Најважније из лекције
Кључни закључци:
- Таласна дужина материје: За нерелативистичке честице \( \lambda = \frac{h}{\sqrt{2mT}} \), док је за релативистичке \( \lambda = \frac{hc}{\sqrt{T(2E_0 + T)}} \).
- Дифракција честица: Електрони енергије неколико десетина \( \text{eV} \) имају таласну дужину реда \( 0,1\text{ nm} \), што је упоредиво са међуатомским растојањима у кристалима.
- Услов максимума: Дифракциони максимум при рефлексији од кристала одређен је релацијом \( n\lambda = d\sin\phi \).
- Експериментални доказ: Дејвисон и Џермер (1927) су расејањем снопа електрона од \( 54\text{ eV} \) на кристалу никла добили дифракциони максимум на \( 50^\circ \), што се поклопило са Де Бројевом теоријом и доказало таласну природу честица.
Свакој честици која се креће импулсом \( p \) придружује се талас таласне дужине \( \lambda = \frac{h}{p} \), где је \( h \) Планкова константа.
Нерелативистичка честица (\( T \ll E_0 \)):
\[ p = \sqrt{2mT} \implies \lambda = \frac{h}{\sqrt{2mT}} \]
\( m \) – маса честице, \( T \) – кинетичка енергија честице
Релативистичка честица (\( T \gtrsim E_0 \)):
\[ p = \frac{1}{c}\sqrt{T(2E_0 + T)} \implies \lambda = \frac{hc}{\sqrt{T(2E_0 + T)}} \]
\( E_0 = mc^2 \) – енергија мировања, \( c \) – брзина светлости у вакууму
Електрон убрзан напоном \( U = 50\text{ V} \) добија кинетичку енергију \( T_e = 50\text{ eV} \). Његова таласна дужина износи:
\[ \lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2m_e T_e}} \approx 0,17\text{ nm} \]
Ова вредност је истог реда величине као и међуатомско растојање у кристалима (\(\sim 0,1\text{ nm}\)) и таласна дужина рендгенских зрака.
Дифракција и интерференција настају када талас наиђе на препреку или отвор чије су димензије упоредиве са његовом таласном дужином. Пошто су таласне дужине нерелативистичких електрона упоредиве са растојањем између атома у кристалу, површина кристала делује као дифракциона решетка за сноп електрона.
Услов за конструктивну интерференцију (дифракциони максимум): путна разлика рефлектованих таласа мора бити једнака целом броју таласних дужина (\( \Delta s = n\lambda \)).
\[ n\lambda = d\sin\phi \]
\( d \) – константа кристалне решетке (међуатомско растојање), \( \phi \) – угао расејања (дифракције), \( n = 1, 2, 3\dots \) – ред дифракционог максимума
Амерички физичари Клинтон Дејвисон и Лестер Џермер су 1927. године експериментално доказали таласна својства електрона расејањем електронског снопа на кристалу никла.
Сноп електрона познате кинетичке енергије из електронског топа усмерава се на површину кристала никла константе решетке \( d = 0,215\text{ nm} \).
Покретни детектор мери интензитет расејаних електрона под различитим угловима \( \phi \).
За електроне кинетичке енергије \( T_e = 54\text{ eV} \) уочен је изражен први максимум (\( n = 1 \)) под углом \( \phi = 50^\circ \).
- Експериментална таласна дужина: \( \lambda = d\sin\phi = 0,215\text{ nm} \cdot \sin 50^\circ = 0,165\text{ nm} \)
- Теоријска Де Бројева таласна дужина: \( \lambda_e = \frac{h}{p_e} = \frac{h}{\sqrt{2m_e T_e}} = 0,167\text{ nm} \)
Де Бројеви таласи материје нису електромагнетни таласи јер се не простиру брзином светлости \( c \), већ брзином саме честице \( v \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунати угао под којим се јавља први дифракциони максимум (\( n = 1 \)) при дифракцији електрона таласне дужине \( \lambda = 0,1075\text{ nm} \) на кристалу чија је константа решетке \( d = 0,215\text{ nm} \).
