Најважније из лекције
Борови постулати:
Спектралне серије водоника: Лајманова (\(n \to 1\), UV), Балмерова (\(n \to 2\), видљиви спектар), Пашенова (\(n \to 3\), IR), Брекетова (\(n \to 4\), IR), Пфундова (\(n \to 5\), IR).
- 1. постулат: Електрони се крећу по стационарним орбитама без емисије зрачења.
- 2. постулат: Квантовање момента импулса: \(L = n\hbar = n\frac{h}{2\pi}\) (\(n = 1, 2, 3\dots\)).
- 3. постулат: Зрачење се емитује/апсорбује само при прелазу између орбита: \(h\nu = |E_n - E_m|\).
Спектралне серије водоника: Лајманова (\(n \to 1\), UV), Балмерова (\(n \to 2\), видљиви спектар), Пашенова (\(n \to 3\), IR), Брекетова (\(n \to 4\), IR), Пфундова (\(n \to 5\), IR).
Електрони у атому круже око језгра само по одређеним, строго дефинисаним путањама које се називају стационарне орбите.
Док се налази на стационарној орбити, електрон се креће без емитовања електромагнетног зрачења, чиме се обезбеђује стабилност атома.
Овај постулат превазилази проблем класичне електродинамике према којој би наелектрисана честица при убрзаном (кружном) кретању непрекидно зрачила енергију и врло брзо пала на језгро.
Момент импулса електрона који се креће по стационарној орбити не може имати произвољну вредност, већ је квантован и једнак целобројном умношку редуковане Планкове константе.
\[ L = n\hbar = n \frac{h}{2\pi} \]
\(L\) – орбитални момент импулса електрона, \(n\) – главни квантни број (\(n = 1, 2, 3, \dots\)), \(h\) – Планкова константа, \(\hbar = \frac{h}{2\pi}\) – редукована Планкова константа.
Главни квантни број \(n\) одређује редни број стационарне орбите и енергетски ниво електрона. Најниже стање (\(n = 1\)) представља основно стање атома.
Колики је момент импулса електрона у основном стању атома водоника (\(n = 1\))?
За основно стање је \(n = 1\), па је moment импулса:
\[ L_1 = 1 \cdot \hbar = \frac{h}{2\pi} \]
Емисија или апсорпција електромагнетног зрачења одвија се искључиво када електрон прелази из једног стационарног стања у друго. Енергија емитованог или апсорбованог кванта (фотона) једнака је разлици енергија тих двају стања.
\[ h\nu = |E_n - E_m| \]
\(h\nu\) – енергија кванта електромагнетног зрачења (фотона), \(\nu\) – фреквенција зрачења, \(E_n\) и \(E_m\) – енергије одговарајућих стационарних нивоа.
Када електрон прелази са нижег на виши енергетски ниво (\(E_n < E_m\)), атом апсорбује фотон енергије \(\Delta E = E_m - E_n\).
Када електрон прелази са вишег на нижи енергетски ниво (\(E_n > E_m\)), атом емитује фотон енергије \(\Delta E = E_n - E_m\).
Прелази електрона са виших нивоа на одређени фиксни ниво дају групе спектралних линија које називамо спектралним серијама.
| Серија | Ознака | Основни ниво (\(m\)) | Почетни нивои (\(n\)) | Спектрална област |
|---|---|---|---|---|
| Лајманова | \(L\) | \(m = 1\) | \(n = 2, 3, 4, 5, 6, \dots\) | Ултраљубичаста (UV) |
| Балмерова | \(H\) | \(m = 2\) | \(n = 3, 4, 5, 6, \dots\) | Видљива и блиска UV |
| Пашенова | \(P\) | \(m = 3\) | \(n = 4, 5, 6, \dots\) | Блиска инфрацрвена (IR) |
| Брекетова | \(B\) | \(m = 4\) | \(n = 5, 6, \dots\) | Инфрацрвена (IR) |
| Пфундова | \(Pf\) | \(m = 5\) | \(n = 6, 7, \dots\) | Далека инфрацрвена (IR) |
Ознака \(\alpha\) означава прелаз са најближег вишег нивоа (\(n = m + 1\)), \(\beta\) са следећег (\(n = m + 2\)), \(\gamma\) са трећег (\(n = m + 3\)), итд. (нпр. \(H_\alpha\) је прелаз \(3 \to 2\) таласне дужине \(656\text{ nm}\)).
