Најважније из лекције
Релативистички закон слагања брзина (дуж \(x\)-осе): \(u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u'v}{c^2}}\). За брзине знатно мање од \(c\), прелази у класично слагање \(u \approx u' + v\).
Гранична брзина: Слагањем било којих брзина мањих или једнаких \(c\) увек се добија резултат \(u \le c\). Брзина светлости у вакууму је иста у свим инерцијалним системима референце.
Попречне компоненте: Иако су димензије \(y\) и \(z\) инваријантне, због дилатације времена компоненте брзине нормалне на правац кретања се трансформишу као \(u_y = \frac{u'_y \sqrt{1 - v^2/c^2}}{1 + u'_x v/c^2}\).
Гранична брзина: Слагањем било којих брзина мањих или једнаких \(c\) увек се добија резултат \(u \le c\). Брзина светлости у вакууму је иста у свим инерцијалним системима референце.
Попречне компоненте: Иако су димензије \(y\) и \(z\) инваријантне, због дилатације времена компоненте брзине нормалне на правац кретања се трансформишу као \(u_y = \frac{u'_y \sqrt{1 - v^2/c^2}}{1 + u'_x v/c^2}\).
Класични Галилејев закон слагања брзина (\(u = u' + v\)) престаје да важи при брзинама које су упоредиве са брзином светлости \(c\).
Према класичној механици, ако се објекат креће брзином \(0{,}5c\) и емитује светлост (\(c\)), брзина светлости за непокретног посматрача била би \(1{,}5c\). Ово директно противречи другом постулату Специјалне теорије релативности, према којем је брзина светлости у вакууму константна за све инерцијалне посматраче.
Да би се очувала непроменљивост брзине светлости и коваријантност физичких закона, извођење новог закона слагања брзина врши се искључиво преко Лоренцових трансформација.
Посматрају се два инерцијална система: систем \(S\) и систем \(S'\) који се креће дуж \(x\)-осе брзином \(v\) у односу на систем \(S\). Тело се креће унутар система \(S'\) брзином \(u'\) дуж исте осе.
Директна трансформација брзине (брзина тела \(u\) у систему \(S\)):
\[ u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u' v}{c^2}} \]
где је: \(u'\) - брзина тела у систему \(S'\), \(v\) - релативна брзина система \(S'\) у односу на \(S\), \(c\) - брзина светлости у вакууму.
Инверзна трансформација брзине (брзина тела \(u'\) у систему \(S'\)):
\[ u' = \frac{u - v}{1 - \frac{u v}{c^2}} \]
где је \(u\) брзина тела измерена у систему \(S\).
За мале брзине (\(u', v \ll c\)), члан \(\frac{u' v}{c^2} \approx 0\), па се релативистичка формула своди на класични Галилејев закон: \(u \approx u' + v\).
Применом релативистичког закона слагања брзина немогуће је добити резултантну брзину већу од брзине светлости \(c\). Брзина светлости представља максималну могућу брзину кретања честица и преноса информација у природи.
Ако свемирски брод који се креће брзином \(v = c\) емитује ласерски зрак у смеру свог кретања (\(u' = c\)), брзина тог зрака за непокретног посматрача износи:
\[ u = \frac{c + c}{1 + \frac{c \cdot c}{c^2}} = \frac{2c}{1 + 1} = \frac{2c}{2} = c \]
Овим се математички доказује инваријантност брзине светлости.
Када се тело креће у произвољном правцу, брзина \(\vec{u}\) се раставља на просторне компоненте (\(u_x, u_y, u_z\)). Иако се попречне просторне димензије не скраћују (\(\Delta y = \Delta y'\), \(\Delta z = \Delta z'\)), попречне компоненте брзине се мењају због релативности времена (\(\Delta t \neq \Delta t'\)).
Компоненте брзине у систему \(S\) преко компоненти у систему \(S'\):
\[ u_x = \frac{u'_x + v}{1 + \frac{u'_x v}{c^2}} \]
\[ u_y = \frac{u'_y \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}{1 + \frac{u'_x v}{c^2}} \]
\[ u_z = \frac{u'_z \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}{1 + \frac{u'_x v}{c^2}} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лаки ниво): Свемирски брод се креће брзином \(v = 0{,}6c\) у односу на Земљу. Са брода је испаљена истраживачка сонда у смеру кретања брода брзином \(u' = 0{,}5c\) у односу на брод. Колика је брзина сонде у односу на посматрача са Земље?
