Најважније из лекције
Лоренцов фактор: \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \ge 1 \). При брзини \( v = 0{,}8c \), фактор износи \( \gamma = 1{,}67 \).
Лоренцове трансформације: Повезују координате и време: \( x = \gamma(x' + vt') \), \( t = \gamma\left(t' + \frac{v}{c^2}x'\right) \). Трансформација времена директно зависи од просторног положаја.
Последице: Из Лоренцових трансформација директно следе релативистичка дилатација времена \( \Delta t = \gamma \Delta t_0 \) и контракција дужине \( d = \frac{d_0}{\gamma} \).
Класични лимес: За \( v \ll c \) (односно \( c \to \infty \)), Лоренцове трансформације своде се на Галилејеве трансформације класичне механике.
Лоренцове трансформације: Повезују координате и време: \( x = \gamma(x' + vt') \), \( t = \gamma\left(t' + \frac{v}{c^2}x'\right) \). Трансформација времена директно зависи од просторног положаја.
Последице: Из Лоренцових трансформација директно следе релативистичка дилатација времена \( \Delta t = \gamma \Delta t_0 \) и контракција дужине \( d = \frac{d_0}{\gamma} \).
Класични лимес: За \( v \ll c \) (односно \( c \to \infty \)), Лоренцове трансформације своде се на Галилејеве трансформације класичне механике.
Лоренцове трансформације су скуп релативистичких једначина које омогућавају прелазак из једног инерцијалног система референце у други при брзинама упоредивим са брзином светлости.
Трансформације морају да испуне четири основна физичка захтева:
- Једнозначност: Једном догађају у систему \( S' \) одговара тачно један догађај у систему \( S \).
- Очување каузалности: Узрочно-последична веза не сме бити нарушена ни у једном систему референце.
- Инваријантност брзине светлости: Брзина светлости \( c \) има исту вредност у свим инерцијалним референтним системима.
- Принцип кореспонденције: За брзине знатно мање од брзине светлости (\( v \ll c \)), трансформације прелазе у класичне Галилејеве трансформације.
Лоренцов фактор (\( \gamma \)) је бездимензионални параметар који одређује меру релативистичких промена у простору и времену.
\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]
где је \( v \) релативна брзина кретања система, а \( c \) брзина светлости у вакууму.
Вредност Лоренцовог фактора је увек \( \gamma \ge 1 \). Када се брзина приближава брзини светлости (\( v \to c \)), тада \( \gamma \to \infty \). За мале брзине (\( v \ll c \)), важи \( \gamma \approx 1 \).
Израчунајте вредност Лоренцовог фактора за честицу која се креће брзином \( v = 0{,}6c \).
Применом формуле за Лоренцов фактор:
\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{(0{,}6c)^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}36}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}64}} = \frac{1}{0{,}8} = 1{,}25 \]
Ако се инерцијални систем \( S' \) креће константном брзином \( v \) дуж \( x \)-осе у односу на непокретни систем \( S \), а њихови координатни почеци се поклапају у \( t = t' = 0 \), просторно-временске координате догађаја повезане су следећим релацијама:
| Лоренцове трансформације (\( S' \to S \)) | Инверзне Лоренцове трансформације (\( S \to S' \)) |
|---|---|
| \[ x = \frac{x' + vt'}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \] | \[ x' = \frac{x - vt}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \] |
| \[ y = y' \] | \[ y' = y \] |
| \[ z = z' \] | \[ z' = z \] |
| \[ t = \frac{t' + \frac{v}{c^2}x'}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \] | \[ t' = \frac{t - \frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \] |
Време у специјалној теорији релативности зависи и од времена и од просторне координате посматраног догађаја у другом систему референце. Просторна и временска димензија су међусобно повезане.
Када \( c \to \infty \) (класична физика), члан \( \frac{v}{c^2}x \to 0 \), а именилац постаје 1, чиме Лоренцове трансформације директно прелазе у Галилејеве: \( x = x' + vt' \) и \( t = t' \).
Посматрајмо два догађаја која се дешавају на истом месту у покретном систему \( S' \) (\( x_1' = x_2' \)), са временским интервалом \( \Delta t_0 = t_2' - t_1' \).
Применом Лоренцове трансформације за време у систему \( S \): \[ \Delta t = t_2 - t_1 = \frac{t_2' + \frac{v}{c^2}x_2' - \left(t_1' + \frac{v}{c^2}x_1'\right)}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \gamma \Delta t_0 \]
Применом Лоренцове трансформације за време у систему \( S \): \[ \Delta t = t_2 - t_1 = \frac{t_2' + \frac{v}{c^2}x_2' - \left(t_1' + \frac{v}{c^2}x_1'\right)}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \gamma \Delta t_0 \]
Штап сопствене дужине \( d_0 = x_2' - x_1' \) мирује у систему \( S' \). Посматрач у систему \( S \) мери координате крајева истовремено (\( t_1 = t_2 \)), па је његова измерена дужина \( d = x_2 - x_1 \).
