Најважније из лекције
Винов закон померања: \(\lambda_{\text{max}} = \frac{b}{T}\) – са порастом температуре тела, врх емисионог спектра се помера ка мањим таласним дужинама.
Укупна емисиона моћ: Једнака је површини испод криве спектралне емисионе моћи \(e_{\lambda}(\lambda)\) и пропорционална је са \(T^4\).
Крах класичне физике: Класична теорија је довела до „ултравиолетне катастрофе“ (бесконачна енергија на \(\lambda \to 0\)), јер су Винов и Рејли–Џинсов закон важили само парцијално.
Планкова хипотеза: Зрачење се емитује у квантима дискретне енергије \(E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}\), чиме су постављени темељи квантне механике.
Укупна емисиона моћ: Једнака је површини испод криве спектралне емисионе моћи \(e_{\lambda}(\lambda)\) и пропорционална је са \(T^4\).
Крах класичне физике: Класична теорија је довела до „ултравиолетне катастрофе“ (бесконачна енергија на \(\lambda \to 0\)), јер су Винов и Рејли–Џинсов закон важили само парцијално.
Планкова хипотеза: Зрачење се емитује у квантима дискретне енергије \(E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}\), чиме су постављени темељи квантне механике.
Таласна дужина \(\lambda_{\text{max}}\) на којој је спектрална емисиона моћ апсолутно црног тела максимална обрнуто је сразмерна његовој апсолутној температури \(T\).
\[ \lambda_{\text{max}} = \frac{b}{T} \]
\(\lambda_{\text{max}}\) – таласна дужина максимума зрачења, \(T\) – апсолутна температура тела, \(b\) – Винова константа
Вредност Винове константе износи \(b = 2{,}9 \cdot 10^{-3} \text{ m}\cdot\text{K}\).
При загревању гвожђа, боја усијања се мења од тамноцрвене ка жутој и белој. Са порастом температуре, највећи део емитоване енергије прелази са већих таласних дужина (црвени део спектра) на мање таласне дужине (жути и љубичасти део спектра).
Ако тело има температуру \(T = 2900 \text{ K}\), на којој таласној дужини емитује највише енергије?
Применом формуле \(\lambda_{\text{max}} = \frac{b}{T}\):
\[ \lambda_{\text{max}} = \frac{2{,}9 \cdot 10^{-3} \text{ m}\cdot\text{K}}{2900 \text{ K}} = 10^{-6} \text{ m} = 1 \ \mu\text{m} \]
Ова таласна дужина припада инфрацрвеном делу спектра.
Спектрална емисиона моћ (\(e_{\lambda}\)) представља енергију коју тело емитује са јединичне површине у јединици времена унутар бесконачно малог интервала таласних дужина \(\Delta \lambda\).
\[ e_{\lambda} = \frac{\Delta W}{\Delta S \cdot \Delta t \cdot \Delta \lambda} \]
\(\Delta W\) – емитована енергија, \(\Delta S\) – површина тела, \(\Delta t\) – време зрачења, \(\Delta \lambda\) – интервал таласних дужина
Енергија емитована у интервалу \((\lambda, \lambda + \Delta \lambda)\) износи \(\Delta E_{\lambda} = e_{\lambda}\Delta\lambda\).
Укупна (интегрална) емисиона моћ (\(E\)) једнака је укупној површини испод криве спектралне емисионе моћи \(e_{\lambda}(\lambda)\). Она расте са четвртим степеном температуре (\(E \sim T^4\)), у складу са Штефан–Болцмановим законом.
Ако се температура тела повећа са \(3000 \text{ K}\) на \(6000 \text{ K}\) (2 пута), површина испод криве (укупна емитована енергија) повећаће се \(2^4 = 16\) пута.
Покушаји да се облик криве зрачења апсолутно црног тела објасни законима класичне физике (термодинамике, електродинамике и статистичке физике) нису били успешни за целокупан спектар:
- Винов закон зрачења (1896): добро се слагао са експериментима само на малим таласним дужинама (високим фреквенцијама), али је одступао на великим таласним дужинама.
- Рејли–Џинсов закон (1900–1905): добро се слагао са експериментима само на великим таласним дужинама (ниским фреквенцијама).
Ултравиолетна катастрофа: Рејли–Џинсов закон је теоријски предвиђао да са смањењем таласне дужине (\(\lambda \to 0\)) емитована енергија тежи бесконачности. Како ова појава не постоји у природи, класична физика није могла да опише зрачење црног тела, што је указало на потребу за потпуно новом физичком теоријом.
Макс Планк је 1900. године решио проблем зрачења апсолутно црног тела увођењем претпоставке да атомски осцилатори не могу емитовати нити апсорбовати енергију непрекидно, већ само у тачно одређеним дискретним износима – квантима.
\[ E = h\nu \]
\(E\) – енергија једног кванта зрачења, \(\nu\) – фреквенција зрачења, \(h\) – Планкова константа
Вредност Планкове константе износи \(h \approx 6{,}63 \cdot 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}\).
