Најважније из лекције
Нуклеарне силе: Карактерише их електрична независност (\(p\text{--}p = n\text{--}n = p\text{--}n\)), засићеност (интеракција само са суседима), нецентрални карактер и зависност од спина (јача сила код истог смера спинова).
Модел течне капи: Посматра језгро као кап течности константне густине. Енергија везе зависи од пет чланова: запреминског (\(\sim A\)), површинског (\(\sim -A^{2/3}\)), Кулоновог (\(\sim -\frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}\)), члана асиметрије (\(\sim -\frac{(A-2Z)^2}{A}\)) и члана парности (\(\pm A^{-3/4}\) или \(0\)).
Модел љуски: Квантномеханички приступ заснован на дискретним енергетским нивоима. Језгра са магичним бројевима протона или неутрона (\(2, 8, 20, 28, 50, 82, 126\)) имају попуњене љуске и одликују се изузетном стабилношћу (нпр. двоструко магична језгра \({}_{2}^{4}\text{He}\), \({}_{82}^{208}\text{Pb}\)).
Модел течне капи: Посматра језгро као кап течности константне густине. Енергија везе зависи од пет чланова: запреминског (\(\sim A\)), површинског (\(\sim -A^{2/3}\)), Кулоновог (\(\sim -\frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}\)), члана асиметрије (\(\sim -\frac{(A-2Z)^2}{A}\)) и члана парности (\(\pm A^{-3/4}\) или \(0\)).
Модел љуски: Квантномеханички приступ заснован на дискретним енергетским нивоима. Језгра са магичним бројевима протона или неутрона (\(2, 8, 20, 28, 50, 82, 126\)) имају попуњене љуске и одликују се изузетном стабилношћу (нпр. двоструко магична језгра \({}_{2}^{4}\text{He}\), \({}_{82}^{208}\text{Pb}\)).
Нуклеарне силе су најјаче силе у природи које држе нуклеоне (протоне и неутроне) на окупу унутар атомског језгра.
Основна својства нуклеарних сила:
- Електрична независност: Сила има исти интензитет без обзира на наелектрисање нуклеона - подједнако делује између два протона (\(p\text{--}p\)), два неутрона (\(n\text{--}n\)) или протона и неутрона (\(p\text{--}n\)).
- Засићеност: Сваки нуклеон ступа у интеракцију само са ограниченим бројем суседних нуклеона у својој непосредној околини.
- Нецентрални карактер: Нуклеарна сила није управљена дуж праве која спаја центре нуклеона (за разлику од гравитационе и Кулонове силе).
- Зависност од спина: Интензитет силе зависи од међусобне оријентације спинова - сила је јача када су спинови нуклеона паралелни (исто усмерени) него када су антипаралелни (супротно усмерени).
Да ли се јачина нуклеарне силе разликује између два неутрона у односу на интеракцију између протона и неутрона на истом растојању?
Не разликује се. Због својства електричне независности, интензитет нуклеарне силе је потпуно исти за парове \(n\text{--}n\), \(p\text{--}p\) и \(p\text{--}n\).
Модел течне капи (Гамов и Бор) описује језгро аналогно капи нестишљиве течности константне густине, где нуклеони представљају молекуле течности.
Укупна енергија везе језгра у овом моделу добија се узимањем у обзир пет корекционих фактора:
Услед својства засићености, сваки нуклеон у унутрашњости интерагује само са суседима, па је овај део енергије директно сразмеран броју нуклеона:
\[ E_{v1} = C_1 \cdot A \]
\(A\) - масени број, \(C_1\) - емпиријска константа
Нуклеони на површини немају суседе са свих страна, због чега имају мању енергију везе. Ово умањење је сразмерно површини језгра (\(\sim R^2 \sim A^{2/3}\)):
\[ E_{v2} = C_2 \cdot A^{\frac{2}{3}} \]
(овај члан се одузима од укупне енергије везе)
Електростатичко одбијање између свих протона у језгру слаби укупну везу. Потенцијална енергија одбијања сразмерна је броју парова протона \(Z(Z-1)\) и обрнуто сразмерна полупречнику језгра (\(\sim A^{1/3}\)):
\[ E_{v3} = -C_3 \cdot \frac{Z \cdot (Z - 1)}{A^{\frac{1}{3}}} \]
\(Z\) - редни (атомски) број
Језгро тежи стању са минимумом енергије када је број протона једнак броју неутрона (\(N = Z\)). Одступање од ове симетрије смањује стабилност:
\[ E_{v4} = -C_4 \cdot \frac{(A - 2Z)^2}{A} \]
Експериментално је утврђено да су најстабилнија она језгра која садрже паран број и протона и неутрона:
\[ E_{v5} = \pm C_5 \cdot A^{-\frac{3}{4}} \]
\(+\) узима се за паран-паран (\(Z\) парно, \(N\) парно)
\(-\) узима се за непаран-непаран (\(Z\) непарно, \(N\) непарно)
\(0\) узима се за паран-непаран или непаран-паран састав
\(-\) узима се за непаран-непаран (\(Z\) непарно, \(N\) непарно)
\(0\) узима се за паран-непаран или непаран-паран састав
Вредности свих константи \(C_1, C_2, C_3, C_4, C_5\) одређују се емпиријским (експерименталним) путем.
