно описује спектралну емисиону моћ апсолутно црног тела на свим таласним дужинама: \( e_{\lambda} = \frac{2\pi c^2 h}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1} \).
Гранични прелази:
Планков закон: Тачно описује спектралну емисиону моћ апсолутно црног тела на свим таласним дужинама: \( e_{\lambda} = \frac{2\pi c^2 h}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1} \).
Гранични прелази:
- За мале \( \lambda \) (\( hc \gg \lambda kT \)) прелази у Винов закон зрачења: \( e_\lambda \approx \frac{2\pi c^2 h}{\lambda^5} e^{-\frac{hc}{\lambda kT}} \).
- За велике \( \lambda \) (\( hc \ll \lambda kT \)) прелази у Рејли–Џинсов закон: \( e_\lambda \approx \frac{2\pi c k T}{\lambda^4} \).
- Из услова максимума \( (e_\lambda)' = 0 \) следи Винов закон померања: \( \lambda_{max} = \frac{b}{T} \), где је \( b = \frac{hc}{5k} \).
Квантна хипотеза: Осцилатори у апсолутно црном телу не могу да емитују или апсорбују било коју количину енергије континуално, већ само у тачно одређеним дискретним износима – квантима енергије.
Енергија једног кванта електромагнетног зрачења сразмерна је његовој фреквенцији.
\[ E = h\nu = \frac{hc}{\lambda} \]
\( E \) – енергија кванта зрачења (J)
\( \nu \) – фреквенција зрачења (Hz)
\( \lambda \) – таласна дужина зрачења (m)
\( c \) – брзина светлости у вакууму (\( c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ m/s} \))
\( h \) – Планкова константа
\( \nu \) – фреквенција зрачења (Hz)
\( \lambda \) – таласна дужина зрачења (m)
\( c \) – брзина светлости у вакууму (\( c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ m/s} \))
\( h \) – Планкова константа
Вредност Планкове константе износи \( h = 6,6260693 \cdot 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s} \).
Изузетно мала вредност Планкове константе објашњава зашто у свакодневном макроскопском свету не примећујемо квантовану (дискретну) природу енергије.
Израчунајте енергију једног кванта електромагнетног зрачења фреквенције \( \nu = 5 \cdot 10^{14} \text{ Hz} \).
Применом формуле за енергију кванта:
\[ E = h\nu = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s} \cdot 5 \cdot 10^{14} \text{ s}^{-1} = 3,315 \cdot 10^{-19} \text{ J} \]
Планков закон зрачења теоријски описује расподелу спектралне емисионе моћи апсолутно црног тела по таласним дужинама за дату апсолутну температуру и у потпуности се слаже са експерименталним резултатима у свим областима спектра.
\[ e_{\lambda} = \frac{2\pi c^2 h}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1} \]
\( e_{\lambda} \) – спектрална емисиона моћ
\( T \) – апсолутна температура тела (K)
\( k \) – Болцманова константа (\( k \approx 1,38 \cdot 10^{-23} \text{ J/K} \))
\( h \) – Планкова константа, \( c \) – брзина светлости
\( T \) – апсолутна температура тела (K)
\( k \) – Болцманова константа (\( k \approx 1,38 \cdot 10^{-23} \text{ J/K} \))
\( h \) – Планкова константа, \( c \) – брзина светлости
Планков закон представља универзални закон из којег се као посебни гранични случајеви могу извести класични закони зрачења (Винов и Рејли–Џинсов закон).
1. Област малих таласних дужина (\( \lambda \to 0 \)) – Винов закон зрачења:
Када је \( \lambda \) мало, важи \( hc \gg \lambda kT \), па је експоненцијални члан \( e^{\frac{hc}{\lambda kT}} \gg 1 \). Због тога важи апроксимација \( e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1 \approx e^{\frac{hc}{\lambda kT}} \).
Планков закон тада прелази у Винов закон зрачења: \[ e_{\lambda} \approx \frac{2\pi c^2 h}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}} = \frac{C_1}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{C_2}{\lambda T}}} \] где су константе: \( C_1 = 2\pi c^2 h \) и \( C_2 = \frac{hc}{k} \).
Када је \( \lambda \) мало, важи \( hc \gg \lambda kT \), па је експоненцијални члан \( e^{\frac{hc}{\lambda kT}} \gg 1 \). Због тога важи апроксимација \( e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1 \approx e^{\frac{hc}{\lambda kT}} \).
Планков закон тада прелази у Винов закон зрачења: \[ e_{\lambda} \approx \frac{2\pi c^2 h}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}} = \frac{C_1}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{C_2}{\lambda T}}} \] где су константе: \( C_1 = 2\pi c^2 h \) и \( C_2 = \frac{hc}{k} \).
