Најважније из лекције
Језгро и димензије: Састоји се од \(Z\) протона и \(N\) неутрона (\(A = Z + N\)). Полупречник је \(r = r_0 \sqrt[3]{A}\), а густина нуклеарне материје је константна (\(\sim 10^{17}\text{ kg/m}^3\)).
Дефект масе и стабилност: Маса језгра је мања од збира маса нуклеона: \(\Delta m = Z m_p + N m_n - m_{\text{jez}}\). Енергија везе је \(E_v = \Delta m c^2\), а стабилност одређује специфична енергија везе \(f = E_v / A\).
Нуклеарне силе: Јака интеракција, кратког домета (\(\approx 10^{-15}\text{ m}\)), набојно независна, показује засићење и спинску зависност.
Радиоактивни распад: Експоненцијални пад \(N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\), време полураспада \(T = \frac{\ln 2}{\lambda}\), активност \(A = \lambda N\) у бекерелима (\(\text{Bq}\)).
Фисија и фузија: Енергија реакције је \(Q = (m_{\text{ul}} - m_{\text{iz}})c^2\). Фисија је цепање тешких језгара (\(\sim 200\text{ MeV}\)), а фузија спајање лаких језгара на високим температурама уз још већи принос енергије по нуклеону.
Дефект масе и стабилност: Маса језгра је мања од збира маса нуклеона: \(\Delta m = Z m_p + N m_n - m_{\text{jez}}\). Енергија везе је \(E_v = \Delta m c^2\), а стабилност одређује специфична енергија везе \(f = E_v / A\).
Нуклеарне силе: Јака интеракција, кратког домета (\(\approx 10^{-15}\text{ m}\)), набојно независна, показује засићење и спинску зависност.
Радиоактивни распад: Експоненцијални пад \(N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\), време полураспада \(T = \frac{\ln 2}{\lambda}\), активност \(A = \lambda N\) у бекерелима (\(\text{Bq}\)).
Фисија и фузија: Енергија реакције је \(Q = (m_{\text{ul}} - m_{\text{iz}})c^2\). Фисија је цепање тешких језгара (\(\sim 200\text{ MeV}\)), а фузија спајање лаких језгара на високим температурама уз још већи принос енергије по нуклеону.
Атомско језгро је централни, позитивно наелектрисани део атома у којем је концентрисана готово целокупна маса атома. Састоји се од протона и неутрона, који се заједничким именом називају нуклеони.
Ознака језгра: \[ {}_{Z}^{A}\text{X} \]
где је:
• \(X\) – хемијски симбол елемента,
• \(Z\) – редни (атомски) број: број протона у језгру,
• \(A\) – масени број: укупан број нуклеона (\(A = Z + N\)),
• \(N = A - Z\) – број неутрона.
• \(X\) – хемијски симбол елемента,
• \(Z\) – редни (атомски) број: број протона у језгру,
• \(A\) – масени број: укупан број нуклеона (\(A = Z + N\)),
• \(N = A - Z\) – број неутрона.
Изотопи: Атоми истог хемијског елемента који имају исти број протона (\(Z\)), а различит број неутрона (различит масени број \(A\)). Пример: \({}^{35}\text{Cl}\) и \({}^{37}\text{Cl}\).
Изобари: Атоми различитих хемијских елемената који имају исти масени број (\(A\)), а различит редни број (\(Z\)).
Полупречник језгра:
\[ r = r_0 \sqrt[3]{A} \]
\(r_0 \approx 1,3 \cdot 10^{-15}\text{ m}\) – константа пропорционалности (приближан полупречник језгра водоника)
Густина нуклеарне материје је приближно константна за сва језгра и не зависи од масеног броја \(A\). Износи приближно \(\rho \approx 3 \cdot 10^{17}\text{ kg/m}^3\).
Колико је пута полупречник језгра урана \({}^{238}\text{U}\) већи од полупречника језгра водоника \({}^{1}\text{H}\)?
Користећи образац \(r = r_0 \sqrt[3]{A}\):
\[ \frac{r_{\text{U}}}{r_{\text{H}}} = \frac{r_0 \sqrt[3]{238}}{r_0 \sqrt[3]{1}} = \sqrt[3]{238} \approx 6,2 \]
Полупречник језгра урана је приближно \(6,2\) пута већи од полупречника језгра водоника.