Који знак има члан парности \(E_{v5}\) за језгро угљеника \({}_{6}^{12}\text{C}\), а који за језгро азота \({}_{7}^{14}\text{N}\)?
За \({}_{6}^{12}\text{C}\): \(Z = 6\) (парно), \(N = A - Z = 12 - 6 = 6\) (парно). Пошто је број протона и неутрона паран, узима се знак \(+\) (\(+C_5 A^{-3/4}\)).
За \({}_{7}^{14}\text{N}\): \(Z = 7\) (непарно), \(N = 14 - 7 = 7\) (непарно). Пошто су оба броја непарна, узима се знак \(-\) (\(-C_5 A^{-3/4}\)).
За \({}_{7}^{14}\text{N}\): \(Z = 7\) (непарно), \(N = 14 - 7 = 7\) (непарно). Пошто су оба броја непарна, узима се знак \(-\) (\(-C_5 A^{-3/4}\)).
Модел љуски је квантномеханички модел који полази од аналогије између структуре језгра и електронског омотача атома.
Нуклеони се посматрају како се крећу у средњем потенцијалном пољу које стварају сви остали нуклеони. Решавањем Шредингерове једначине добијају се дискретни енергетски нивои које нуклеони попуњавају од нижих ка вишим.
Магични бројеви нуклеона:
\[ 2, \; 8, \; 20, \; 28, \; 50, \; 82, \; 126 \]
Језгра која имају магичан број протона или магичан број неутрона имају потпуно попуњене љуске и одликују се изузетном стабилношћу и великом енергијом везе.
Посебно су стабилна тзв. двоструко магична језгра, код којих су и број протона и број неутрона магични бројеви:
- Хелијум-4 (\({}_{2}^{4}\text{He}\)): \(Z = 2\), \(N = 2\)
- Кисеоник-16 (\({}_{8}^{16}\text{O}\)): \(Z = 8\), \(N = 8\)
- Калцијум-40 (\({}_{20}^{40}\text{Ca}\)): \(Z = 20\), \(N = 20\)
- Олово-208 (\({}_{82}^{208}\text{Pb}\)): \(Z = 82\), \(N = 126\)
Да ли је језгро \({}_{8}^{16}\text{O}\) двоструко магично? Објасните.
За кисеоник \({}_{8}^{16}\text{O}\) имамо:
Број протона: \(Z = 8\) (магичан број).
Број неутрона: \(N = 16 - 8 = 8\) (магичан број).
Пошто су и \(Z\) и \(N\) магични бројеви, ово језгро јесте двоструко магично и изузетно стабилно.
Број протона: \(Z = 8\) (магичан број).
Број неутрона: \(N = 16 - 8 = 8\) (магичан број).
Пошто су и \(Z\) и \(N\) магични бројеви, ово језгро јесте двоструко магично и изузетно стабилно.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Наведите четири главна својства нуклеарних сила и укратко објасните шта значи својство засићености.
Главна својства:
- Електрична независност (не зависе од наелектрисања нуклеона).
- Засићеност.
- Нецентрални карактер (не делују дуж праве која спаја центре).
- Зависност од спина нуклеона.
Задатак 2 (средњи): Користећи модел течне капи, одредите вредност петог члана енергије везе (\(E_{v5}\)) за језгро литијума \({}_{3}^{7}\text{Li}\).
Одредимо број протона и неутрона за \({}_{3}^{7}\text{Li}\):
Број протона: \(Z = 3\) (непаран број).
Број неутрона: \(N = A - Z = 7 - 3 = 4\) (паран број).
Пошто је један број непаран а други паран (непаран-паран састав), члан парности је једнак нули: \[ E_{v5} = 0 \]
Број протона: \(Z = 3\) (непаран број).
Број неутрона: \(N = A - Z = 7 - 3 = 4\) (паран број).
Пошто је један број непаран а други паран (непаран-паран састав), члан парности је једнак нули: \[ E_{v5} = 0 \]
Задатак 3 (тежак): Зашто се у моделу течне капи уводи члан асиметрије \(E_{v4} = -C_4 \frac{(A-2Z)^2}{A}\) и за коју вредност \(Z\) (при фиксном масеном броју \(A\)) овај члан има најповољнији утицај на енергију везе?
Члан асиметрије се уводи јер језгро остварује минимум енергије када постоји енергетски баланс између протона и неутрона, односно када је њихов број једнак (\(N = Z\)). Свако одступање од те једнакости смањује стабилност језгра.
Пошто је \(A = Z + N\), израз \(A - 2Z = N - Z\) представља разлику броја неутрона и протона. Члан \(E_{v4}\) је увек мањи или једнак нули (има предзнак минус): \[ A - 2Z = 0 \implies Z = \frac{A}{2} \implies N = Z \] Када је \(Z = \frac{A}{2}\), члан асиметрије је једнак \(0\) (нема губитка енергије везе), што представља најповољнији утицај на стабилност.
Пошто је \(A = Z + N\), израз \(A - 2Z = N - Z\) представља разлику броја неутрона и протона. Члан \(E_{v4}\) је увек мањи или једнак нули (има предзнак минус): \[ A - 2Z = 0 \implies Z = \frac{A}{2} \implies N = Z \] Када је \(Z = \frac{A}{2}\), члан асиметрије је једнак \(0\) (нема губитка енергије везе), што представља најповољнији утицај на стабилност.