Примењујемо релативистички закон слагања брзина:
\[ u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u' v}{c^2}} \]
Уврштавањем вредности добијамо:
\[ u = \frac{0{,}5c + 0{,}6c}{1 + \frac{0{,}5c \cdot 0{,}6c}{c^2}} = \frac{1{,}1c}{1 + 0{,}3} = \frac{1{,}1c}{1{,}3} = \frac{11}{13}c \approx 0{,}846c \]
Одговор: Брзина сонде у односу на Земљу је приближно \(0{,}846c\) (мања је од збира \(1{,}1c\)).
Задатак 2 (Средњи ниво): Свемирска станица региструје два брода који се удаљавају од ње у супротним смеровима дуж исте праве. Брод \(A\) се креће улево брзином \(0{,}8c\), а брод \(B\) удесно брзином \(0{,}7c\). Коликом брзином се брод \(B\) удаљава од брода \(A\) (брзина брода \(B\) у систему везаном за брод \(A\))?
Поставимо систем \(S\) везан за станицу, а систем \(S'\) за брод \(A\).
Систем \(S'\) се у односу на станицу креће брзином \(v = -0{,}8c\).
Брзина брода \(B\) у систему станице је \(u = 0{,}7c\).
Примењујемо инверзну релативистичку формулу: \[ u' = \frac{u - v}{1 - \frac{u v}{c^2}} = \frac{0{,}7c - (-0{,}8c)}{1 - \frac{0{,}7c \cdot (-0{,}8c)}{c^2}} = \frac{1{,}5c}{1 + 0{,}56} = \frac{1{,}5c}{1{,}56} \approx 0{,}962c \] Одговор: Брод \(B\) се у односу на брод \(A\) креће брзином од приближно \(0{,}962c\).
Систем \(S'\) се у односу на станицу креће брзином \(v = -0{,}8c\).
Брзина брода \(B\) у систему станице је \(u = 0{,}7c\).
Примењујемо инверзну релативистичку формулу: \[ u' = \frac{u - v}{1 - \frac{u v}{c^2}} = \frac{0{,}7c - (-0{,}8c)}{1 - \frac{0{,}7c \cdot (-0{,}8c)}{c^2}} = \frac{1{,}5c}{1 + 0{,}56} = \frac{1{,}5c}{1{,}56} \approx 0{,}962c \] Одговор: Брод \(B\) се у односу на брод \(A\) креће брзином од приближно \(0{,}962c\).
Задатак 3 (Тежи ниво): Лабораторијски посматрач прати честицу која се у покретном систему \(S'\) (који се креће брзином \(v = 0{,}8c\) дуж \(x\)-осе) креће нормално на правац релативног кретања система брзином \(u'_y = 0{,}6c\) (док је \(u'_x = 0\)). Израчунати компоненте брзине честице \(u_x\) и \(u_y\), као и укупну брзину честице \(u\) у лабораторијском систему \(S\).
1. Компонента \(u_x\):
\[ u_x = \frac{u'_x + v}{1 + \frac{u'_x v}{c^2}} = \frac{0 + 0{,}8c}{1 + 0} = 0{,}8c \]
2. Компонента \(u_y\):
\[ u_y = \frac{u'_y \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}{1 + \frac{u'_x v}{c^2}} = \frac{0{,}6c \cdot \sqrt{1 - (0{,}8)^2}}{1 + 0} = 0{,}6c \cdot \sqrt{1 - 0{,}64} = 0{,}6c \cdot 0{,}6 = 0{,}36c \]
3. Укупна брзина \(u\):
\[ u = \sqrt{u_x^2 + u_y^2} = \sqrt{(0{,}8c)^2 + (0{,}36c)^2} = \sqrt{0{,}64c^2 + 0{,}1296c^2} = \sqrt{0{,}7696}c \approx 0{,}877c \]
Одговор: Компоненте су \(u_x = 0{,}8c\), \(u_y = 0{,}36c\), а укупна резултујућа брзина је \(u \approx 0{,}877c < c\).