Атомска јединица масе:
\[ 1\text{ u} = 1,67 \cdot 10^{-27}\text{ kg} \quad \Rightarrow \quad 1\text{ u} \cdot c^2 = 931,5\text{ MeV} \]
Дефект масе (\(\Delta m\)) је разлика између збира маса свих слободних нуклеона који чине језгро и стварне масе формираног језгра. Маса језгра је увек мања од збира маса његових саставних делова.
Дефект масе:
\[ \Delta m = Z \cdot m_p + (A - Z) \cdot m_n - m_{\text{jez}} \]
\(m_p\) – маса слободног протона, \(m_n\) – маса слободног неутрона, \(m_{\text{jez}}\) – маса језгра
Енергија везе (\(E_v\)) је енергија која се ослободи при спајању појединачних нуклеона у језгро, односно минимална енергија коју је потребно уложити да би се језгро раставило на појединачне слободне нуклеоне.
Енергија везе језгра:
\[ E_v = \Delta m \cdot c^2 \]
Специфична енергија везе (енергија везе по једном нуклеону):
\[ f = \frac{E_v}{A} \]
Специфична енергија везе \(f\) представља меру стабилности језгра. Што је \(f\) веће, језгро је стабилније. Највећу стабилност имају језгра средње масе (око \({}^{56}\text{Fe}\), где \(f \approx 8,8\text{ MeV/нуклеону}\)), док су врло лака и врло тешка језгра мање стабилна.
Нуклеарне силе (јака интеракција) су фундаменталне силе које делују између нуклеона у језгру и држе их на окупу упркос одбојним електростатичким (Кулоновим) силама између протона.
Основне особине нуклеарних сила:
- Најјаче силе у природи: Имају знатно већи интензитет од електромагнетних и гравитационих сила.
- Изузетно кратак домет: Делују само на растојањима реда величина језгра (\(\approx 10^{-15}\text{ m}\)). На већим растојањима брзо опадају на нулу.
- Одбојни карактер на врло малим растојањима: На растојањима мањим од \(10^{-15}\text{ m}\) постају одбојне, спречавајући колапс нуклеона једног у другог.
- Набојна независност: Подједнако делују између два протона (\(p\text{–}p\)), два неутрона (\(n\text{–}n\)), као и између протона и неутрона (\(p\text{–}n\)).
- Својство засићености: Један нуклеон интерагује само са ограниченим бројем нуклеона из своје непосредне околине.
- Спинска зависност: Интензитет силе зависи од међусобне оријентације спинова нуклеона (јаче су код паралелних спинова).
Радиоактивни распад је спонтана трансформација нестабилног језгра (претка) у ново језгро (потомак), праћена емисијом зрачења (\(\alpha\), \(\beta\) или \(\gamma\)). То је статистички процес описан експоненцијалним законом.
Закон радиоактивног распада:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
\(N_0\) – почетни број радиоактивних језгара у тренутку \(t = 0\), \(N(t)\) – број нераспаднутих језгара у тренутку \(t\), \(\lambda\) – константа распада (\(\text{s}^{-1}\))
Време полураспада (\(T\)):
\[ T = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0,693}{\lambda} \]
Време за које се број почетних радиоактивних језгара смањи на половину (\(N = N_0 / 2\)).
Активност радиоактивног извора (\(A\)):
\[ A(t) = \left| \frac{dN}{dt} \right| = \lambda N(t) = A_0 e^{-\lambda t} \]
Мерна јединица: Бекерел (\(1\text{ Bq} = 1\text{ распад/s}\)).
Радиоактивна равнотежа: Стање у радиоактивном низу када се активности претка и свих потомака изједначе:
\[ \lambda_1 N_1 = \lambda_2 N_2 = \lambda_3 N_3 = \dots \]
Јавља се када је језгро предак знатно дужег времена полураспада од језгара потомака.
• \(\alpha\)-зрачење: мали домет у ваздуху (\(< 10\text{ cm}\)), зауставља га лист папира.
