Најважније из лекције
Квантни бројеви: Стање електрона у атому водоника дефинисано је бројевима \( n \) (\( 1, 2, 3\dots \)), \( l \) (\( 0 \le l \le n-1 \)) и \( m \) (\( -l \le m \le l \)).
Орбитални момент импулса: \( L = \hbar \sqrt{l(l+1)} \). За \( l = 0 \implies L = 0 \).
Просторно квантовање: Пројекција момента импулса је дискретна: \( L_z = m\hbar \).
Орбитални магнетни момент: \( \mu_l = \mu_B \sqrt{l(l+1)} \), а његова пројекција је \( \mu_{lz} = m\mu_B \), где је \( \mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e} \approx 9{,}27 \cdot 10^{-24} \text{ J/T} \) (Боров магнетон). Вектори \( \vec{\mu}_l \) и \( \vec{L} \) су супротно оријентисани.
Таласна природа: Електрон нема класичну трајекторију; стање у атому описује се расподелом вероватноће налажења (орбиталом).
Орбитални момент импулса: \( L = \hbar \sqrt{l(l+1)} \). За \( l = 0 \implies L = 0 \).
Просторно квантовање: Пројекција момента импулса је дискретна: \( L_z = m\hbar \).
Орбитални магнетни момент: \( \mu_l = \mu_B \sqrt{l(l+1)} \), а његова пројекција је \( \mu_{lz} = m\mu_B \), где је \( \mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e} \approx 9{,}27 \cdot 10^{-24} \text{ J/T} \) (Боров магнетон). Вектори \( \vec{\mu}_l \) и \( \vec{L} \) су супротно оријентисани.
Таласна природа: Електрон нема класичну трајекторију; стање у атому описује се расподелом вероватноће налажења (орбиталом).
Атом водоника је најједноставнији и сферносиметричан систем са Кулоновим потенцијалом обрнуто сразмерним растојању (\( V \propto \frac{1}{r} \)), због чега се његова стања прецизно описују решењима Шредингерове једначине.
Стање електрона у атому водоника је одређено са три квантна броја:
- Главни квантни број (\( n \)): Одређује енергетски ниво (љуску) у атому. Може узимати вредности: \[ n \in \{1, 2, 3, \dots\} \]
- Орбитални (споредни) квантни број (\( l \)): Одређује енергетски подниво и момент импулса електрона. Узима целобројне вредности од \( 0 \) до \( n-1 \): \[ l \in \{0, 1, 2, \dots, n-1\} \]
- Магнетни квантни број (\( m \)): Одређује просторну усмереност подорбитала (просторно квантовање). Зависи од \( l \) и узима целобројне вредности у интервалу: \[ m \in \{-l, -l+1, \dots, 0, \dots, l-1, l\} \]
Ознаке стања према вредности орбиталног квантног броја:
| Вредност \( l \) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Спектроскопска ознака | \( s \) | \( p \) | \( d \) | \( f \) |
Момент импулса електрона у квантној механици добија се из решења Шредингерове једначине и квантован је преко орбиталног квантног броја \( l \).
\[ L = \hbar \sqrt{l(l+1)} \]
где је \( \hbar = \frac{h}{2\pi} \) редукована Планкова константа, а \( l \) орбитални квантни број.
За разлику од Боровог модела, квантна механика допушта вредност \( l = 0 \), при чему је \( L = 0 \), што не значи да електрон пада у језгро, већ да се налази у сферносиметричном стању без орбиталне ротације.
Просторно квантовање: Правац вектора момента импулса \( \vec{L} \) не може бити произвољан, већ његова пројекција на изабрани правац у простору (обично правац спољашњег магнетног поља, \( z \)-оса) може узимати само дискретне вредности.
\[ L_z = m\hbar \]
где магнетни квантни број \( m \) узима \( 2l + 1 \) различитих вредности.
Кретање електрона по орбити представља струјну контуру која ствара сопствени орбитални магнетни момент \( \mu_l \).
\[ \mu_l = \frac{e}{2m_e} L = \frac{e\hbar}{2m_e}\sqrt{l(l+1)} = \mu_B \sqrt{l(l+1)} \]
где је \( e \) наелектрисање електрона, \( m_e \) маса електрона, а \( \mu_B \) Боров магнетон.