Користимо формулу за дифракциони максимум:
\[ n\lambda = d\sin\phi \implies \sin\phi = \frac{n\lambda}{d} \]
За \( n = 1 \):
\[ \sin\phi = \frac{0,1075\text{ nm}}{0,215\text{ nm}} = 0,5 \]
\[ \phi = \arcsin(0,5) = 30^\circ \]
Одговор: Први дифракциони максимум се јавља под углом од \( 30^\circ \).
Задатак 2 (средњи): Приликом расејања снопа електрона на кристалу константе решетке \( d = 0,20\text{ nm} \), први дифракциони максимум регистрован је под углом \( \phi = 45^\circ \). Одредити импулс електрона у овом снопу. (\( h \approx 6,63 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} \), \( \sin 45^\circ \approx 0,707 \))
1. Из услова дифракције за \( n = 1 \) налазимо таласну дужину електрона:
\[ \lambda = d\sin\phi = 0,20 \cdot 10^{-9}\text{ m} \cdot 0,707 \approx 1,414 \cdot 10^{-10}\text{ m} = 0,1414\text{ nm} \]
2. Из Де Бројеве релације \( \lambda = \frac{h}{p} \) одређујемо импулс:
\[ p = \frac{h}{\lambda} = \frac{6,63 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}}{1,414 \cdot 10^{-10}\text{ m}} \approx 4,69 \cdot 10^{-24}\text{ kg}\cdot\text{m/s} \]
Одговор: Импулс електрона износи приближно \( 4,69 \cdot 10^{-24}\text{ kg}\cdot\text{m/s} \).
Задатак 3 (тежак): Електрон се креће са кинетичком енергијом \( T_e = 1\text{ MeV} \). Енергија мировања електрона износи \( E_{0e} = 0,511\text{ MeV} \). Објаснити зашто се таласна дужина овог електрона не сме рачунати нерелативистичком формулом и израчунати тачну релативистичку Де Бројеву таласну дужину. (\( hc \approx 1,24 \cdot 10^{-12}\text{ MeV}\cdot\text{m} \))
Пошто је кинетичка енергија електрона \( T_e = 1\text{ MeV} \) већа од његове енергије мировања \( E_{0e} = 0,511\text{ MeV} \), електрон се креће релативистичком брзином, па се класична веза \( p = \sqrt{2mT} \) не може применити.
Користимо релативистички израз за Де Бројеву таласну дужину: \[ \lambda_e = \frac{hc}{\sqrt{T_e(2E_{0e} + T_e)}} \] Уврштавањем датих вредности: \[ \lambda_e = \frac{1,24 \cdot 10^{-12}\text{ MeV}\cdot\text{m}}{\sqrt{1\text{ MeV} \cdot (2 \cdot 0,511\text{ MeV} + 1\text{ MeV})}} = \frac{1,24 \cdot 10^{-12}}{\sqrt{2,022}}\text{ m} \approx \frac{1,24 \cdot 10^{-12}}{1,422}\text{ m} \approx 0,87 \cdot 10^{-12}\text{ m} = 0,87\text{ pm} \] Одговор: Електрон је изразито релативистички, а његова релативистичка таласна дужина износи око \( 0,87\text{ pm} \) (односно \( 0,7\text{ fm} \) за ултрарелативистичке апроксимације).
Користимо релативистички израз за Де Бројеву таласну дужину: \[ \lambda_e = \frac{hc}{\sqrt{T_e(2E_{0e} + T_e)}} \] Уврштавањем датих вредности: \[ \lambda_e = \frac{1,24 \cdot 10^{-12}\text{ MeV}\cdot\text{m}}{\sqrt{1\text{ MeV} \cdot (2 \cdot 0,511\text{ MeV} + 1\text{ MeV})}} = \frac{1,24 \cdot 10^{-12}}{\sqrt{2,022}}\text{ m} \approx \frac{1,24 \cdot 10^{-12}}{1,422}\text{ m} \approx 0,87 \cdot 10^{-12}\text{ m} = 0,87\text{ pm} \] Одговор: Електрон је изразито релативистички, а његова релативистичка таласна дужина износи око \( 0,87\text{ pm} \) (односно \( 0,7\text{ fm} \) за ултрарелативистичке апроксимације).
