Најважније из лекције
Слободна честица: Има непрекидну енергију \( E > 0 \) и константну густину вероватноће \( |\psi(x,t)|^2 = A^2 \) у целокупном простору.
Бесконачно дубока јама: Заробљавање честице унутар ширине \( L \) намеће граничне услове \( \psi(0) = \psi(L) = 0 \), што доводи до формирања стојећих таласа и дискретних вредности физичких величина.
Таласне функције и квантизација: \[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \quad E_n = n^2 \frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2} = n^2 E_1 \quad (n = 1, 2, 3, \dots) \]
Зрачење: Преласком честице са нивоа \( k \) на ниво \( n \) (\( k > n \)) ослобађа се фотон фреквенције \( \nu = \frac{E_k - E_n}{h} \).
Хармонијски осцилатор: Описан је параболичним потенцијалом \( V(x) = \frac{1}{2}kx^2 \).
Бесконачно дубока јама: Заробљавање честице унутар ширине \( L \) намеће граничне услове \( \psi(0) = \psi(L) = 0 \), што доводи до формирања стојећих таласа и дискретних вредности физичких величина.
Таласне функције и квантизација: \[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \quad E_n = n^2 \frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2} = n^2 E_1 \quad (n = 1, 2, 3, \dots) \]
Зрачење: Преласком честице са нивоа \( k \) на ниво \( n \) (\( k > n \)) ослобађа се фотон фреквенције \( \nu = \frac{E_k - E_n}{h} \).
Хармонијски осцилатор: Описан је параболичним потенцијалом \( V(x) = \frac{1}{2}kx^2 \).
Слободна честица се описује комплексном таласном функцијом равнинског таласа која зависи од координате и времена. Њена укупна енергија је позитивна и континуална (\( E > 0 \)).
\[ \psi(x,t) = A\big(\cos(\omega t - kx) + i\sin(\omega t - kx)\big) \]
\( A \) – амплитуда таласне функције, \( \omega \) – кружна фреквенција, \( k \) – таласни број
Густина вероватноће налажења слободне честице у простору је константна у свим тачкама:
\[ |\psi(x,t)|^2 = A^2 \implies dP = |\psi(x,t)|^2 dx = A^2 dx \]
То значи да је једнако вероватно да се слободна честица нађе у било којој тачки \( x \)-осе.
Питање: Зашто вероватноћа налажења слободне честице не зависи од координате \( x \)?
Квадрат модула комплексне таласне функције \( |\psi(x,t)|^2 \) се множењем са њеном коњуговано-комплексном вредношћу своди на \( A^2(\cos^2(\dots) + \sin^2(\dots)) = A^2 \), што не зависи од положаја \( x \) ни од времена \( t \).
Једнодимензионална бесконачно дубока потенцијална јама ширине \( L \) представља простор у коме честица може слободно да се креће између непробојних зидова (\( 0 \le x \le L \)).
\[ V(x) = \begin{cases} 0, & 0 \le x \le L \\ \infty, & x < 0, \; x > L \end{cases} \]
\( V(x) \) – потенцијална енергија честице дуж \( x \)-осе, \( L \) – ширина јаме
Пошто је за излазак из јаме потребна бесконачна енергија, честица не може постојати ван ње. Због услова непрекидности таласне функције, на самим границама јаме важи:
\[ \psi(0) = 0 \quad \text{и} \quad \psi(L) = 0 \]
Унутар јаме честица се понаша као стојећи талас, те је њена таласна функција независна од времена.
Решавањем Шредингерове једначине уз граничне услове и услов нормирања (\( \int_0^L |\psi(x)|^2 dx = 1 \)) добијају се својствене таласне функције и квантизоване вредности енергије.
\[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \quad n = 1, 2, 3, \dots \]
\[ E_n = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2} n^2 = n^2 E_1, \quad n = 1, 2, 3, \dots \]
\( n \) – главни квантни број (одређује стање), \( m \) – маса честице, \( \hbar = \frac{h}{2\pi} \) – редукована Планкова константа
Густина вероватноће налажења честице у стању \( n \) на растојању \( x \):
\[ |\psi_n(x)|^2 = \frac{2}{L} \sin^2\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \]
| Стање (\( n \)) | Таласна функција \( \psi_n(x) \) | Густина вероватноће \( |\psi_n(x)|^2 \) | Енергија \( E_n \) |
|---|---|---|---|
| \( n = 1 \) (основно) | \( \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{\pi x}{L} \) | \( \frac{2}{L}\sin^2\frac{\pi x}{L} \) | \( E_1 = 1^2 \frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2} \) |
| \( n = 2 \) (прво побуђено) | \( \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{2\pi x}{L} \) | \( \frac{2}{L}\sin^2\frac{2\pi x}{L} \) | \( E_2 = 4 E_1 \) |
| \( n = 3 \) (друго побуђено) | \( \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{3\pi x}{L} \) | \( \frac{2}{L}\sin^2\frac{3\pi x}{L} \) | \( E_3 = 9 E_1 \) |
Задатак: Где је највећа вероватноћа налажења честице у основном стању (\( n = 1 \)) унутар јаме ширине \( L \)?