Боров магнетон (\( \mu_B \)): Основна природна јединица за мерење атомских магнетних момената.
\[ \mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e} \approx 9{,}27 \cdot 10^{-24} \text{ J/T} \]
Правци вектора магнетног момента \( \vec{\mu}_l \) и момента импулса \( \vec{L} \) су исти, али су им смерови супротни због негативног наелектрисања електрона.
\[ \mu_{lz} = m \mu_B \]
Пројекција магнетног момента на правац спољашњег поља зависи директно од магнетног квантног броја \( m \).
Класична представа о тачно одређеним путањама (орбитама) електрона у атому је само приближни модел који не описује реално физичко стање.
Због таласне природе честица, положај и путања електрона у атому не могу се истовремено тачно одредити. Квантна механика преко Шредингерове једначине описује само вероватноћу налажења електрона у одређеној запремини простора око језгра (електронски облак / орбитала).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Колико различитих вредности може имати магнетни квантни број \( m \) за електрон који се налази у \( d \)-стању (\( l = 2 \))? Навести све дозвољене вредности.
Магнетни квантни број узима вредности од \( -l \) до \( +l \).
За \( l = 2 \), могуће вредности су: \[ m \in \{-2, -1, 0, 1, 2\} \] Број могућих вредности је \( 2l + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 5 \).
За \( l = 2 \), могуће вредности су: \[ m \in \{-2, -1, 0, 1, 2\} \] Број могућих вредности је \( 2l + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 5 \).
Задатак 2 (средњи): Израчунати интензитет орбиталног момента импулса \( L \) електрона у \( p \)-стању (\( l = 1 \)). Резултат изразити преко редуковане Планкове константе \( \hbar \).
Формула за интензитет орбиталног момента импулса гласи:
\[ L = \hbar \sqrt{l(l+1)} \]
За \( p \)-стање важи \( l = 1 \):
\[ L = \hbar \sqrt{1(1+1)} = \hbar \sqrt{2} \approx 1{,}414 \, \hbar \]
Задатак 3 (средњи/тежак): За енергетски ниво \( n = 3 \), одредити све могуће вредности орбиталног квантног броја \( l \), а затим одредити максималну могућу вредност пројекције магнетног момента \( \mu_{lz} \) на правац спољашњег поља.
1. За \( n = 3 \), вредности орбиталног квантног броја \( l \) су:
\[ l \in \{0, 1, 2\} \]
2. За највећу вредност \( l = 2 \) (\( d \)-подниво), магнетни квантни број \( m \) може бити максимално \( m_{\text{max}} = +2 \).
3. Пројекција магнетног момента рачуна се по формули: \[ \mu_{lz} = m \mu_B \] Максимална вредност је за \( m = +2 \): \[ \mu_{lz,\text{max}} = 2\mu_B \]
3. Пројекција магнетног момента рачуна се по формули: \[ \mu_{lz} = m \mu_B \] Максимална вредност је за \( m = +2 \): \[ \mu_{lz,\text{max}} = 2\mu_B \]
Задатак 4 (тежак): Електрон се налази у стању са \( l = 3 \). Одредити:
а) Интензитет орбиталног момента импулса \( L \);
б) Максималну могућу пројекцију тог момента \( L_z \);
в) Интензитет орбиталног магнетног момента \( \mu_l \) изражен преко \( \mu_B \).
а) Интензитет орбиталног момента импулса \( L \);
б) Максималну могућу пројекцију тог момента \( L_z \);
в) Интензитет орбиталног магнетног момента \( \mu_l \) изражен преко \( \mu_B \).
За стање са \( l = 3 \) (\( f \)-стање):
а) Интензитет момента импулса: \[ L = \hbar \sqrt{l(l+1)} = \hbar \sqrt{3(3+1)} = \hbar \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\,\hbar \] б) Максимална пројекција на \( z \)-осу одговара највећој вредности \( m = 3 \): \[ L_{z,\text{max}} = m_{\text{max}} \hbar = 3\hbar \] в) Интензитет орбиталног магнетног момента: \[ \mu_l = \mu_B \sqrt{l(l+1)} = \mu_B \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\,\mu_B \]
а) Интензитет момента импулса: \[ L = \hbar \sqrt{l(l+1)} = \hbar \sqrt{3(3+1)} = \hbar \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\,\hbar \] б) Максимална пројекција на \( z \)-осу одговара највећој вредности \( m = 3 \): \[ L_{z,\text{max}} = m_{\text{max}} \hbar = 3\hbar \] в) Интензитет орбиталног магнетног момента: \[ \mu_l = \mu_B \sqrt{l(l+1)} = \mu_B \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\,\mu_B \]