2. Област великих таласних дужина (\( \lambda \to \infty \)) – Рејли–Џинсов закон:
Када је \( \lambda \) велико, важи \( \frac{hc}{\lambda kT} \ll 1 \). Користећи развој функције у ред (\( e^x \approx 1 + x \)), добија се: \[ e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1 \approx 1 + \frac{hc}{\lambda kT} - 1 = \frac{hc}{\lambda kT} \] Уврштавањем у Планков закон добија се Рејли–Џинсов закон: \[ e_{\lambda} \approx \frac{2\pi c k T}{\lambda^4} \]
Када је \( \lambda \) велико, важи \( \frac{hc}{\lambda kT} \ll 1 \). Користећи развој функције у ред (\( e^x \approx 1 + x \)), добија се: \[ e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1 \approx 1 + \frac{hc}{\lambda kT} - 1 = \frac{hc}{\lambda kT} \] Уврштавањем у Планков закон добија се Рејли–Џинсов закон: \[ e_{\lambda} \approx \frac{2\pi c k T}{\lambda^4} \]
Који услов мора бити испуњен за таласну дужину \( \lambda \) да би Планков закон прешао у Рејли–Џинсов закон зрачења?
Услов је да је таласна дужина зрачења веома велика (\( \lambda \to \infty \)), односно да је енергија кванта знатно мања од топлотне енергије: \( hc \ll \lambda kT \).
Таласна дужина \( \lambda_{max} \) на којој спектрална емисиона моћ достиже максимум одређује се из услова да је први извод функције по таласној дужини једнак нули: \( (e_{\lambda}(\lambda_{max}))' = 0 \).
Диференцира се Винов закон зрачења \( e_{\lambda} = C_1 \lambda^{-5} e^{-\frac{C_2}{\lambda T}} \) по \( \lambda \):
\[ (e_{\lambda})' = \frac{C_1}{\lambda^7 T} e^{-\frac{C_2}{\lambda T}} (-5\lambda T + C_2) \]
Изједначавањем извода са нулом за \( \lambda = \lambda_{max} \) добија се:
\[ -5\lambda_{max} T + C_2 = 0 \implies \lambda_{max} = \frac{C_2}{5T} \]
Пошто је \( C_2 = \frac{hc}{k} \), добија се теоријски облик Виновог закона померања:
\[ \lambda_{max} = \frac{hc}{5kT} = \frac{b}{T} \]
где је Винова константа \( b = \frac{hc}{5k} \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Колика је енергија кванта светлости чија је таласна дужина \( \lambda = 600 \text{ nm} \)? (Узети: \( h = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Js} \), \( c = 3 \cdot 10^8 \text{ m/s} \))
Претварањем таласне дужине у метре: \( \lambda = 600 \cdot 10^{-9} \text{ m} = 6 \cdot 10^{-7} \text{ m} \).
Користимо формулу за енергију кванта преко таласне дужине: \[ E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{6 \cdot 10^{-7}} = \frac{1,989 \cdot 10^{-25}}{6 \cdot 10^{-7}} \approx 3,315 \cdot 10^{-19} \text{ J} \]
Користимо формулу за енергију кванта преко таласне дужине: \[ E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{6 \cdot 10^{-7}} = \frac{1,989 \cdot 10^{-25}}{6 \cdot 10^{-7}} \approx 3,315 \cdot 10^{-19} \text{ J} \]
Задатак 2 (средњи): На основу теоријски изведене релације за Винову константу \( b = \frac{hc}{5k} \), одредити њену приближну вредност ако је \( h = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Js} \), \( c = 3 \cdot 10^8 \text{ m/s} \) и \( k = 1,38 \cdot 10^{-23} \text{ J/K} \).
Уврштавањем вредности константи у израз:
\[ b = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{5 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23}} = \frac{1,989 \cdot 10^{-25}}{6,9 \cdot 10^{-23}} \approx 0,288 \cdot 10^{-2} \text{ m}\cdot\text{K} = 2,88 \cdot 10^{-3} \text{ m}\cdot\text{K} \]
Задатак 3 (тежак): Показати да се за веома мале таласне дужине (\( hc \gg \lambda kT \)) именилац у Планковом закону \( e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1 \) може апроксимирати са \( e^{\frac{hc}{\lambda kT}} \), и објаснити физичко значење ове апроксимације у односу на класичне законе зрачења.
Када \( \lambda \to 0 \), однос \( \frac{hc}{\lambda kT} \to \infty \), што значи да експоненцијална функција \( e^{\frac{hc}{\lambda kT}} \) расте изузетно брзо и постаје знатно већа од броја 1 (\( e^{\frac{hc}{\lambda kT}} \gg 1 \)).
Због тога се јединица у имениоцу може занемарити: \[ e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1 \approx e^{\frac{hc}{\lambda kT}} \] Уврштавањем у Планков закон добија се Винов закон зрачења: \[ e_{\lambda} \approx \frac{2\pi c^2 h}{\lambda^5} e^{-\frac{hc}{\lambda kT}} \] Физичко значење: Ова апроксимација показује да се Планков закон у области кратких таласних дужина (високих фреквенција) своди на емпиријски Винов закон зрачења, чиме Планкова теорија успешно објашњава и класична посматрања у тој области.
Због тога се јединица у имениоцу може занемарити: \[ e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1 \approx e^{\frac{hc}{\lambda kT}} \] Уврштавањем у Планков закон добија се Винов закон зрачења: \[ e_{\lambda} \approx \frac{2\pi c^2 h}{\lambda^5} e^{-\frac{hc}{\lambda kT}} \] Физичко значење: Ова апроксимација показује да се Планков закон у области кратких таласних дужина (високих фреквенција) своди на емпиријски Винов закон зрачења, чиме Планкова теорија успешно објашњава и класична посматрања у тој области.