• \(\beta\)-зрачење: зауставља га стакло или танак слој алуминијума.
• \(\gamma\)-зрачење: висока продорност; захтева баријере велике густине и дебљине (олово, армирани бетон).
• \(\beta\)-зрачење: зауставља га стакло или танак слој алуминијума.
• \(\gamma\)-зрачење: висока продорност; захтева баријере велике густине и дебљине (олово, армирани бетон).
Општи запис нуклеарне реакције:
\[ a + A \rightarrow B + b \quad \text{или} \quad A(a, b)B \]
\(A\) – језгро мета, \(a\) – пројектил (упадна честица), \(B\) – ново језгро, \(b\) – излазна лака честица
Енергетски биланс реакције (\(Q\)):
\[ Q = (m_a + m_A - m_B - m_b) \cdot c^2 \]
• \(Q > 0\) – егзотермна реакција (ослобађа се енергија),
• \(Q < 0\) – ендотермна реакција (одвија се само уз улагање кинетичке енергије пројектила).
• \(Q < 0\) – ендотермна реакција (одвија се само уз улагање кинетичке енергије пројектила).
Праг ендотермне нуклеарне реакције:
\[ E_{\text{praga}} = |Q| \left( 1 + \frac{m_a}{m_A} \right) \]
Нуклеарна фисија: Процес цепања тешког језгра (нпр. \({}^{235}\text{U}\)) на два језгра средње масе под дејством спорих неутрона, при чему се ослобађа \(2\) до \(3\) неутрона и енергија од \(\approx 200\text{ MeV}\) по једном распаду. Ослобођени неутрони могу изазвати ланчану реакцију.
Нуклеарна фузија: Процес спајања два лака атомска језгра (нпр. деутеријум и трицијум) у једно теже, стабилније језгро (хелијум). Одвија се на високим температурама (\(\sim 10^7\text{ K}\)) и ослобађа око четири пута више енергије по нуклеону него фисија.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Одредити број протона и број неутрона у језгру алуминијума \({}_{13}^{27}\text{Al}\), као и приближни полупречник овог језгра (\(r_0 = 1,3 \cdot 10^{-15}\text{ m}\)).
1. Број протона: \(Z = 13\).
2. Број неутрона: \(N = A - Z = 27 - 13 = 14\).
3. Полупречник језгра: \[ r = r_0 \sqrt[3]{A} = 1,3 \cdot 10^{-15}\text{ m} \cdot \sqrt[3]{27} = 1,3 \cdot 10^{-15} \cdot 3 = 3,9 \cdot 10^{-15}\text{ m} \]
2. Број неутрона: \(N = A - Z = 27 - 13 = 14\).
3. Полупречник језгра: \[ r = r_0 \sqrt[3]{A} = 1,3 \cdot 10^{-15}\text{ m} \cdot \sqrt[3]{27} = 1,3 \cdot 10^{-15} \cdot 3 = 3,9 \cdot 10^{-15}\text{ m} \]
Задатак 2 (средњи): Маса језгра хелијума \({}_{2}^{4}\text{He}\) износи \(4,0015\text{ u}\). Ако је маса протона \(m_p = 1,00728\text{ u}\), а маса неутрона \(m_n = 1,00866\text{ u}\), израчунати дефект масе, енергију везе и специфичну енергију везе језгра хелијума (\(1\text{ u} \cdot c^2 = 931,5\text{ MeV}\)).
1. Језгро има \(Z = 2\) протона и \(N = 4 - 2 = 2\) неутрона.