Електрон масе \(m\) се креће по кружној путањи радијуса \(r_n\) под утицајем електростатичке (Кулонове) привлачне силе језгра наелектрисања \(Ze\), која има улогу центрипеталне силе.
\[ \frac{m v^2}{r_n} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Z e^2}{r_n^2} \]
\(m\) – маса електрона, \(v\) – брзина електрона, \(r_n\) – радијус \(n\)-те орбите, \(e\) – елементарно наелектрисање, \(Z\) – редни број атома, \(\varepsilon_0\) – диелектрична константа вакуума.
Комбинацијом овог динамичког услова и другог Боровог постулата о квантовању момента импулса (\(m v r_n = n\hbar\)) одређују се квантоване вредности за брзину, радијус орбите и енергију електрона.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лако): Колики је момент импулса електрона на трећој стационарној орбити (\(n = 3\)) водониковог атома? Изразити резултат преко константе \(\hbar\).
Према другом Боровом постулату:
\[ L = n\hbar \]
За \(n = 3\):
\[ L = 3\hbar = \frac{3h}{2\pi} \]
Одговор: Момент импулса износи \(3\hbar\).
Задатак 2 (Средње): Електрон у атому водоника прелази са енергетског нивоа \(E_3 = -1{,}51\text{ eV}\) на ниво \(E_2 = -3{,}40\text{ eV}\). Којој спектралној серији припада овај прелаз и да ли се притом фотон емитује или апсорбује?
1. Пошто електрон прелази на ниво \(m = 2\), у питању је Балмерова серија (линијски прелаз \(H_\alpha\)).
2. Електрон прелази са вишег енергетског нивоа (\(-1{,}51\text{ eV}\)) на нижи ниво (\(-3{,}40\text{ eV}\)), што значи да се вишак енергије зрачи.
Одговор: Прелаз припада Балмеровој серији, а фотон се емитује. Енергија емитованог фотона је \(h\nu = E_3 - E_2 = -1{,}51\text{ eV} - (-3{,}40\text{ eV}) = 1{,}89\text{ eV}\).
2. Електрон прелази са вишег енергетског нивоа (\(-1{,}51\text{ eV}\)) на нижи ниво (\(-3{,}40\text{ eV}\)), што значи да се вишак енергије зрачи.
Одговор: Прелаз припада Балмеровој серији, а фотон се емитује. Енергија емитованог фотона је \(h\nu = E_3 - E_2 = -1{,}51\text{ eV} - (-3{,}40\text{ eV}) = 1{,}89\text{ eV}\).
Задатак 3 (Тешко): Израчунати фреквенцију фотона који се емитује при преласку електрона у водониковом атому уколико је разлика енергија нивоа \(\Delta E = 10{,}2\text{ eV}\). Планкова константа износи \(h \approx 6{,}63 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}\), а \(1\text{ eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\text{ J}\).
Према трећем Боровом постулату:
\[ h\nu = \Delta E \implies \nu = \frac{\Delta E}{h} \]
Претварамо енергију у џуле (\(\text{J}\)):
\[ \Delta E = 10{,}2 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}\text{ J} = 16{,}32 \cdot 10^{-19}\text{ J} \]
Рачунамо фреквенцију:
\[ \nu = \frac{16{,}32 \cdot 10^{-19}\text{ J}}{6{,}63 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}} \approx 2{,}46 \cdot 10^{15}\text{ Hz} \]
Одговор: Фреквенција емитованог фотона износи приближно \(2{,}46 \cdot 10^{15}\text{ Hz}\) (прелаз из \(n=2\) у \(n=1\), односно \(L_\alpha\) Лајманове серије).
