Најважније из лекције
Стојећи талас на орбити: Обим орбите мора бити целобројни умножак таласне дужине \( 2\pi r = n\lambda \), што природно објашњава Боров услов квантовања момента импулса \( L = n\hbar \).
Таласна дужина електрона: За нерелативистичке честице \( \lambda = \frac{h}{\sqrt{2mT}} \), а за релативистичке \( \lambda = \frac{hc}{\sqrt{T(2E_0+T)}} \).
Експериментални доказ: Пошто је таласна дужина електрона убрзаног напоном од неколико десетина волти (\( \sim 0{,}1\text{ nm} \)) упоредива са растојањем атома у кристалима, дифракција електрона на кристалима представља директну експерименталну потврду Де Бројеве хипотезе.
Таласна дужина електрона: За нерелативистичке честице \( \lambda = \frac{h}{\sqrt{2mT}} \), а за релативистичке \( \lambda = \frac{hc}{\sqrt{T(2E_0+T)}} \).
Експериментални доказ: Пошто је таласна дужина електрона убрзаног напоном од неколико десетина волти (\( \sim 0{,}1\text{ nm} \)) упоредива са растојањем атома у кристалима, дифракција електрона на кристалима представља директну експерименталну потврду Де Бројеве хипотезе.
Стационарно стање представља стабилну орбиту на којој електрон кружи око језгра без емисије електромагнетног зрачења.
По Де Бројевој хипотези, електрон на орбити испољава таласна својства. Орбита је стабилна само ако се на њој формира стојећи талас.
Услов за формирање стојећег таласа је да обим орбите садржи цео број \( n \) Де Бројевих таласних дужина \( \lambda_e \):
\[ 2\pi r = n \lambda_e = n \frac{h}{p_e} \quad (n = 1, 2, 3, \dots) \]
Квантовање момента импулса:
\[ L = r p_e = n \frac{h}{2\pi} = n\hbar \]
\( L \) – момент импулса електрона, \( \hbar = \frac{h}{2\pi} \) – редукована Планкова константа, \( n \) – главни квантни број.
Ако се електрон налази на четвртој стационарној орбити (\( n = 4 \)), колико таласних дужина стане на дужини обима те орбите?
Према услову стојећег таласа \( 2\pi r = n\lambda_e \), за \( n = 4 \) на обиму орбите формира се тачно \( 4 \) таласне дужине.
\( \lambda_e \) – Де Бројева таласна дужина, \( p_e \) – импулс, \( T_e \) – кинетичка енергија, \( E_{0e} = m_e c^2 \) – енергија мировања електрона.
1. Нерелативистички електрон (\( T_e \ll E_{0e} \)):
\[ p_e = \sqrt{2m_e T_e} \implies \lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2m_e T_e}} \]
2. Релативистички електрон (\( T_e \gtrsim E_{0e} \)):
\[ p_e = \frac{1}{c}\sqrt{T_e(2E_{0e} + T_e)} \implies \lambda_e = \frac{hc}{\sqrt{T_e(2E_{0e} + T_e)}} \]
За електрон убрзан напоном \( U = 50\text{ V} \), кинетичка енергија износи \( T_e = 50\text{ eV} \). Његова таласна дужина је:
\[ \lambda_e \approx 0{,}17\text{ nm} = 0{,}17 \cdot 10^{-9}\text{ m} \]
Ова таласна дужина спада у област рендгенског зрачења и упоредива је са међуатомским растојањима у кристалима.
Дифракција је типична таласна појава савијања таласа око препрека или при проласку кроз отворе.
Услов за запажање дифракције: димензије препреке или отвора морају бити приближно једнаке или упоредиве са таласном дужином таласа (\( d \approx \lambda \)).
Код макроскопских тела маса је велика, па је импулс велики, а таласна дужина \( \lambda = \frac{h}{p} \) занемарљиво мала и таласни ефекти се не могу уочити. Код електрона је \( \lambda_e \sim 0{,}1\text{ nm} \), што је упоредиво са међуатомским растојањима у кристалној решетки.
Кристална решетка делује као природна дифракциона решетка за сноп електрона, чиме се експериментално потврђује таласна природа честица (слично дифракцији рендгенских зрака).
Задаци за вежбање
Лак: Колики је момент импулса електрона у атому водоника када се налази у стационарном стању са квантним бројем \( n = 3 \)? Изразити резултат преко \( \hbar \).
Користимо формулу за квантовање момента импулса:
\[ L = n\hbar \]
За \( n = 3 \):
\[ L = 3\hbar \]
Средњи: Колико пута ће се променити Де Бројева таласна дужина нерелативистичког електрона ако се његова кинетичка енергија повећа 4 пута?
Таласна дужина нерелативистичког електрона сразмерна је \( \frac{1}{\sqrt{T}} \):
\[ \lambda_1 = \frac{h}{\sqrt{2m T_1}}, \quad \lambda_2 = \frac{h}{\sqrt{2m (4T_1)}} = \frac{h}{2\sqrt{2m T_1}} = \frac{\lambda_1}{2} \]
Одговор: Таласна дужина ће се смањити 2 пута.
Тежак: Полупречник прве Борове орбите електрона у атому водоника износи \( r_1 = 0{,}53 \cdot 10^{-10}\text{ m} \). Одредити Де Бројеву таласну дужину електрона на тој орбити.
У основном стању атома водоника је \( n = 1 \). Из услова за стојећи талас:
\[ 2\pi r_1 = n\lambda_e = 1 \cdot \lambda_e \implies \lambda_e = 2\pi r_1 \]
Заменом вредности добијамо:
\[ \lambda_e = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}53 \cdot 10^{-10}\text{ m} \approx 3{,}33 \cdot 10^{-10}\text{ m} = 0{,}333\text{ nm} \]
Одговор: Таласна дужина електрона на првој орбити износи \( 0{,}333\text{ nm} \).