2. Дефект масе: \[ \Delta m = 2 \cdot 1,00728\text{ u} + 2 \cdot 1,00866\text{ u} - 4,0015\text{ u} = 2,01456\text{ u} + 2,01732\text{ u} - 4,0015\text{ u} = 0,03038\text{ u} \] 3. Енергија везе: \[ E_v = \Delta m \cdot 931,5\text{ MeV/u} = 0,03038 \cdot 931,5\text{ MeV} \approx 28,3\text{ MeV} \] 4. Специфична енергија везе по нуклеону: \[ f = \frac{E_v}{A} = \frac{28,3\text{ MeV}}{4} \approx 7,075\text{ MeV/нуклеону} \]
2. Дефект масе: \[ \Delta m = 2 \cdot 1,00728\text{ u} + 2 \cdot 1,00866\text{ u} - 4,0015\text{ u} = 2,01456\text{ u} + 2,01732\text{ u} - 4,0015\text{ u} = 0,03038\text{ u} \] 3. Енергија везе: \[ E_v = \Delta m \cdot 931,5\text{ MeV/u} = 0,03038 \cdot 931,5\text{ MeV} \approx 28,3\text{ MeV} \] 4. Специфична енергија везе по нуклеону: \[ f = \frac{E_v}{A} = \frac{28,3\text{ MeV}}{4} \approx 7,075\text{ MeV/нуклеону} \]
Задатак 3 (средњи): Константа распада одређеног радиоактивног изотопа износи \(\lambda = 1,44\text{ h}^{-1}\). После колико времена ће се распасти \(70\%\) почетне количине језгара у узорку?
Када се распадне \(70\%\), остаје \(30\%\) нераспаднутих језгара, што значи да је \(N(t) = 0,3 \cdot N_0\).
Примењујемо закон радиоактивног распада: \[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \implies 0,3 = e^{-\lambda t} \] Логаритмовањем обе стране: \[ \ln(0,3) = -\lambda t \implies t = -\frac{\ln(0,3)}{\lambda} = -\frac{-1,204}{1,44\text{ h}^{-1}} \approx 0,836\text{ h} \approx 50,2\text{ min} \]
Примењујемо закон радиоактивног распада: \[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \implies 0,3 = e^{-\lambda t} \] Логаритмовањем обе стране: \[ \ln(0,3) = -\lambda t \implies t = -\frac{\ln(0,3)}{\lambda} = -\frac{-1,204}{1,44\text{ h}^{-1}} \approx 0,836\text{ h} \approx 50,2\text{ min} \]
Задатак 4 (тежак): Израчунати енергетски биланс \(Q\) и енергију прага реакције:
\[ {}_{3}^{7}\text{Li} + {}_{1}^{1}\text{H} \rightarrow {}_{4}^{7}\text{Be} + {}_{0}^{1}\text{n} \]
ако су познате масе: \(m({}^{7}\text{Li}) = 7,01601\text{ u}\), \(m({}^{1}\text{H}) = 1,00783\text{ u}\), \(m({}^{7}\text{Be}) = 7,01693\text{ u}\), \(m({}^{1}\text{n}) = 1,00866\text{ u}\).
1. Разлика маса пре и после реакције:
\[ \Delta M = m({}^{7}\text{Li}) + m({}^{1}\text{H}) - m({}^{7}\text{Be}) - m({}^{1}\text{n}) \]
\[ \Delta M = 7,01601\text{ u} + 1,00783\text{ u} - 7,01693\text{ u} - 1,00866\text{ u} = -0,00175\text{ u} \]
2. Енергетски биланс:
\[ Q = -0,00175\text{ u} \cdot 931,5\text{ MeV/u} \approx -1,63\text{ MeV} \]
Пошто је \(Q < 0\), реакција је ендотермна.
3. Енергија прага реакције (\(m_a = m({}^{1}\text{H}) \approx 1\text{ u}\), \(m_A = m({}^{7}\text{Li}) \approx 7\text{ u}\)): \[ E_{\text{praga}} = |Q| \left( 1 + \frac{m({}^{1}\text{H})}{m({}^{7}\text{Li})} \right) = 1,63\text{ MeV} \cdot \left( 1 + \frac{1,00783}{7,01601} \right) \approx 1,63 \cdot 1,1436 \approx 1,86\text{ MeV} \]
3. Енергија прага реакције (\(m_a = m({}^{1}\text{H}) \approx 1\text{ u}\), \(m_A = m({}^{7}\text{Li}) \approx 7\text{ u}\)): \[ E_{\text{praga}} = |Q| \left( 1 + \frac{m({}^{1}\text{H})}{m({}^{7}\text{Li})} \right) = 1,63\text{ MeV} \cdot \left( 1 + \frac{1,00783}{7,01601} \right) \approx 1,63 \cdot 1,1436 \approx 1,86\text{ MeV} \]
