Најважније из лекције
Састав језгра: Протони (\(Z\)) и неутрони (\(N\)), укупно нуклеони (\(A = Z + N\)). Ознака: \({}_{Z}^{A}\text{X}\).
Изотопи и изобари: Изотопи имају исто \(Z\), а различито \(A\); изобари имају различито \(Z\), а исто \(A\).
Полупречник и густина: \(r = r_0 \sqrt[3]{A}\) (\(r_0 \approx 1,3 \cdot 10^{-15}\text{ m}\)); густина језгра је константна за сва језгра.
Дефект масе: \(\Delta m = Z m_p + (A - Z) m_n - m_{\text{jez}}\) (маса језгра је увек мања од збира маса његових слободних нуклеона).
Енергија везе: \(E_v = \Delta m \cdot c^2\) (уз \(1\text{ u} \cdot c^2 = 931,5\text{ MeV}\)).
Стабилност: Одређена је специфичном енергијом везе \(f = \frac{E_v}{A}\); веће \(f\) значи већу стабилност језгра.
Изотопи и изобари: Изотопи имају исто \(Z\), а различито \(A\); изобари имају различито \(Z\), а исто \(A\).
Полупречник и густина: \(r = r_0 \sqrt[3]{A}\) (\(r_0 \approx 1,3 \cdot 10^{-15}\text{ m}\)); густина језгра је константна за сва језгра.
Дефект масе: \(\Delta m = Z m_p + (A - Z) m_n - m_{\text{jez}}\) (маса језгра је увек мања од збира маса његових слободних нуклеона).
Енергија везе: \(E_v = \Delta m \cdot c^2\) (уз \(1\text{ u} \cdot c^2 = 931,5\text{ MeV}\)).
Стабилност: Одређена је специфичном енергијом везе \(f = \frac{E_v}{A}\); веће \(f\) значи већу стабилност језгра.
Језгро (nucleus) је централни део атома у коме је концентрисана готово целокупна маса и целокупно позитивно наелектрисање атома. Сачињено је од протона и неутрона који се заједничким именом називају нуклеони.
Ознаке:
- \(Z\) – редни (атомски) број: број протона у језгру (одређује хемијску врсту атома и наелектрисање језгра).
- \(N\) – неутронски број: број неутрона у језгру (\(N = A - Z\)).
- \(A\) – масени број: укупан број нуклеона у језгру (\(A = Z + N\)).
Симболички запис језгра:
\[ {}_{Z}^{A}\text{X} \]
где је \(\text{X}\) хемијски симбол елемента.
Изотопи: Атоми истог хемијског елемента који имају исти редни број \(Z\), а различит масени број \(A\) (различит број неутрона). Пример: хлор се у природи јавља као \({}_{17}^{35}\text{Cl}\) и \({}_{17}^{37}\text{Cl}\).
Изобари: Атоми различитих хемијских елемената који имају различит редни број \(Z\), али исти масени број \(A\).
Одредити број протона, неутрона и нуклеона у језгру угљеника \({}_{6}^{14}\text{C}\).
Редни број је \(Z = 6\) (број протона).
Масени број је \(A = 14\) (укупан број нуклеона).
Број неутрона је \(N = A - Z = 14 - 6 = 8\).
Масени број је \(A = 14\) (укупан број нуклеона).
Број неутрона је \(N = A - Z = 14 - 6 = 8\).
Димензије језгра су неколико редова величина мање од димензија целог атома. Док је пречник атома реда величине \(10^{-10}\text{ m}\), пречник језгра је у распону од \(10^{-15}\text{ m}\) до \(10^{-14}\text{ m}\).
Полупречник атомског језгра (уз претпоставку сферног облика):
\[ r = r_0 \sqrt[3]{A} \]
где је \(A\) масени број, а \(r_0 \approx 1,3 \cdot 10^{-15}\text{ m}\) константа (приближно полупречник најлакшег језгра).
Густина нуклеарне материје: Пошто је маса језгра сразмерна броју нуклеона (\(m \sim A\)), а запремина сразмерна трећем степену полупречника (\(V \sim r^3 \sim A\)), количник масе и запремине \(\rho = \frac{m}{V}\) је независан од масеног броја. То значи да је густина језгра приближно једнака за сва језгра у природи.
Колико пута је полупречник језгра са масеним бројем \(A = 64\) већи од полупречника језгра са масеним бројем \(A = 8\)?
Однос полупречника је:
\[ \frac{r_1}{r_2} = \frac{r_0 \sqrt[3]{64}}{r_0 \sqrt[3]{8}} = \frac{4}{2} = 2 \]
Полупречник је већи \(2\) пута.
Унификована атомска јединица масе (\(\text{u}\)): Дефинише се као \(\frac{1}{12}\) масе атома угљениковог изотопа \({}_{6}^{12}\text{C}\):
\[ 1\text{ u} = 1,67 \cdot 10^{-27}\text{ kg} \]
Енергетски еквивалент атомске јединице масе износи:
\[ 1\text{ u} \cdot c^2 = 931,5\text{ MeV} \]
Маса неутрона (\(m_n\)) је нешто мало већа од масе протона (\(m_p\)).
