Најважније из лекције
Кључни појмови и закључци:
- Шредингерова једначина (\(\hat{H}\psi = E\psi\)) је основни закон динамике у микросвету помоћу којег се одређују стања честица и њихове енергије.
- Таласна функција \(\Psi(\vec{r}, t)\) носи комплетну информацију о квантном систему; величина \(|\Psi|^2\) представља густину вероватноће налажења честице.
- Услови за таласну функцију: мора бити непрекидна, коначна (не сме да дивергира) и нормирана на јединицу (\(\int |\Psi|^2 dV = 1\)).
- Квантовање енергије: Јавља се искључиво код везаних стања (честица у пољу сила), где су дозвољене само дискретне вредности сопствене енергије \(E_i\).
- Слободна честица: Има \(V(x) = 0\), континуалан спектар енергије и представља се равним прогресивним таласом са \(k = \frac{p}{\hbar}\) и \(\omega = \frac{E}{\hbar}\).
Таласна функција је комплексна функција положаја и времена која описује стање микрочестице у квантној механици.
\(\Psi(\vec{r}, t)\) или \(\psi(\vec{r})\)
Сама таласна функција нема директно физичко значење, али њен квадрат модула одређује вероватноћу налажења честице у простору.
\[ dP = |\psi(\vec{r}, t)|^2 dV \]
\(dP\) – вероватноћа налажења честице у елементу запремине \(dV\); \(|\psi(\vec{r}, t)|^2\) – густина вероватноће
- Нормираност на јединицу: Збир свих вероватноћа \(dP\) по целом простору једнак је \(1\) (честица се сигурно налази негде у простору).
- Непрекидност: Таласна функција мора бити непрекидна функција просторних координата.
- Коначност: Таласна функција не сме да дивергира (мора имати коначну вредност у свим тачкама) да би могла да се нормира.
Шта представља величина \(|\psi(\vec{r},t)|^2\), а шта \(|\psi(\vec{r},t)|^2 dV\)?
Величина \(|\psi(\vec{r},t)|^2\) представља густину вероватноће налажења честице у околини тачке одређене вектором \(\vec{r}\), док производ \(|\psi(\vec{r},t)|^2 dV\) представља вероватноћу \(dP\) да се честица нађе унутар бесконачно малог елемента запремине \(dV\).
Шредингерова једначина је основна диференцијална једначина квантне механике која описује промену стања микросистема у простору и времену (еквивалент другом Њутновом закону у класичној механици).
Општи операторски облик за стационарна (везана) стања:
\[ \hat{H}\psi = E\psi \]
\(\hat{H}\) – Хамилтонов оператор (укупна енергија); \(E\) – сопствена енергија; \(\psi\) – сопствена таласна функција
Временски независна Шредингерова једначина за једнодимензионално кретање дуж \(x\)-осе:
\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x) \]
\(\hbar = \frac{h}{2\pi}\) – редукована Планкова константа; \(m\) – маса честице; \(V(x)\) – потенцијална енергија
Сопствене вредности енергије (\(E_i\)): Могуће вредности енергије које систем може да има.
Сопствене функције (\(\Psi_i\)): Таласне функције које одговарају одређеним сопственим енергијама \(E_i\).
- Везана стања: Ако је кретање честице ограничено спољашњим пољем (\(E < V\)), таласна функција описује стојећи талас, а дозвољене енергије су дискретне (квантоване).
- Слободна стања: Ако на честицу не делују спољашње силе (\(V = 0\)), енергија може имати било коју вредност (континуалан спектар), а таласна функција описује прогресивни талас.
Слободна честица је честица на коју не делују спољашње силе, те је њена потенцијална енергија \(V(x) = 0\), а укупна енергија једнака искључиво кинетичкој енергији (\(E = T\)).
Таласни параметри придружени слободној честици:
\[ \lambda = \frac{h}{p}, \quad k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{p}{\hbar} \]
\[ \nu = \frac{E}{h}, \quad \omega = 2\pi\nu = \frac{E}{\hbar} \]
\(\lambda\) – Де Бројева таласна дужина; \(k\) – таласни број; \(\nu\) – фреквенција; \(\omega\) – кружна учестаност
Честица која се креће слободно дуж \(x\)-осе описује се равним таласом сталне таласне дужине \(\lambda = \frac{h}{p}\) и сталне фреквенције \(\nu = \frac{E}{h}\), јер се њен импулс \(p\) и енергија \(E\) не мењају током времена.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Колика је укупна вероватноћа налажења честице у читавом простору и који услов таласна функција мора да задовољи због тога?
Укупна вероватноћа налажења честице у целом простору мора бити једнака \(1\) (сигуран догађај):
\[ \sum dP = \int |\psi|^2 dV = 1 \]
Овај услов се назива услов нормираности таласне функције на јединицу.
Задатак 2 (средњи): Слободна честица има импулс \(p\) и укупну енергију \(E\). Одредити везу између њеног таласног броја \(k\) и кружне учестаности \(\omega\) ако је честица масе \(m\) нерелативистичка (\(E = \frac{p^2}{2m}\)).
Таласни број и кружна учестаност су повезани са импулсом и енергијом релацијама:
\[ p = \hbar k \quad \text{и} \quad E = \hbar \omega \]
Уврштавањем ових израза у формулу за енергију слободне честице \(E = \frac{p^2}{2m}\):
\[ \hbar \omega = \frac{(\hbar k)^2}{2m} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \]
Дељењем са \(\hbar\) добија се дисперзиона релација:
\[ \omega = \frac{\hbar k^2}{2m} \]
Задатак 3 (тежак): Напишите једнодимензионалну временски независну Шредингерову једначину за случај слободне честице (\(V(x) = 0\)) и покажите да је функција \(\psi(x) = A \cos(kx)\) њено решење, уз одређивање сопствене енергије \(E\).
За \(V(x) = 0\), Шредингерова једначина гласи:
\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \]
Налазимо први и други извод функције \(\psi(x) = A\cos(kx)\):
\[ \frac{d\psi(x)}{dx} = -Ak\sin(kx) \]
\[ \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = -Ak^2\cos(kx) = -k^2\psi(x) \]
Уврштавањем другог извода у једначину добијамо:
\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \left(-k^2\psi(x)\right) = E\psi(x) \implies \frac{\hbar^2 k^2}{2m}\psi(x) = E\psi(x) \]
Скраћивањем са \(\psi(x)\) следи сопствена енергија:
\[ E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} = \frac{p^2}{2m} \]
Тиме је доказано да је дата функција решење једначине за слободну честицу са одговарајућом кинетичком енергијом.