Пошто је фреквенција повезана са таласном дужином преко брзине светлости \(\nu = \frac{c}{\lambda}\), енергија кванта се такође може изразити као:
\[ E = \frac{hc}{\lambda} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Максимум зрачења површине једне звезде налази се на таласној дужини \(\lambda_{\text{max}} = 500 \text{ nm}\). Колика је температура површине те звезде? (\(b = 2{,}9 \cdot 10^{-3} \text{ m}\cdot\text{K}\))
Таласну дужину преводимо у метре: \(\lambda_{\text{max}} = 500 \text{ nm} = 500 \cdot 10^{-9} \text{ m} = 5 \cdot 10^{-7} \text{ m}\).
Из Виновог закона следи: \[ T = \frac{b}{\lambda_{\text{max}}} = \frac{2{,}9 \cdot 10^{-3} \text{ m}\cdot\text{K}}{5 \cdot 10^{-7} \text{ m}} = 5800 \text{ K} \] Одговор: Температура површине звезде износи \(5800 \text{ K}\).
Из Виновог закона следи: \[ T = \frac{b}{\lambda_{\text{max}}} = \frac{2{,}9 \cdot 10^{-3} \text{ m}\cdot\text{K}}{5 \cdot 10^{-7} \text{ m}} = 5800 \text{ K} \] Одговор: Температура површине звезде износи \(5800 \text{ K}\).
Задатак 2 (средњи): Температура апсолутно црног тела порасте са \(T_1 = 1500 \text{ K}\) на \(T_2 = 4500 \text{ K}\).
а) Како и колико пута се променила таласна дужина максимума зрачења?
б) Колико пута се повећала укупна емисиона моћ тела?
а) Како и колико пута се променила таласна дужина максимума зрачења?
б) Колико пута се повећала укупна емисиона моћ тела?
Температура се повећала \(\frac{T_2}{T_1} = \frac{4500}{1500} = 3\) пута.
а) Пошто је \(\lambda_{\text{max}} \sim \frac{1}{T}\): \[ \frac{\lambda_{\text{max}, 1}}{\lambda_{\text{max}, 2}} = \frac{T_2}{T_1} = 3 \] Таласна дужина максимума емисије смањила се 3 пута (померила се ка вишим фреквенцијама).
б) Укупна емисиона моћ сразмерна је четвртом степену температуре (\(E \sim T^4\)): \[ \frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4 = 3^4 = 81 \] Одговор: Таласна дужина \(\lambda_{\text{max}}\) се смањила 3 пута, а укупна емисиона моћ тела се повећала 81 пут.
а) Пошто је \(\lambda_{\text{max}} \sim \frac{1}{T}\): \[ \frac{\lambda_{\text{max}, 1}}{\lambda_{\text{max}, 2}} = \frac{T_2}{T_1} = 3 \] Таласна дужина максимума емисије смањила се 3 пута (померила се ка вишим фреквенцијама).
б) Укупна емисиона моћ сразмерна је четвртом степену температуре (\(E \sim T^4\)): \[ \frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4 = 3^4 = 81 \] Одговор: Таласна дужина \(\lambda_{\text{max}}\) се смањила 3 пута, а укупна емисиона моћ тела се повећала 81 пут.
Задатак 3 (тежак): Максимум зрачења усијаног металног тела померио се са \(\lambda_1 = 1450 \text{ nm}\) на \(\lambda_2 = 580 \text{ nm}\). Израчунати почетну и крајњу температуру тела, као и однос енергија појединачних кванти светлости који одговарају овим таласним дужинама максимума. (\(b = 2{,}9 \cdot 10^{-3} \text{ m}\cdot\text{K}\))
1. Рачунамо температуре преко Виновог закона:
\[ T_1 = \frac{b}{\lambda_1} = \frac{2{,}9 \cdot 10^{-3} \text{ m}\cdot\text{K}}{1450 \cdot 10^{-9} \text{ m}} = 2000 \text{ K} \]
\[ T_2 = \frac{b}{\lambda_2} = \frac{2{,}9 \cdot 10^{-3} \text{ m}\cdot\text{K}}{580 \cdot 10^{-9} \text{ m}} = 5000 \text{ K} \]
2. Енергија кванта светлости износи \(E = \frac{hc}{\lambda}\), па је однос њихових енергија:
\[ \frac{E_2}{E_1} = \frac{\frac{hc}{\lambda_2}}{\frac{hc}{\lambda_1}} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1450 \text{ nm}}{580 \text{ nm}} = 2{,}5 \]
Одговор: Почетна температура била је \(2000 \text{ K}\), крајња \(5000 \text{ K}\), а енергија кванта на новој таласној дужини максимума је \(2{,}5\) пута већа.