Густина вероватноће је \( |\psi_1(x)|^2 = \frac{2}{L}\sin^2\left(\frac{\pi x}{L}\right) \). Функција \( \sin^2 \) достиже максималну вредност \( 1 \) када је \( \frac{\pi x}{L} = \frac{\pi}{2} \), односно на средини јаме \( x = \frac{L}{2} \).
При преласку честице са вишег енергетског нивоа \( E_k \) на нижи енергетски ниво \( E_n \), емитује се фотон чија је енергија једнака разлици енергија тих стационарних стања:
\[ E_f = \Delta E = E_k - E_n = h\nu \implies \nu = \frac{E_k - E_n}{h} \]
Ако протон прелази из првог побуђеног стања (\( n = 2 \)) у основно стање (\( n = 1 \)) унутар језгра dimenzija \( L \sim 10^{-14}\text{ m} \), емитује се фотон енергије \( \Delta E = E_2 - E_1 = 3 E_1 \), што одговара фреквенцији гама зрачења (\( \nu \sim 10^{21}\text{ Hz} \)).
Квантни линеарни хармонијски осцилатор: Систем код кога се потенцијална енергија мења по квадратном закону \( V(x) = \frac{1}{2}kx^2 \), где је \( k \) константа еластичности. Овај модел се користи за опис система чије физичке величине периодично осцилују око равнотежног положаја.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Енергија честице у основном стању унутар бесконачно дубоке потенцијалне јаме износи \( E_1 = 2\text{ eV} \). Колика је енергија честице у другом побуђеном стању (\( n = 3 \))?
Енергија на \( n \)-том нивоу сразмерна је квадрату броја \( n \):
\[ E_n = n^2 E_1 \]
За друго побуђено стање \( n = 3 \):
\[ E_3 = 3^2 \cdot E_1 = 9 \cdot 2\text{ eV} = 18\text{ eV} \]
Задатак 2 (средњи): Електрон се налази у бесконачно дубокој потенцијалној јами. При преласку електрона са нивоа \( n = 3 \) на ниво \( n = 1 \) емитован је фотон енергије \( 16\text{ eV} \). Колика је енергија основног стања \( E_1 \) тог електрона?
Енергија емитованог фотона једнака је разлици енергетских нивоа:
\[ \Delta E = E_3 - E_1 = 3^2 E_1 - 1^2 E_1 = (9 - 1)E_1 = 8 E_1 \]
Одавде следи:
\[ E_1 = \frac{\Delta E}{8} = \frac{16\text{ eV}}{8} = 2\text{ eV} \]
Задатак 3 (тежак): Како се односе фреквенције емитованих фотона када честица у бесконачно дубокој јами прелази из стања \( n = 3 \) у стање \( n = 2 \), у односу на прелаз из стања \( n = 2 \) у основно стање \( n = 1 \)?
Фреквенција фотона је пропорционална разлици енергија: \( \nu = \frac{\Delta E}{h} \).
За прелаз \( 3 \to 2 \): \[ \Delta E_{3 \to 2} = E_3 - E_2 = (3^2 - 2^2)E_1 = (9 - 4)E_1 = 5E_1 \implies \nu_{3 \to 2} = \frac{5E_1}{h} \] За прелаз \( 2 \to 1 \): \[ \Delta E_{2 \to 1} = E_2 - E_1 = (2^2 - 1^2)E_1 = (4 - 1)E_1 = 3E_1 \implies \nu_{2 \to 1} = \frac{3E_1}{h} \] Однос фреквенција је: \[ \frac{\nu_{3 \to 2}}{\nu_{2 \to 1}} = \frac{5E_1}{3E_1} = \frac{5}{3} \approx 1{,}67 \]
За прелаз \( 3 \to 2 \): \[ \Delta E_{3 \to 2} = E_3 - E_2 = (3^2 - 2^2)E_1 = (9 - 4)E_1 = 5E_1 \implies \nu_{3 \to 2} = \frac{5E_1}{h} \] За прелаз \( 2 \to 1 \): \[ \Delta E_{2 \to 1} = E_2 - E_1 = (2^2 - 1^2)E_1 = (4 - 1)E_1 = 3E_1 \implies \nu_{2 \to 1} = \frac{3E_1}{h} \] Однос фреквенција је: \[ \frac{\nu_{3 \to 2}}{\nu_{2 \to 1}} = \frac{5E_1}{3E_1} = \frac{5}{3} \approx 1{,}67 \]
