Најважније из лекције
- Физички смисао таласне функције: Сама функција \( \psi \) нема директно мерљив физички смисао, али квадрат њеног модула \( |\psi|^2 \) представља густину вероватноће налажења честице у простору (\( dP = |\psi|^2 dV \)).
- Услови за таласну функцију: Мора бити непрекидна, коначна (не сме да дивергира) и нормирана на јединицу (укупна вероватноћа је 1).
- Слободна честица (\( V = 0 \)): Описује се равним таласом са \( k = \frac{p}{\hbar} \) и \( \omega = \frac{E}{\hbar} \). Њена густина вероватноће је константна (\( |\psi|^2 = A^2 \)), што значи потпуну просторну неодређеност.
- Бесконачно дубока јама: За \( 0 \le x \le L \) је \( V = 0 \), а ван тога \( V = \infty \). Гранични услови налажу да је \( \psi(0) = \psi(L) = 0 \), а честица у јами формира стојећи талас.
Густина вероватноће: Квадрат модула таласне функције \( |\psi(\vec{r}, t)|^2 \) представља густину вероватноће налажења честице у тачки одређеној вектором положаја \( \vec{r} \) у тренутку \( t \).
\[ dP = |\psi(\vec{r}, t)|^2 dV \]
\( dP \) – вероватноћа налажења честице унутар елемента запремине \( dV \)
Услов нормираности: Збир свих вероватноћа \( dP \) по целокупном простору једнак је \( 1 \), јер се честица сигурно налази негде у простору. Каже се да је таласна функција нормирана на јединицу.
Таласна функција мора да испуњава два основна математичка услова:
- мора бити непрекидна у целом простору,
- не сме да дивергира (мора имати коначне вредности како би се могла нормирати).
Решавањем Шредингерове једначине добијају се својствене таласне функције \( \psi_i \) и њима одговарајуће својствене енергије \( E_i \).
Слободна честица се креће дуж \( x \)-осе без дејства спољашњих сила, па је њена потенцијална енергија \( V(x) = 0 \), а укупна енергија једнака кинетичкој (\( E > 0 \)). Креће се константним импулсом \( p \).
Таласни број и кружна фреквенција придруженог де Бројевог таласа:
\[ k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{p}{\hbar}, \quad \omega = 2\pi\nu = \frac{E}{\hbar} \]
Таласна функција слободне честице:
\[ \psi(x, t) = A\left(\cos(\omega t - kx) + i\sin(\omega t - kx)\right) \]
Густина вероватноће и вероватноћа налажења:
\[ |\psi(x, t)|^2 = A^2 \implies dP = A^2 dx \]
Густина вероватноће \( |\psi(x, t)|^2 = A^2 \) је константна и не зависи од координате \( x \). То значи да је подједнако вероватно да се слободна честица нађе у било којој тачки простора.
Једнодимензионална бесконачно дубока потенцијална јама: Простор ширине \( L \) у којем честица може слободно да се креће (\( V = 0 \)), док су зидови јаме бесконачно високи (\( V \to \infty \)), што честицу трајно задржава унутар јаме.
Профил потенцијалне енергије:
\[ V(x) = \begin{cases} 0, & 0 \le x \le L \\ \infty, & x < 0, \; x > L \end{cases} \]
Гранични услови: Честица не може да продре ван јаме јер би за то била потребна бесконачно велика енергија. Због тога је таласна функција честице ван јаме и на њеним границама једнака нули:
\[ \psi(x) = 0 \quad \text{за} \quad x \le 0 \quad \text{и} \quad x \ge L \]
Унутар потенцијалне јаме честица се понаша као стојећи талас.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Квадрат модула таласне функције честице у једнодимензионом систему износи \( |\psi(x)|^2 = 2 \text{ m}^{-1} \) на интервалу од \( x = 0 \) до \( x = 0{,}5 \text{ m} \). Колика је вероватноћа \( P \) да се честица нађе у том делу простора?
Вероватноћа се рачуна множењем густине вероватноће и дужине интервала:
\[ P = |\psi|^2 \cdot \Delta x = 2 \text{ m}^{-1} \cdot 0{,}5 \text{ m} = 1 \]
Одговор: Вероватноћа налажења честице на том интервалу износи \( 1 \) (или \( 100\% \)).
Задатак 2 (средњи): Слободна честица масе \( m \) има импулс \( p \). Како гласе њен таласни број \( k \) и кружна фреквенција \( \omega \) изражени преко редуковане Планкове константе \( \hbar \), масе \( m \) и импулса \( p \)?
1. Таласни број:
\[ k = \frac{p}{\hbar} \]
2. Пошто је честица слободна, њена укупна енергија је кинетичка: \( E = \frac{p^2}{2m} \).
3. Кружна фреквенција је:
\[ \omega = \frac{E}{\hbar} = \frac{p^2}{2m\hbar} \]
Задатак 3 (тежак): На основу особина таласне функције и дефиниције бесконачно дубоке потенцијалне јаме ширине \( L \), објаснити зашто мора важити \( \psi(0) = 0 \) и \( \psi(L) = 0 \).
1. Физички разлог: Ван јаме (\( x < 0 \) и \( x > L \)) потенцијална енергија је бесконачна, па је вероватноћа налажења честице тамо једнака нули, одакле следи да је \( \psi(x) = 0 \) за све тачке ван јаме.
2. Математички услов: Таласна функција мора бити непрекидна у свакој тачки простора. Да би функција била непрекидна на прелазима \( x = 0 \) и \( x = L \), вредност таласне функције са унутрашње стране јаме на самим границама мора се поклопити са спољашњом вредношћу (нулом): \[ \psi(0) = 0 \quad \text{и} \quad \psi(L) = 0 \]
2. Математички услов: Таласна функција мора бити непрекидна у свакој тачки простора. Да би функција била непрекидна на прелазима \( x = 0 \) и \( x = L \), вредност таласне функције са унутрашње стране јаме на самим границама мора се поклопити са спољашњом вредношћу (нулом): \[ \psi(0) = 0 \quad \text{и} \quad \psi(L) = 0 \]