Дефект масе (\(\Delta m\)): Маса сваког стабилног језгра увек је мања од збира маса слободних нуклеона који улазе у његов састав. Разлика између укупне масе свих појединачних нуклеона и стварне масе језгра назива се дефект масе.
Дефект масе:
\[ \Delta m = Z \cdot m_p + (A - Z) \cdot m_n - m_{\text{jez}} \]
где је \(m_p\) маса протона, \(m_n\) маса неутрона, а \(m_{\text{jez}}\) маса језгра.
Енергија везе језгра (\(E_v\)): Енергија која се ослобађа приликом спајања слободних нуклеона у језгро, односно минимална енергија коју је потребно уложити споља да би се језгро раздвојило на слободне протоне и неутроне.
Енергија везе (према Ајнштајновој релацији):
\[ E_v = \Delta m \cdot c^2 \]
Специфична енергија везе (\(f\)): Енергија везе по једном нуклеону. Представља главно мерило стабилности атомског језгра. Што је специфична енергија везе већа, то је језгро стабилније.
Специфична енергија везе:
\[ f = \frac{E_v}{A} \]
где је \(E_v\) енергија везе, а \(A\) укупан број нуклеона.
Тежа језгра (језгра са великим масеним бројем \(A\)) имају мању специфичну енергију везе и самим тим су нестабилнија од језгара средње масе.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Језгро хелијума садржи 2 протона и 2 неутрона. Написати симболичку ознаку овог језгра и одредити његов масени број.
Редни број (број протона) је \(Z = 2\).
Број неутрона је \(N = 2\).
Масени број је \(A = Z + N = 2 + 2 = 4\).
Ознака је: \({}_{2}^{4}\text{He}\).
Број неутрона је \(N = 2\).
Масени број је \(A = Z + N = 2 + 2 = 4\).
Ознака је: \({}_{2}^{4}\text{He}\).
Задатак 2 (средњи): Израчунати приближни полупречник језгра алуминијума \({}_{13}^{27}\text{Al}\). Узети да је \(r_0 = 1,3 \cdot 10^{-15}\text{ m}\).
Масени број алуминијума је \(A = 27\).
Применом формуле за полупречник језгра: \[ r = r_0 \sqrt[3]{A} = 1,3 \cdot 10^{-15}\text{ m} \cdot \sqrt[3]{27} \] Пошто је \(\sqrt[3]{27} = 3\): \[ r = 1,3 \cdot 10^{-15}\text{ m} \cdot 3 = 3,9 \cdot 10^{-15}\text{ m} \]
Применом формуле за полупречник језгра: \[ r = r_0 \sqrt[3]{A} = 1,3 \cdot 10^{-15}\text{ m} \cdot \sqrt[3]{27} \] Пошто је \(\sqrt[3]{27} = 3\): \[ r = 1,3 \cdot 10^{-15}\text{ m} \cdot 3 = 3,9 \cdot 10^{-15}\text{ m} \]
Задатак 3 (средњи): Дефект масе једног лаког језгра износи \(\Delta m = 0,025\text{ u}\). Израчунати енергију везе овог језгра изражену у мегаелектронволтима (\(\text{MeV}\)).
Користимо релацију \(1\text{ u} \cdot c^2 = 931,5\text{ MeV}\):
\[ E_v = \Delta m \cdot c^2 = 0,025 \cdot 931,5\text{ MeV} = 23,2875\text{ MeV} \]
Задатак 4 (тежак): Енергија везе језгра деутеријума \({}_{1}^{2}\text{H}\) износи \(2,22\text{ MeV}\), док енергија везе језгра трицијума \({}_{1}^{3}\text{H}\) износи \(8,48\text{ MeV}\). Одредити специфичне енергије везе оба језгра и закључити које је језгро стабилније.
Специфична енергија везе рачуна се као \(f = \frac{E_v}{A}\):
1. За деутеријум (\(A = 2\)): \[ f_{\text{H}-2} = \frac{2,22\text{ MeV}}{2} = 1,11\text{ MeV/нуклеону} \] 2. За трицијум (\(A = 3\)): \[ f_{\text{H}-3} = \frac{8,48\text{ MeV}}{3} \approx 2,83\text{ MeV/нуклеону} \] Пошто трицијум има већу специфичну енергију везе (\(f_{\text{H}-3} > f_{\text{H}-2}\)), језгро трицијума је стабилније.
1. За деутеријум (\(A = 2\)): \[ f_{\text{H}-2} = \frac{2,22\text{ MeV}}{2} = 1,11\text{ MeV/нуклеону} \] 2. За трицијум (\(A = 3\)): \[ f_{\text{H}-3} = \frac{8,48\text{ MeV}}{3} \approx 2,83\text{ MeV/нуклеону} \] Пошто трицијум има већу специфичну енергију везе (\(f_{\text{H}-3} > f_{\text{H}-2}\)), језгро трицијума је стабилније.