Применом инверзне трансформације за координату: \[ d_0 = x_2' - x_1' = \frac{x_2 - vt_2 - (x_1 - vt_1)}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{x_2 - x_1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{d}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \] \[ \Rightarrow d = d_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{d_0}{\gamma} \]
Применом инверзне трансформације за координату: \[ d_0 = x_2' - x_1' = \frac{x_2 - vt_2 - (x_1 - vt_1)}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{x_2 - x_1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{d}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \] \[ \Rightarrow d = d_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{d_0}{\gamma} \]
Пример распада миона: Мион настао у горњим слојевима атмосфере има сопствено време живота \( t_0 = 2{,}2 \cdot 10^{-6}\text{ s} \). При брзини \( v = 0{,}99c \) (\( \gamma \approx 7{,}1 \)):
- За посматрача са Земље, време живота миона је продужено: \( t = \gamma t_0 \approx 15{,}6 \cdot 10^{-6}\text{ s} \), што му омогућава да пређе пут од \( s = vt \approx 4600\text{ m} \) и стигне до површине Земље.
- Из угла миона, његово време живота је \( t_0 \), али је растојање до Земље скраћено (контраховано) услед релативног кретања Земље.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Колико износи Лоренцов фактор \( \gamma \) за свемирски брод који се креће брзином \( v = 0{,}8c \)?
Уврштавањем вредности у формулу:
\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{(0{,}8c)^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}64}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}36}} = \frac{1}{0{,}6} = \frac{5}{3} \approx 1{,}67 \]
Задатак 2 (средњи): Систем \( S' \) се креће брзином \( v = 0{,}6c \) дуж \( x \)-осе у односу на систем \( S \). У тренутку \( t' = 2 \cdot 10^{-6}\text{ s} \) на положају \( x' = 600\text{ m} \) догоди се светлосни бљесак. Одредити просторну координату \( x \) овог догађаја за посматрача у систему \( S \). (Узети \( c = 3 \cdot 10^8\text{ m/s} \))
Прво одређујемо брзину и Лоренцов фактор:
\[ v = 0{,}6 \cdot 3 \cdot 10^8\text{ m/s} = 1{,}8 \cdot 10^8\text{ m/s} \]
\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (0{,}6)^2}} = \frac{1}{0{,}8} = 1{,}25 \]
Применом Лоренцове трансформације за просторну координату:
\[ x = \gamma (x' + vt') \]
\[ x = 1{,}25 \cdot \left(600\text{ m} + 1{,}8 \cdot 10^8\text{ m/s} \cdot 2 \cdot 10^{-6}\text{ s}\right) \]
\[ x = 1{,}25 \cdot (600\text{ m} + 360\text{ m}) = 1{,}25 \cdot 960\text{ m} = 1200\text{ m} \]
Задатак 3 (тежак): Два догађаја у непокретном систему \( S \) одиграла су се истовремено (\( t_1 = t_2 \)), али на различитим местима на \( x \)-оси: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = L \). Користећи инверзне Лоренцове трансформације, одредити временски интервал \( \Delta t' = t_2' - t_1' \) између ових догађаја у систему \( S' \) који се креће брзином \( v \) дуж \( x \)-осе. Објаснити физички смисао добијеног резултата.
Примењујемо инверзну Лоренцову трансформацију за време:
\[ t' = \frac{t - \frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]
За оба догађаја имамо:
\[ t_1' = \frac{t_1 - \frac{v}{c^2}x_1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{t_1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \quad (\text{јер је } x_1 = 0) \]
\[ t_2' = \frac{t_2 - \frac{v}{c^2}x_2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{t_1 - \frac{v}{c^2}L}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \quad (\text{јер је } t_2 = t_1 \text{ и } x_2 = L) \]
Временски интервал у систему \( S' \) износи:
\[ \Delta t' = t_2' - t_1' = \frac{-\frac{v}{c^2}L}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = -\gamma \frac{vL}{c^2} \]
Физички смисао: Догађаји који су истовремени у једном систему референце нису истовремени у другом покретном систему (\( \Delta t' \neq 0 \)). Ово потврђује релативност истовремености. Негативан знак показује да се у систему \( S' \) догађај 2 одиграо пре догађаја 1.
